IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2017-2019 08/11/2018 Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

2017-2019 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE Page 1 sur 3

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2017-2019 08/11/2018

Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

CORRIGE

Exercice 1 (4 points)

Dans un groupe de 20 étudiants, 14 ont eu au moins la moyenne en mathématiques (étudiants "M").

Vous devez piocher au hasard 10 personnes de ce groupe. La variable aléatoire X donne le nombre d'étudiants

"M" parmi ces 10.

1) Quelle est votre espérance, en termes de nombre d'étudiants "M" obtenus ? 1 pt L'espérance est 7. (14 étudiants sur 20 dans la population, donc 7 sur 10 dans l'échantillon)

2) Donner, en justifiant, la loi de probabilité de X. 1,5 pt

La population de 20 étudiants est divisée en succès ("M") et échecs (autres) ; On effectue un tirage sans remise de 10 étudiants ;

La variable aléatoire X donne le nombre de succès parmi les 10.

La loi de X est donc

H

3) Quelle est la probabilité que 7 étudiants sélectionnés soient "M" ? 1,5 pt

( )

C C

p 7 0,3715

X = = C× ≈

Exercice 2 (5,5 points)

À la sortie d'une chaîne de fabrication de boulons, un échantillon est prélevé pour effectuer une série de mesures visant à dire combien sont conformes ou ne le sont pas. Il en résulte que 1,5 % de la production n'est pas conforme et est donc inutilisable.

1) On conditionne les boulons produits dans des boîtes qui en contiennent 20. La production étant très grande, on considérera que 20 est un petit nombre et que le remplissage d'une boîte est assimilé à un tirage avec remise. Soit X la variable aléatoire associée au nombre de boulons non conformes présents dans une boîte.

a. Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier. 1 pt

La production de boulons est divisée en succès (non conformes) et échecs (autres) ;

On effectue un tirage sans remise de 20 boulons, mais la population étant très grande, on peut se placer sur le modèle d'un tirage avec remise sans trop altérer les résultats : la probabilité de succès est supposée constante, égale à 0,015 ;

La variable aléatoire X donne le nombre de succès parmi les 20.

La loi de X est donc

B

b. Une boîte pourra être retournée par le client, puis remboursée, si au moins 2 boulons non conformes s'y

trouvent. Quelle est la probabilité que cela se produise ? 2 pts

( ) ( )

p X ≥ = −2 1 p X ≤ = −1 1 0,9643 0,0357≈

c. Sur un total de 1000 boîtes ainsi conditionnées, à combien peut-on estimer le nombre de celles qui

seront finalement à rembourser ? 0,5 pt

0,0357 1000 36 boîtes× ≈

2017-2019 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE Page 2 sur 3 2) Compte tenu des résultats précédents, raisonnons sur le nombre de boîtes qui seront refusées, dans un lot

de 100 boîtes. Ce nombre est variable, on le notera Y. On considérera ici l'espérance de cette variable, arrondie à 4 : on s'attend en moyenne à 4 boîtes refusées toutes les 100 boîtes produites.

a. Justifier que Y peut être distribuée par une loi de Poisson, dont le paramètre sera donc 4. 1 pt L'ensemble des boîtes confectionnées est divisé en succès (à rembourser) et échecs (autres) ;

On effectue un tirage sans remise de 100 boîtes, mais la production totale étant très grande, on peut se placer sur le modèle d'un tirage avec remise sans trop altérer les résultats : la probabilité de succès est supposée constante, égale à 0,04 ;

La variable aléatoire Y donne le nombre de succès parmi les 100.

La loi de Y est donc

B

Comme n > 30, p < 0,1 et np = 4 < 10, on peut en effet utiliser la loi

P

b. La situation est jugée problématique par l'entreprise lorsqu'au moins 8 boîtes sur cent sont refusées.

Quelle est la probabilité que cela se produise ? 1 pt

( ) ( )

p Y≥8 = −1 p Y≤ = −7 1 0,9489 0,0511≈

Exercice 3 (7,5 points)

Une entreprise qui commercialise des articles de bureau envoie un catalogue de ses produits à 600 sociétés.

En moyenne, sur les très nombreuses sociétés établies en France, une sur dix passe commande après avoir reçu ce genre de catalogue. On appelle X le nombre de sociétés (inconnu, variable) qui passeront commande parmi les 600.

1) En analysant la loi de probabilité de X, montrer que cette variable peut être décrite par la loi normale :

N

L'ensemble des sociétés en France est divisé en succès (commanderont) et échecs (autres) ;

On effectue un tirage sans remise de 600 sociétés, mais la population totale étant très grande, on peut se placer sur le modèle d'un tirage avec remise sans trop altérer les résultats : la probabilité de succès est supposée constante, égale à 0,1 ;

La variable aléatoire X donne le nombre de succès parmi les 600.

La loi de X est donc

B

Comme n > 30 et npq = 54 > 5, on peut en effet utiliser la loi

N

2) Grâce à cette loi normale, déterminer :

a. la probabilité pour que plus de 70 sociétés passent commande. 1,5 pt

( )

p X >70,5 ≈0,07652

b. la probabilité pour qu'au moins 55 sociétés passent commande. 1,5 pt

( )

p X >54,5 ≈0,7729

3) Au lieu de 600, combien de catalogues envoyer pour que la probabilité de l'événement souhaité en question

2b atteigne 95% ? 2,5 pts

La loi de X est ici

B

Comme n > 600 > 30 et npq > 54 > 5, on peut utiliser la loi

N

On utilisera le mode fonction de la calculatrice, où la variable X (de la calculatrice) décrira des valeurs possibles pour n.

On testera des valeurs de X de 600 à 700 et on définira une fonction f par un calcul de ^p

(

)

l'outil loi normale. On peut visualiser alors :

2017-2019 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE Page 3 sur 3 n ^p

(

)

670 0,94627091 671 0,9475332 672 0,94877011 673 0,949982 674 0,95116927 675 0,95233229 676 0,95347143 677 0,95458708 678 0,95567959

On s'aperçoit que la probabilité désirée dépasse 95% lorsque n atteint puis dépasse 674.

Exercice 4 (3 points)

À l'aide du formulaire seul (table de la loi normale centrée réduite), déterminer dans

N

a. p(U < 1,64). 1 pt

( )

p U <1,64 ≈0,9495

b. p(U < – 0,77). 1 pt

( ) ( )

p U < −0,77 = −1 p U <0,77 ≈ −1 0,7794 0,2206≈

c. p(-2 < U < 2). 1 pt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ^{( )}

p − < < =2 U 2 p U< −2 p U< − =2 p U < − −2 1 p U<2 ≈0,9772− −1 0,9772 ≈0,9544

____________________ FIN DU SUJET ____________________