IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2016-2018 26/10/2017
Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2
La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.
Tout sera rédigé sur le présent feuillet.
Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.
Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.
Exercice 1 (4 points)
Un sac contient 16 jetons rouges et 4 jetons verts. Le jeu consiste à piocher simultanément, et au hasard, 10 jetons, et le joueur gagne la partie s'il a pioché au moins trois jetons verts.
1) Après avoir déterminé la loi de probabilité de X, nombre de jetons verts piochés dans une partie, calculer la
probabilité de gagner. 2 pts
2) Pour jouer, il faut miser 2 €. L'organisateur du jeu décide d'un gain de 20 € si les 4 jetons verts sont obtenus et 4 € si le joueur en a pioché trois sur les quatre. Si le joueur pioche moins de trois jetons verts, il perd sa mise. À combien l'organisateur peut-il estimer son gain au bout de 10000 parties ? 2 pts
NOM, Prénom : Groupe :
Exercice 2 (8,5 points)
Dans un supermarché, on a constaté qu'en moyenne le passage en caisse d'un client sur vingt occasionne un problème et bloque la file d'attente un certain temps. À tout instant, pour une caisse donnée, la probabilité qu'un problème survienne lorsque les produits d'un client sont scannés est donc 0,05. Vous faites vos achats, puis allez vous poster dans une file d'attente afin de passer en caisse ; n clients se trouvent devant vous. La variable X décrit le nombre de blocages qui risquent de survenir et de vous faire perdre du temps, dus aux passages de ces n clients.
1) Donner, en justifiant, la loi de probabilité de X. 1 pt
2) Posons ici n = 5.
a. Quelle est la probabilité qu'au moins un problème survienne devant vous ? 1 pt
b. Si le supermarché ouvre 10 caisses, et qu'à tout instant il y a en moyenne 5 clients par caisse, à combien peut-on estimer le nombre de caisses en train de subir un blocage, à tout instant ? 1 pt
3) a. Quel doit être le nombre maximal de clients devant vous dans la file pour que la probabilité qu'il n'y ait
pas de problème avant votre passage dépasse 90% ? 1 pt
b. Quel est le nombre de clients devant vous dans la file, au-delà duquel il y a au moins 50% de chances
qu'au moins un blocage se produise avant votre passage ? 1,5 pt
4) On considère qu'en moyenne, une caisse enregistre 100 passages de clients par jour. Dans cette question, on souhaite travailler avec une loi de Poisson, et on note Y le nombre variable de blocages qui surviennent dans une caisse en une journée.
a. Montrer que Y peut être distribuée par une loi de Poisson, dont on donnera le paramètre. 1 pt
b. Quelle est la probabilité que moins de trois blocages surviennent ? 1 pt
c. Combien de blocages, au minimum, a-t-on moins de 1% de chances de dépasser ? 1 pt
Exercice 3 (7,5 points)
La masse d'une framboise forme une variable X, très bien modélisée par la loi
N
(4 grammes ; 0,5 g).1) Déterminer p(X < 3) ; p(3 < X < 5). 1 pt
2) Les framboises dont la masse est inférieure à 3 grammes pourraient être retirées par le fournisseur, avant la livraison. Sur un lot de 40 kg, soit 10000 framboises, combien seraient retirées ? 1 pt
3) On envisage, sur une chaîne, de trier les framboises récoltées en fonction de leur masse : les 20% les plus légères seront conditionnées à part pour être vendues à un prix différent et estampillées "framboisette".
Quelle est la masse maximale d'une framboisette ? 2 pts
4) Sur une production de 10000, on envisage un tirage aléatoire d'un échantillon de 300 framboises, parmi lesquelles Y désigne le nombre possible de framboisettes.
a. Expliquer pourquoi une loi binomiale peut modéliser la distribution des valeurs possibles de Y, puis
donner les paramètres de cette loi. 1 pt
b. Expliquer pourquoi une loi normale peut se substituer à cette loi binomiale, puis donner les paramètres
de cette loi. 1 pt
c. À l'aide de chacune des deux lois, donner la probabilité d'obtenir de 55 à 65 framboisettes, puis la probabilité d'obtenir exactement 60 framboisettes. Expliquez pourquoi on observe des différences de
résultats, entre une loi et une autre. 1,5 pt
IUT TC Formulaire du devoir Semestre 3 MATHEMATIQUES
Lois de probabilités
Loi hypergéométrique
H
(n, a, N) n : nombre de tirages ; a : nombre d’individus « succès » ; N : taille de la population ; k : nombre de succès souhaités parmi les n tiragesapproximation hypergéom. par binomiale : si N ≥ 20n ; on a p = a/N Loi binomiale
B
(n, p) n : nombre de tirages p, q : probabilité de succès, d’échecapproximation binomiale par Poisson : si n ≥ 30 et p < 0,1 et np< 10 ; on a λ = np Loi de Poisson
P
(λ)Approximation de
B
(n, p) parN
(µ, σ) : si n ≥ 30 et npq ≥ 5 ; on posera µ = np et σ = npq Approximation deP
(λ) parN
(µ, σ) : si λ≥ 20 ; on posera µ = λ et σ =λ
schéma récapitulatif :
H
(n, a, N)B
(n, p) si N > 20nsi n ≥ 30 si n ≥ 30 si p < 0,1 si npq ≥ 5 si np< 10
P
(λ)N
(µ, σ)avec λ = np avec µ = np et σ = npq si λ≥ 20
avec µ = λ et σ =
λ
( )
p X =k =Cknp qk n k−
( ) ( )
2
N N
V N N 1
a a n
X =n − −
−
( )
p e !
k
X k
k
= = −λ λ E
( )
X =λ
; V( )
X =λ (
X k)
ka nn ka−
× −
= = N
N
C C
p C E
( )
X =nNa( )
E X =np V
( )
X =npqTables
Table de la loi de Poisson
Table de probabilités : valeurs de p(X = k) pour différentes lois de Poisson λ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
k 0 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657 1 0,09048 0,16375 0,22225 0,26813 0,30327 0,32929 0,34761 0,35946 0,36591 2 0,00452 0,01637 0,03334 0,05363 0,07582 0,09879 0,12166 0,14379 0,16466 3 0,00015 0,00109 0,00333 0,00715 0,01264 0,01976 0,02839 0,03834 0,04940 4 0,00000 0,00005 0,00025 0,00072 0,00158 0,00296 0,00497 0,00767 0,01111 5 0,00000 0,00000 0,00002 0,00006 0,00016 0,00036 0,00070 0,00123 0,00200 6 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00001 0,00004 0,00008 0,00016 0,00030
λ 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
k 0 0,36788 0,22313 0,13534 0,08208 0,04979 0,03020 0,01832 0,01111 0,00674 1 0,36788 0,33470 0,27067 0,20521 0,14936 0,10569 0,07326 0,04999 0,03369 2 0,18394 0,25102 0,27067 0,25652 0,22404 0,18496 0,14653 0,11248 0,08422 3 0,06131 0,12551 0,18045 0,21376 0,22404 0,21579 0,19537 0,16872 0,14037 4 0,01533 0,04707 0,09022 0,13360 0,16803 0,18881 0,19537 0,18981 0,17547 5 0,00307 0,01412 0,03609 0,06680 0,10082 0,13217 0,15629 0,17083 0,17547 6 0,00051 0,00353 0,01203 0,02783 0,05041 0,07710 0,10420 0,12812 0,14622 7 0,00007 0,00076 0,00344 0,00994 0,02160 0,03855 0,05954 0,08236 0,10444 8 0,00001 0,00014 0,00086 0,00311 0,00810 0,01687 0,02977 0,04633 0,06528 9 0,00000 0,00002 0,00019 0,00086 0,00270 0,00656 0,01323 0,02316 0,03627 10 0,00000 0,00000 0,00004 0,00022 0,00081 0,00230 0,00529 0,01042 0,01813 11 0,00000 0,00000 0,00001 0,00005 0,00022 0,00073 0,00192 0,00426 0,00824 12 0,00000 0,00000 0,00000 0,00001 0,00006 0,00021 0,00064 0,00160 0,00343
λ 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
k 0 0,00409 0,00248 0,00150 0,00091 0,00055 0,00034 0,00020 0,00012 0,00007 0,00005 1 0,02248 0,01487 0,00977 0,00638 0,00415 0,00268 0,00173 0,00111 0,00071 0,00045 2 0,06181 0,04462 0,03176 0,02234 0,01556 0,01073 0,00735 0,00500 0,00338 0,00227 3 0,11332 0,08924 0,06881 0,05213 0,03889 0,02863 0,02083 0,01499 0,01070 0,00757 4 0,15582 0,13385 0,11182 0,09123 0,07292 0,05725 0,04425 0,03374 0,02540 0,01892 5 0,17140 0,16062 0,14537 0,12772 0,10937 0,09160 0,07523 0,06073 0,04827 0,03783 6 0,15712 0,16062 0,15748 0,14900 0,13672 0,12214 0,10658 0,09109 0,07642 0,06306 7 0,12345 0,13768 0,14623 0,14900 0,14648 0,13959 0,12942 0,11712 0,10371 0,09008 8 0,08487 0,10326 0,11882 0,13038 0,13733 0,13959 0,13751 0,13176 0,12316 0,11260 9 0,05187 0,06884 0,08581 0,10140 0,11444 0,12408 0,12987 0,13176 0,13000 0,12511 10 0,02853 0,04130 0,05578 0,07098 0,08583 0,09926 0,11039 0,11858 0,12350 0,12511 11 0,01426 0,02253 0,03296 0,04517 0,05852 0,07219 0,08530 0,09702 0,10666 0,11374 12 0,00654 0,01126 0,01785 0,02635 0,03658 0,04813 0,06042 0,07277 0,08444 0,09478 13 0,00277 0,00520 0,00893 0,01419 0,02110 0,02962 0,03951 0,05038 0,06171 0,07291 14 0,00109 0,00223 0,00414 0,00709 0,01130 0,01692 0,02399 0,03238 0,04187 0,05208 15 0,00040 0,00089 0,00180 0,00331 0,00565 0,00903 0,01359 0,01943 0,02652 0,03472 16 0,00014 0,00033 0,00073 0,00145 0,00265 0,00451 0,00722 0,01093 0,01575 0,02170
Table de la loi normale centrée réduite Le tableau donne la probabilité p(U < u) Obtention de u à partir de x : x
u µ
σ
= −
u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879 0,999883 0,999888 3,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918 0,999922 0,999925 3,8 0,999928 0,999931 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946 0,999948 0,999950 3,9 0,9999519 0,9999539 0,9999557 0,9999575 0,9999593 0,9999609 0,9999625 0,9999641 0,9999655 0,9999670
U u
p(U < u)
