IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2018-2020 09/11/2018 Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2018-2020 09/11/2018

Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.

Tout sera rédigé sur le présent feuillet.

Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.

Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.

Exercice 1 : taux et pourcentages (3,5 points)

Durant l'année 2017, le prix d'un article a augmenté de 40%, puis baissé de 30%, puis augmenté de 20%, et enfin a baissé de 10%.

1) Si l'article valait initialement 50 €, donnez ses différents prix après applications successives de ces quatre

taux de variation. 1,5 pt

2) De quel taux l'article a-t-il varié entre le 31 décembre 2016 et le 1^er janvier 2018 ? 1 pt

3) De quel taux faudrait-il faire varier sa valeur au 1^er janvier 2018 pour qu'il retrouve sa valeur au 31

décembre 2016 ? 1 pt

NOM, Prénom : Groupe :

2018-2020 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 2 sur 7 Exercice 2 : taux et premier degré (2,5 points)

Un article coûte x € et un autre coûte y €. Objectif : déterminer ces valeurs.

Si j’augmente le premier de 50% et que je baisse le second de 50%, alors le premier coûtera 25 € de plus que le second. Si, au lieu de cela, je diminuais le premier de 25% tout en augmentant le second de 25%, alors le second coûterait 50 € de plus que le premier.

1) Expliquer que l’énoncé revient à écrire le système 1,5 0,5 25 0,75 1,25 50

x y

x y

− =



− + =

 1 pt

2) Résoudre manuellement ce système puis conclure. 1,5 pt

Exercice 3 : mathématiques financières (4 points)

Une somme de 5000 € est placée le 1^er janvier 2018, au taux d’intérêts composés annuel de 3,5%.

1) Calculer les intérêts acquis au 1^er janvier 2019. 1 pt

2) Calculer les intérêts acquis au 1^er janvier 2023. 1 pt

3) Au bout de combien de temps le capital a-t-il augmenté de 35% ? 2 pts

2018-2020 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 4 sur 7 Exercice 4 : programmation linéaire (8 points)

De nouvelles normes environnementales imposent à une commune de planter au moins 250 arbres. Cette commune peut choisir parmi des bouleaux et des platanes, autant qu’elle veut de chaque sorte, pourvu que le total atteigne ou dépasse 250 arbres. Pour ces futures plantations, la surface disponible s’élève à 80 ares (1 are

= 100 m²) ; or un bouleau occupe 20 m² et un platane 40 m². En outre, planter un bouleau représente 3 heures de main d'œuvre, contre 2 heures pour un platane, or la commune ne pourra pas consacrer à ces opérations plus de 800 heures.

1) En appelant x le nombre de bouleaux et y le nombre de platanes que l’on va planter, montrer que les contraintes liées au nombre total d’arbres, à la surface disponible et au temps passé donnent le système ci-contre (expliquer en détails). 1 pt

2) Représenter graphiquement, ci-dessous, la zone du plan solution de ce système (suivre les graduations

imposées sur les axes). 2,5 pts

250 0,5 200 1,5 400

y x

y x

y x

≥ − +



≤ − +

 ≤ − +



3) On note C le coût de l'opération, que le maire de cette commune souhaite bien sûr minimiser. Ce dernier estime les coûts d'achat et de plantation à 300 € par bouleau et 200 € par platane.

a. Exprimer C en fonction de x et y. 0,5 pt

b. Montrer qu’alors sous forme réduite : 1,5 200

y= − x+ C . 0,5 pt

c. Tracer la droite d’iso-coût correspondant à C = 70 000 €. 1 pt

d. Déterminer alors graphiquement (et justifier) la droite d’iso-coût toujours compatible avec la zone solution obtenue en question 2, et correspondant au coût le plus faible possible. 1 pt

e. Conclure (en justifiant par des calculs) sur le nombre d’arbres de chaque sorte à planter et sur le coût que

cela représentera pour la commune. 1,5 pt

2018-2020 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 6 sur 7 Exercice 5 : second degré (2 points)

Étudier le signe du polynôme − +x² 4x+21.

____________________ FIN DU SUJET ____________________

IUT - TC Mathématiques - Formulaire « Calcul et analyse »

Mathématiques financières

Capital de départ : C0 ; taux d’intérêts périodique (ex : annuel) : t ; nombre de périodes (ex : d’années) : n Intérêts simples Intérêts composés

Valeur acquise au bout

de n années

C

= C

(1 + nt) ^C

^{= C}

( ^{1 + t} )

Intérêts au bout de n

années

i = C

×t×n i = C

– C

Remboursement par annuités ou mensualités constantes :

( ^× )

= − +

0

1 1

C t

a

t