2018-2020 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 2 CORRIGE – page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2018-2020 21/12/2018
Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : nombre d'or (4 points)
On recherche un nombre x qui, si on lui enlève 1, donne exactement son inverse (1/x) – par exemple, si je prends x = 3 et que j’enlève 1, j'obtiens 2, qui n'est pas l’inverse de x (qui est ici 1/3).
1) a) Montrer que le problème posé revient à écrire l’équation x² – x – 1 = 0. 0,5 pt Le problème revient à poser x – 1 = 1/x , ce qui s'écrit, après multiplication par x : x² – x = 1.
b) Résoudre cette équation du second degré. 1,5 pt
∆ = 1 + 4 = 5 > 0. Cette équation admet deux racines : 1 5 2
− et 1 5 2 + .
c) On appelle nombre d’or la solution positive de cette équation. Donner son écriture exacte ainsi que son
arrondi à trois décimales. 0,5 pt
nombre d'or : 1 5
1,618 2
+ ≈ .
2) a) Justifier que le polynôme x² – x – 1 admet un minimum. 0,5 pt
Son premier coefficient est positif : ce polynôme admet donc un minimum.
b) Donner la valeur de x pour laquelle il atteint son minimum. 0,5 pt Ce minimum est atteint pour 1
2 2
x b a
=− = .
c) Donner la valeur de ce minimum. 0,5 pt
Ce minimum vaut
2
2 1 1 5
1 1
2 2 4
x − − =x − − =−
.
Exercice 2 : fonction et coût marginal (7 points)
Une usine produit du cacao en poudre en quantité journalière variable, quantité que nous noterons x, positive, exprimée en kg. L’expression f x
( )
=150×ln(
0,05x+ −1)
0,1x+300 donne, en €, le coût total de production lorsque l’on produit x kg de cacao.1) a. Dériver la fonction f. 1 pt
( )
0 05, 7 5, 7,5 0,1 0,05(
1)
7,4 0,005150 0,1 0,1
0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1
x x
f x
x x x x
− + −
′ = × − = − = =
+ + + +
b. Montrer que le fait de poser cette dérivée positive équivaut à la condition 7,4 – 0,005 x > 0 puis résoudre cette inéquation et conclure sur le signe de f′
( )
x pour x∈[
0 ; 1000]
. 1,5 ptOn peut, si ce n’est fait comme ci-dessus, regrouper l’expression de cette dérivée en une fraction. Son dénominateur, 0,05x + 1, est positif car x l’est. Le signe de la dérivée est donc celui de son numérateur : 7,4 – 0,005 x , qui est positif ssi x < 7,4 / 0,005 ssi x < 1480.
Ainsi, f′
( )
x > 0 pour x∈[
0 ; 1000]
.2) On définit Cm
( )
x , coût marginal, par la différence entre le coût de production de x +1 kg et le coût de production de x kg, soit : Cm( )
x = f x(
+ −1) ( )
f x : coût que représente la production d’un kilogramme supplémentaire lorsqu’on en a déjà produit x kg.a. Calculer le coût marginal lorsque 50 kg de cacao ont été produits. 1 pt
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( )
50( ) ( )
51 50 484,9421 482,9144 2,028 €Cm = f − f ≈ − ≈
b. Calculer le coût marginal lorsque 500 kg de cacao ont été produits. 1 pt
( )
500( ) ( )
501 500 738,902665 738,714481 0,1882€Cm = f − f ≈ − ≈
c. On admet en général que les valeurs de Cm
( )
x sont proches de celles de f′( )
x . Vérifier cette affirmation sur les deux productions citées dans les deux questions précédentes (on admettra ici que( )
xf x
x
′ = −
+ 7,4 0,005
0,05 1 ). 1 pt
( )
50 7,4 0,005 50 7,15 2,0430,05 50 1 3,5
f′ = − × = ≈
× + , ce qui est très proche de Cm
( )
50 , et( )
500 7,4 0,005 500 4,9 0,18850,05 500 1 26
f′ = − × = ≈
× + , ce qui est très proche de Cm
( )
500 .d. Montrer, en dérivant f′
( )
x , que le coût marginal diminue lorsque x augmente. 1,5 pt( ) ( ) ( )
( )
2( )
20,005 0,05 1 0,05 7,4 0,005 0,375
0,05 1 0,05 1
x x
f x
x x
− + − − −
′′ = =
+ + , rapport d’un nombre négatif par un nombre
positif, donc de résultat négatif quel que soit x. f′ est donc une fonction décroissante de x ; ainsi le coût marginal, environ égal à f′
( )
x , diminue lorsque x augmente.Exercice 3 : statistiques : QCM (3 points)
1) Une amplitude est un(e) : intervalle largeur écart type fréquence
2) Discret est le contraire de : continu moyen cumulé bavard
3) Un effectif est un(e) : fréquence population variable nombre Exercice 4 : statistiques (6 points)
On a relevé dans une entreprise les salaires, en k€ (milliers d'euros), de tous les personnels.
Cette liste de salaires forme une variable nommée X.
On décide, voir tableau en question 1, de les regrouper en classes en indiquant entre autres les effectifs (nombre d'employés dans chaque classe).
L'entreprise compte 250 employés.
Le graphique ci-contre est le diagramme des fréquences cumulées croissantes issu de cette étude.
1) Compléter le tableau suivant, grâce aux données du graphique ci-dessus. 2 pts salaire (k€) [1 ; 1,5[ [1,5 ; 2[ [2 ; 3[ [3 ; 4[ [4 ; 50[
FCC (%) 0 38 66 88 98 100
fréquences fi (%) 38 28 22 10 2
effectifs ni 95 70 55 25 5 N = 250
amplitudes ai 0,5 0,5 1 1 46
concentrations ci 190 140 55 25 0,1087
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2) a. Faire une lecture graphique du salaire médian (la médiane M). 0,5 pt Voir trait rouge plein : le salaire médian est environ 1700 €.
b. Faire une lecture graphique des deux autres quartiles. 0,5 pt
Voir traits rouges en pointillés : les premier et troisième quartiles valent environ 1300 et 2400 €.
c. Donner une interprétation concrète de l'intervalle interquartile. 0,5 pt 50% des employés gagnent entre 1300 et 2400 €.
d. Calculer la médiane de cette série statistique. 1 pt
1500 50 38 1500 12 50 12
1500 214,3 1714,3
2000 1500 66 38 500 28 28
M M
M M
− = − ⇔ − = ⇔ − = × ≈ ⇔ ≈
− − €.
3) a. A l'aide de la calculatrice, donner la moyenne et l'écart type de cette série. 1 pt
2,405 et 3,584
x≈ σ ≈ . Le salaire moyen est 2405 € et l'écart type est 3584 €.
b. Par lecture graphique, dire quel pourcentage des employés ont un salaire distant de moins d'un demi écart
type autour du salaire moyen. 0,5 pt
On s'intéresse donc aux employés dont le salaire se situe entre 2405 – 1792 € et 2405 + 1792 €, soit entre 613 € et 4197 €. Le trait bleu du graphique nous montre que cela correspond à plus de 98% des employés.
____________________ FIN DU SUJET ____________________
