∑ CORRIGE Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2 IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2018-2020 10/2019

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2018-2020 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE– page 1 sur 3

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2018-2020 10/2019

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Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

CORRIGE

Exercice 1 : (4,5 points)

Un sac contient 4 boules blanches et 8 noires. Vous devez en piocher trois, simultanément et au hasard. Si vous avez trois blanches, vous gagnez 100 € ; si vous n’avez que deux blanches, vous gagnez 10 € ; une seule blanche : vous ne gagnez rien ; trois boules noires : vous perdez 20 €.

1) La variable Y désigne le nombre de boules blanches tirées, parmi les trois. Justifier la nature de la loi de probabilités de Y, puis donner les paramètres de cette loi. 1 pt Chaque boule tirée est blanche (succès) ou noire (échec). Les boules sont tirées simultanément, donc sans remise. Enfin, Y désigne le nombre aléatoire de succès sur trois objets tirés.

La loi de Y est donc hypergéométrique.

n = 3, N = 12, a = 4. Ainsi : ^Y ^→^H

(

^{3 4 12}^{, ,}

)

^.

2) On appelle X la variable aléatoire associée au gain que vous pouvez toucher.

a. Grâce à un tableau, donner la loi de probabilité de X (montrer le calcul d’au moins l’une des

probabilités). 1 pt

( ) ( )

0 3 1 2

4 8 4 8

3 3

12 12

2 1 3 0

4 8 4 8

3 3

12 12

C C 14 C C 28

p 0 0,25455 ; p 1 0,5091

C 55 C 55

C C 12 C C 1

p 2 0,2182 ; p 3 0,01818

C 55 C 55

× ×

= = = ≈ = = = ≈

× ×

= = = ≈ = = = ≈

Y Y

Dressons la loi de probabilité du gain X :

gains xi 100 10 0 -20

prob. pi 1/55 12/55 28/55 14/55

b. Donner l’espérance et l’écart type de X. Interpréter brièvement. 1 pt L’espérance de gain est :

( )

⁴ ^/

1

E 60 55 1,0909 €

=

∑

i i = − ≈ −

i

X p x .

On perd donc en moyenne environ 1,09 € par partie si on joue un grand nombre de fois.

On ne jouera donc pas à ce jeu à long terme.

L’écart type du gain est ^σ

( )

^X ^≈^{17,44 €}. C’est la variation moyenne du gain, d’une partie à une autre.

c. Si vous envisagez 10000 parties jouées, quel futur gain global est plus probable que les autres ? Donner également un intervalle de gains probables, construit grâce à l’écart type de X. 1,5 pt En 10000 parties, le gain global réel se situe autour de 10000× −1,0909 €≈ −10909 €.

Il y a de bonnes chances (68,3%) que le gain moyen réel se trouve dans l’intervalle

[ ]

1,0909 ; 1,0909 1,2653 ; 0,9165

10000 10000

σ σ

 

− − − + = − −

 

  , et que le gain global réel pour

l’entreprise organisatrice du jeu se trouve donc entre 9165 € et 12653 €.

Exercice 2 : (4 points)

Une agence de télécommunications effectue un test sur l'état de connexion de 20 lignes. Une ligne a 1 chance sur 10 d'être déconnectée, et donc 9 chances sur 10 de ne pas présenter de problème. La variable aléatoire X donne le nombre de problèmes rencontrés, sur les 20 lignes testées.

1) Donner, en justifiant, la loi de probabilité de X. 1 pt

Pour chaque ligne il y a deux issues : problème (p = 0,1) (succès) ou pas de problème (q = 0,9).

La probabilité de succès est invariable sur les 20 lignes testées : p = 0,1.

La loi de X, nombre de problèmes, est donc B(20 ; 0,1).

(2)

^Y ⁼^np⁼^3,134^{. Le plus}

probable est donc de rencontrer 3 succès au bout de 8 groupes de tests.

b. Quelle est la probabilité que l'on rencontre au moins un succès ? 0,5 pt

( )

p Y≥ ≈1 0,9813.

c. Au lieu de 8, combien de groupes de tests faudrait-il mener pour que la probabilité d'avoir au moins un

succès dépasse 99,9 % ? 1 pt

( ) ( )

13 p 1 0,99844 ; 14 p 1 0,99905 ; il faut 14 groupes.

n= ⇒ Y ≥ = n= ⇒ Y ≥ =

Exercice 3 : (3,5 points)

0 126 2,33 6 139,98 140 X moyenne

U X moyenne U écart type x

écart type

= − ⇔ = + × ⇔ ≈ + × = ≈ .

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2018-2020 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE– page 3 sur 3 Exercice 4 : (4,5 points)

Une étude interne menée dans une grande entreprise a révélé que 75 % des employés sont prêts à faire des heures supplémentaires. Une nouvelle agence doit s'ouvrir, dans laquelle devront travailler 80 employés de l'entreprise. Sur ces 80 employés, on s'intéresse au nombre de ceux qui accepteront de faire des heures supplémentaires, et on note X la variable aléatoire associée à ce nombre.

1) a. Montrer que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres. 0,5 pt Un employé acceptera les heures supplémentaires (succès, p = 0,75) ou non (échec, q = 0,25). Ces probabilités sont des proportions observées dans une grande entreprise, dont la taille est jugée très grande comparée à 80 (on supposera plus de vingt fois 80) : p et q sont considérées constantes.

Sur 80 employés, X est le nombre de ceux qui accepteront les heures supplémentaires.

La loi de X est donc B(80 ; 0,75).

b. Montrer que cette loi peut être approximée par une loi normale et donner ses paramètres. 0,5 pt n = 80 > 30 ; np = 60 > 5 ; ; nq = 20 > 5. X peut donc être décrite par N(60 ; 3,873).

2) a. Calculer avec cette loi normale la probabilité que moins de 55 personnes accepteront les heures

supplémentaires. 1 pt

( )

p X <54,5 ≈0,07779

c. Calculer de même la probabilité que ce nombre de personnes soit compris entre 55 et 65. 1 pt

( )

p 54,5< <X 65,5 ≈0,8444

3) Quel est le nombre minimal d'employés qui seraient susceptibles d'accepter des heures supplémentaires, que l'on peut donner avec un niveau de confiance de 99 % ? 1,5 pt On cherche le nombre x0 tel que p(X ≥ x0) ≥ 0,99.

(

^U ^<^2,33

)

^≈^0,99^{. Donc}^p

(

^U ^{> −}^2,33

)

^≈^0,99^.

La formule de changement de variable nous permet de revenir à X :

0 60 2,33 3,873 50,97 51 X moyenne

U X moyenne U écart type x

écart type

= − ⇔ = + × ⇔ ≈ − × ≈ ≈ .

Il y a 99% de chances qu’au moins 51 personnes, sur les 80, acceptent de faire ces heures.

Exercice 5 : (3,5 points)

Un appareil d'une chaîne de production remplit des flacons, qui sont vendus comme contenant 100 mg de produit. Mais la machine n'est pas parfaite : la quantité réelle X introduite dans un flacon est une variable aléatoire de loi normale N(m , σ = 1,1 mg), m étant ajustable par l'opérateur.

1) La machine est réglée sur m = 101,2 mg. Sur 1000 flacons, combien contiendront en fait moins de 100 mg

de produit ? 1,5 pt

Avec la loi N(101,2 ; 1,1) : ^p

(

^X ^<¹⁰⁰

)

^≈^0,1377, soit 138 flacons sur 1000 !

2) Sur quelle moyenne faut-il régler la machine pour que le nombre de flacons contenant moins de 100 mg

de produit soit inférieur à 1 % ? 2 pts

On cherche la moyenne µ telle que p(X < 100) < 0,01 avec la loi N( µ^{; 1,1).}

(

^U ^<^2,33

)

^≈^0,99^{. Donc}^p

(

^U ^{< −}^2,33

)

^≈^0,01^.

La formule de changement de variable nous permet de faire le lien avec X :

100 2,33 1,1 102,563 X moyenne

U moyenne X U écart type

écart type⁻ µ

= ⇔ = − × ⇔ ≈ + × ≈ .

Il faut régler la machine sur une quantité moyenne de 102,56 mg.