IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2018-2020 10/2019 1 Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

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IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2018-2020 10/2019

1

Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.

Tout sera rédigé sur le présent feuillet.

Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.

Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.

Exercice 1 : (4,5 points)

Un sac contient 4 boules blanches et 8 noires. Vous devez en piocher trois, simultanément et au hasard. Si vous avez trois blanches, vous gagnez 100 € ; si vous n’avez que deux blanches, vous gagnez 10 € ; une seule blanche : vous ne gagnez rien ; trois boules noires : vous perdez 20 €.

1) La variable Y désigne le nombre de boules blanches tirées, parmi les trois. Justifier la nature de la loi de

probabilités de Y, puis donner les paramètres de cette loi. 1 pt

2) On appelle X la variable aléatoire associée au gain que vous pouvez toucher.

a. Grâce à un tableau, donner la loi de probabilité de X (montrer le calcul d’au moins l’une des

probabilités). 1 pt

b. Donner l’espérance et l’écart type de X. 1 pt

NOM, Prénom : Groupe :

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2018-2020 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 2 sur 9

c. Si vous envisagez 10000 parties jouées, quel futur gain global est plus probable que les autres ? Donner également un intervalle de gains probables, construit grâce à l’écart type de X. 1,5 pt

Exercice 2 : (4 points)

Une agence de télécommunications effectue un test sur l'état de connexion de 20 lignes. Une ligne a 1 chance sur 10 d'être déconnectée, et donc 9 chances sur 10 de ne pas présenter de problème. La variable aléatoire X donne le nombre de problèmes rencontrés, sur les 20 lignes testées.

1) Donner, en justifiant, la loi de probabilité de X. 1 pt

2) a. Quel est le nombre de problèmes le plus probable ? Calculer sa probabilité. 0,5 pt

b. Quelle est la probabilité que l'on rencontre moins de 2 problèmes de connexion ? 0,5 pt

(3)

3) 8 groupes, de 20 lignes testées chacun, sont menés. On appelle succès le fait qu'un groupe présente moins de 2 problèmes de connexion. La variable aléatoire Y donne le nombre de succès à l'issue des 8 groupes de tests.

a. Quelle valeur de Y est la plus probable ? 0,5 pt

b. Quelle est la probabilité que l'on rencontre au moins un succès ? 0,5 pt

c. Au lieu de 8, combien de groupes de tests faudrait-il mener pour que la probabilité d'avoir au moins un

succès dépasse 99,9 % ? 1 pt

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2018-2020 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 4 sur 9 Exercice 3 : (3,5 points)

1) La variable aléatoire U est distribuée suivant la loi normale centrée réduite. Déterminer :

a. p(U < 2,28) ; b. p(U > 1,44) ; c. p(–1,5 < U < 1,5) 1 pt

d. la valeur u0 telle que p(U > u0) = 0,8 1 pt

2) La variable aléatoire X est distribuée selon la loi normale de moyenne 126 et d’écart type 6. Déterminer :

a. p(X > 135) 0,5 pt

b. la valeur x0 telle que p(X > x0) = 0,01 1 pt

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Exercice 4 : (4,5 points)

Une étude interne menée dans une grande entreprise a révélé que 75 % des employés sont prêts à faire des heures supplémentaires. Une nouvelle agence doit s'ouvrir, dans laquelle devront travailler 80 employés de l'entreprise. Sur ces 80 employés, on s'intéresse au nombre de ceux qui accepteront de faire des heures supplémentaires, et on note X la variable aléatoire associée à ce nombre.

1) a. Montrer que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres. 0,5 pt

b. Montrer que cette loi peut être approximée par une loi normale et donner ses paramètres. 0,5 pt

2) a. Calculer avec cette loi normale la probabilité que moins de 55 personnes accepteront les heures

supplémentaires. 1 pt

c. Calculer de même la probabilité que ce nombre de personnes soit compris entre 55 et 65. 1 pt

3) Quel est le nombre minimal d'employés qui seraient susceptibles d'accepter des heures supplémentaires,

que l'on peut donner avec un niveau de confiance de 99 % ? 1,5 pt

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2018-2020 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 6 sur 9 Exercice 5 : (3,5 points)

Un appareil d'une chaîne de production remplit des flacons, qui sont vendus comme contenant 100 mg de produit. Mais la machine n'est pas parfaite : la quantité réelle X introduite dans un flacon est une variable aléatoire de loi normale N(m , σ = 1,1 mg), m étant ajustable par l'opérateur.

1) La machine est réglée sur m = 101,2 mg. Sur 1000 flacons, combien contiendront en fait moins de 100 mg

de produit ? 1,5 pt

2) Sur quelle moyenne faut-il régler la machine pour que le nombre de flacons contenant moins de 100 mg

de produit soit inférieur à 1 % ? 2 pts

____________________ FIN DU SUJET ____________________

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IUT TC Formulaire du devoir Semestre 3 MATHEMATIQUES

Lois de probabilités

Loi hypergéométrique

H

(n, a, N) n : nombre de tirages ; a : nombre d’individus « succès » ; N : taille de la population ; k : nombre de succès souhaités parmi les n tirages

approximation hypergéom. par binomiale : si N ≥ 20n ; on a p = a/N Loi binomiale

B

_{(n, p)} n : nombre de tirages p, q : probabilité de succès, d’échec

approximation binomiale par Poisson : si n ≥ 30 et p < 0,1 et np< 10 ; on a λ^{= np} Loi de Poisson

P

₍_λ₎

Approximation de

B

(n, p) par

N

₍_µ_,_σ) : si n ≥ 30, np ≥ 5, nq ≥ 5 ; on posera µ^{= np et}σ⁼ ^npq Approximation de

P

₍_λ_{) par}

N

₍_µ_,_σ_{) : si}_λ_≥ 20 ; on posera µ⁼λ^etσ⁼

λ

schéma récapitulatif :

H

(n, a, N)

B

_{(n, p)}

si N > 20n

si n ≥ 30 si n ≥ 30 si np ≥ 5 si p < 0,1 si nq ≥ 5 si np < 10

avec λ = np

P

₍_λ)

N

₍_µ_,_σ) avec µ^{= np et}σ⁼ npq si λ≥ 20 avec µ⁼λ^etσ⁼

λ

( )

p X =k =C^k_np q^k ^{n k}⁻

( ) ( )

2

N N

V N N 1

a a n

X =n − −

−

( )

_!

p e

k

X k

k

= = −^λ λ ^E

( )

^X ⁼

^λ

^; ^V

( )

^X ⁼

^λ (

X k

)

^k^a n^{n k}^a

−

× −

= = ^N

N

C C

p C ^E

( )

N X =na

( )

E X =np ^V

( )

^X ⁼^npq

(8)

2018-2020 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 8 sur 9 Tables

Table de la loi de Poisson

Table de probabilités : valeurs de p(X = k) pour différentes lois de Poisson λ ^0,1 ^0,2 ^0,3 ^0,4 ^0,5 ^0,6 ^0,7 ^0,8 ^0,9

k 0 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657 1 0,09048 0,16375 0,22225 0,26813 0,30327 0,32929 0,34761 0,35946 0,36591 2 0,00452 0,01637 0,03334 0,05363 0,07582 0,09879 0,12166 0,14379 0,16466 3 0,00015 0,00109 0,00333 0,00715 0,01264 0,01976 0,02839 0,03834 0,04940 4 0,00000 0,00005 0,00025 0,00072 0,00158 0,00296 0,00497 0,00767 0,01111 5 0,00000 0,00000 0,00002 0,00006 0,00016 0,00036 0,00070 0,00123 0,00200 6 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00001 0,00004 0,00008 0,00016 0,00030

λ ¹ ^1,5 ² ^2,5 ³ ^3,5 ⁴ ^4,5 ⁵

k 0 0,36788 0,22313 0,13534 0,08208 0,04979 0,03020 0,01832 0,01111 0,00674 1 0,36788 0,33470 0,27067 0,20521 0,14936 0,10569 0,07326 0,04999 0,03369 2 0,18394 0,25102 0,27067 0,25652 0,22404 0,18496 0,14653 0,11248 0,08422 3 0,06131 0,12551 0,18045 0,21376 0,22404 0,21579 0,19537 0,16872 0,14037 4 0,01533 0,04707 0,09022 0,13360 0,16803 0,18881 0,19537 0,18981 0,17547 5 0,00307 0,01412 0,03609 0,06680 0,10082 0,13217 0,15629 0,17083 0,17547 6 0,00051 0,00353 0,01203 0,02783 0,05041 0,07710 0,10420 0,12812 0,14622 7 0,00007 0,00076 0,00344 0,00994 0,02160 0,03855 0,05954 0,08236 0,10444 8 0,00001 0,00014 0,00086 0,00311 0,00810 0,01687 0,02977 0,04633 0,06528 9 0,00000 0,00002 0,00019 0,00086 0,00270 0,00656 0,01323 0,02316 0,03627 10 0,00000 0,00000 0,00004 0,00022 0,00081 0,00230 0,00529 0,01042 0,01813 11 0,00000 0,00000 0,00001 0,00005 0,00022 0,00073 0,00192 0,00426 0,00824 12 0,00000 0,00000 0,00000 0,00001 0,00006 0,00021 0,00064 0,00160 0,00343

λ ^5,5 ⁶ ^6,5 ⁷ ^7,5 ⁸ ^8,5 ⁹ ^9,5 ¹⁰

k 0 0,00409 0,00248 0,00150 0,00091 0,00055 0,00034 0,00020 0,00012 0,00007 0,00005 1 0,02248 0,01487 0,00977 0,00638 0,00415 0,00268 0,00173 0,00111 0,00071 0,00045 2 0,06181 0,04462 0,03176 0,02234 0,01556 0,01073 0,00735 0,00500 0,00338 0,00227 3 0,11332 0,08924 0,06881 0,05213 0,03889 0,02863 0,02083 0,01499 0,01070 0,00757 4 0,15582 0,13385 0,11182 0,09123 0,07292 0,05725 0,04425 0,03374 0,02540 0,01892 5 0,17140 0,16062 0,14537 0,12772 0,10937 0,09160 0,07523 0,06073 0,04827 0,03783 6 0,15712 0,16062 0,15748 0,14900 0,13672 0,12214 0,10658 0,09109 0,07642 0,06306 7 0,12345 0,13768 0,14623 0,14900 0,14648 0,13959 0,12942 0,11712 0,10371 0,09008 8 0,08487 0,10326 0,11882 0,13038 0,13733 0,13959 0,13751 0,13176 0,12316 0,11260 9 0,05187 0,06884 0,08581 0,10140 0,11444 0,12408 0,12987 0,13176 0,13000 0,12511 10 ^0,02853 ^0,04130 0,05578 0,07098 0,08583 0,09926 0,11039 0,11858 0,12350 0,12511 11 ^0,01426 ^0,02253 0,03296 0,04517 0,05852 0,07219 0,08530 0,09702 0,10666 0,11374 12 0,00654 0,01126 0,01785 0,02635 0,03658 0,04813 0,06042 0,07277 0,08444 0,09478 13 0,00277 0,00520 0,00893 0,01419 0,02110 0,02962 0,03951 0,05038 0,06171 0,07291 14 0,00109 0,00223 0,00414 0,00709 0,01130 0,01692 0,02399 0,03238 0,04187 0,05208 15 ^0,00040 ^0,00089 0,00180 0,00331 0,00565 0,00903 0,01359 0,01943 0,02652 0,03472 16 0,00014 0,00033 0,00073 0,00145 0,00265 0,00451 0,00722 0,01093 0,01575 0,02170

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Table de la loi normale centrée réduite Le tableau donne la probabilité p(U < u) Obtention de u à partir de x : x

u µ

σ⁻

=

u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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