IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2018-2020 05/2019 Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

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2018-2020 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 2 « partiel » CORRIGE – page 1 sur 3

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2018-2020 05/2019

Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

CORRIGE

Exercice 1 - ensembles (3 points)

Dans cet exercice, A et B sont des sous-ensembles d'un ensemble E.

1) Que désigne l'ensemble A ? 0,5 pt

C’est le complémentaire de A dans E (il contient exclusivement les éléments de E extérieurs à A).

2) Que signifie la phrase "Les ensembles A et B sont disjoints" ? 0,5 pt Les ensembles A et B n’ont aucun élément commun (leur intersection est vide).

3) Que signifie la phrase "Les ensembles A et B forment une partition de E" ? 1 pt A et B sont disjoints et leur réunion est E.

4) Simplifier, en détaillant, l’expression

(

^A^{∩ ∪}^B

) (

^A^∩^{B .}

)

^{1 pt}

(

^A^{∩ ∪}^B

) (

^A^∩^B

)

^{= ∩ ∪}^A

(

^B ^B

)

^{= ∩ =}^A ^E ^{A .}

Exercice 2 - cardinaux (3 points)

Un magasin propose deux objets A et B relativement complémentaires. Pour étudier le comportement d'achat sur ces objets, la direction a recruté un stagiaire, qui lui a remis les renseignements suivants : sur un certain nombre des derniers tickets de caisse, il est apparu que 127 personnes ont acheté les deux objets, 64 n'ont acheté qu'un seul des deux (ceux qui n’ont acheté que l’objet A en représentent le quart) et 109 n'ont acheté ni A, ni B.

1) Ces indications sont incomplètes. Organiser un tableau de contingence croisant les quantités d'achat (et

de non-achat) des deux objets, puis compléter ce tableau. 1,5 pt

B B

A 127 16 143

A 48 109 157

175 125 300

Le nombre de tickets analysé vaut 127+109+64 = 300 2) Sur ce lot de tickets de caisse, calculer :

a. le taux de clients ayant acheté l'objet A. 0,5 pt

143/300 ≈ 47,67 %.

b. le taux de clients n'ayant acheté que l'objet A. 0,5 pt

16/300 ≈ 5,333 %.

c. le taux de clients ayant acheté l'objet B, parmi ceux qui ont acheté l'objet A. 0,5 pt 127/143 ≈ 88,81 %.

Exercice 3 - dénombrements (4,5 points) - les trois questions sont indépendantes

1) Un sac contient huit jetons numérotés de 1 à 8. On en tire trois successivement et sans remise, pour former un nombre de 3 chiffres. Combien de tels nombres sont-ils possibles ? 1 pt On doit choisir trois jetons (p = 3) parmi huit (n = 8) sans répétition possible ; l’ordre des trois jetons compte (si on le change, on modifie le résultat). Chaque nombre est donc un arrangement. Il y en a en tout : A³8 = × × =8 7 6 336.

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2) En parcourant les rues d'une grande ville, on a le choix à chaque carrefour de tourner à gauche, de tourner à droite, ou d'aller tout droit. Mon parcours doit passer par 6 carrefours. Combien de parcours différents

pourrais-je effectuer ? 1 pt

On doit choisir six fois une direction (p = 6) parmi trois possibles (n = 3) avec répétition possible ; l’ordre des choix compte (si on le change, on modifie le parcours). Chaque parcours est donc une p-liste. Il y en a en tout : 3⁶=729.

3) Lors d'un concours, 80 candidats se présentent à la première phase. Seuls 5 seront qualifiés pour la seconde phase.

a. Combien existe-t-il de groupes qualifiés différents possibles ? 1 pt On doit choisir cinq personnes (p = 5) parmi 80 (n = 80) sans répétition possible ; l’ordre des cinq personnes n’a pas d’importance (si on le change, on ne modifie pas le groupe de personnes qualifiées). Chaque groupe est donc une combinaison. Il y en a en tout : C₈₀⁵ =24 040 016.

b. Si les candidats se composent de 30 hommes et 50 femmes, combien existe-t-il de groupes qualifiés

possibles contenant deux hommes et trois femmes ? 1,5 pt

Toujours dans le cadre des combinaisons, on doit choisir deux hommes parmi 30 et trois femmes parmi 50.

Le nombre de possibilités est : C²₃₀×C³₅₀=8 526 000. Exercice 4 - probabilités (4,5 points)

Nous sommes en plein hiver. Les chances qu’il neige demain (événement N) sont estimées à 2 sur 3. S’il neige demain, 120 étudiants sur les 160 de la promotion seront présents en cours. S’il ne neige pas, 150 étudiants seront présents. Le lendemain, dans la liste des 160 étudiants, on pioche un nom au hasard. L’événement A est

« l’étudiant est absent ».

1) Dresser un arbre de choix probabilisé sur les événements N et A. 1 pt 1/4 A 8/48

2/3 N

1/3 N

( )

⁼

( )

⁼

N N

1 1

p A , p A

4 16 : un quart des étudiants seront absents s’il neige et un sur seize s’il ne neige pas.

2) Quelle est la probabilité que l’étudiant pioché soit présent ? 1 pt

( ) (

⁼ ^{∩ +}

) (

^{∩ =}

)

^/ ⁺ ^/ ⁼ ^/ ⁼ ^/ ⁼

p A p A N p A N 24 48 15 48 39 48 13 16 0,8125

3) Sachant qu’il est présent, quelle est la probabilité qu’il neige ? 1,5 pt

( ) ( )

( )

/ /

= ∩ = = = ≈

A

p A N 24 48 24 8

p N 0,6154

p A 39 48 39 13

4) Les événements N et A sont-ils indépendants ? 1 pt

On a vu que N

( )

N

( ) ( )

1 1 3

p A , p A et p A

4 16 16

= = = . Ces probabilités étant différentes, on peut conclure que N et A ne sont pas indépendants (ici, le fait qu’il neige augmente le nombre d’absents).

On peut aussi vérifier que ^{p A}

(

^∩^N

) ( ) ( )

^≠^{p A} ^×^{p N :}

( )

^/

( ) ( )

^/ ^/ ^/

p A∩N =8 48≈0,1667 et p A ×p N =3 16 2 3× =6 48=0,125

Exercice 5 - variable aléatoire et loi de probabilités (5 points)

Un nouveau jeu de grattage se présente sous la forme d’un ticket sur lequel se trouvent disposés 30 disques dorés. Quatre de ces disques sont « gagnants » : si on les grattait, on découvrirait une étoile ; les 26 autres sont « perdants » (pas d’image sous la dorure). Pour jouer, on doit gratter trois disques au hasard.

1) Quatre événements sont possibles à l’issue du jeu : obtenir trois étoiles, ou deux, ou une, ou aucune.

Montrer que leurs probabilités sont, dans cet ordre : 0,0009852 ; 0,03842 ; 0,3202 ; 0,6404. 1,5 pt A

3/4 A 1/16 15/16

24/48 1/48 15/48 A

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On doit choisir trois disques (p = 3) parmi 30 (n = 30) sans répétition possible ; l’ordre des trois disques n’a pas d’importance (si on le change, on ne modifie pas le groupe des disques grattés). Chaque groupe est donc une combinaison. Il y en a en tout : C³₃₀=4060.

Pour obtenir trois étoiles, on doit choisir 3 disques gagnants parmi 4 (et zéro perdant parmi 26). Le nombre de possibilités est : C³₄×C₂₆⁰ =4. La probabilité d’obtenir 3 étoiles est donc : 4/4060 = 0,0009852.

Pour obtenir deux étoiles, on doit choisir 2 disques gagnants parmi 4 et 1 perdant parmi 26. Le nombre de possibilités est : C²₄×C¹₂₆ =156. La probabilité d’obtenir 2 étoiles est donc : 156/4060 = 0,03842.

Pour obtenir une étoile, on doit choisir 1 disque gagnant parmi 4 et 2 perdants parmi 26. Le nombre de possibilités est : C¹₄×C²₂₆ =1300. La probabilité d’obtenir 3 étoiles est donc : 1300/4060 = 0,3202.

Pour n’obtenir aucune étoile, on doit choisir 0 disque gagnant parmi 4 et 3 perdants parmi 26. Le nombre de possibilités est : C⁰₄×C₂₆³ =2600. La probabilité d’obtenir 0 étoile est donc : 2600/4060 = 0,6404.

2) Le ticket coûte 2€. Après grattage des trois disques choisis, les gains sont les suivants : 500€ pour 3 étoiles, 10€ pour 2 étoiles, 2€ pour une étoile et 0€ si aucune étoile n’est découverte. On désigne par X la variable aléatoire « gain à l’issue du jeu compte tenu du coût du ticket ».

a. A l’aide des résultats donnés en question 1, donner la loi de probabilité de X. 0,5 pt

Gain X 498 8 0 -2

probabilité 0,0009852 0,03842 0,3202 0,6404

b. Donner son espérance E(X) et son écart type σ(X). Interpréter ces valeurs. 2 pts E(X) ≈ – 0,4828 € et σ(X) ≈ 15,78 €.

L’espérance est le gain moyen vers lequel on tend si beaucoup de parties sont jouées (loi des grands nombres) ; par exemple, sur 10000 parties, la perte cumulée réelle pour les joueurs sera proche de 4828 €.

L’écart type permet d’affiner cette prévision ; on peut citer par exemple, sur une base de 10000 parties :

* il y a 68,3% de chances que le gain moyen se trouve entre 15,78

0,4828 0,6406 €

10000

− − ≈ − et

15,78

0,4828 0,3250 €

10000

− + ≈ − ,

* il y a 99% de chances que le gain moyen se trouve entre 15,78

0,4828 2,58 0,8900 €

10000

− − × ≈ − et

15,78

0,4828 2,58 0,0756 €

10000

− + × ≈ − , soit un gain pour les organisateurs du jeu compris entre 756 € et 8900 €.

c. Si j’achète 500 tickets et que je les joue tous, à quel gain global puis-je m’attendre ? 0,5 pt 0,4828 500 241,4

− × = − . Je m’attends à perdre autour de 241,4 €.

d. Quel pourcentage des mises la société qui détient ce jeu redistribue-t-elle en gains ? 0,5 pt Si on attribue aux gains les valeurs 500 €, 10 €, 2 € et 0 €, l’espérance de gain du joueur devient –0,4828 € + 2 € = 1,5172 €. Donc, la société redistribue 1,5172 € après avoir encaissé 2 €. Elle reverse donc sous forme de gains 1,5172 / 2 = 0,7586 = 75,86 % des mises.

____________________ FIN DU SUJET ____________________