IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2016-2018 05/2017
Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2
La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.
Tout sera rédigé sur le présent feuillet.
Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.
Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.
Exercice 1 : QCM (2 points) - cochez vos réponses ci-dessous
Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point 1)
(
A∩B) (
∪ A∩B)
...⊂A ⊃B ⊃ ∩A B ⊂ ∪A B
2) Si Card
(
A∩ =B)
Card( )
A −Card( )
B , alors :A = B Card
(
A∪ = ×B)
2 Card( )
B Card( )
A =Card( )
B A et B se croisent 3) Si deux événements A et B sont indépendants, alors :p(A) + p(B) = 1 pA(B) = pB(A) p(A∩B) = p(B) p (B) = p (B) A A 4) Quel est le bon ordre ?
A C
p p p
n n
n ≤ ≤ np ≤Cnp ≤Anp Cnp ≤Anp ≤np Cnp ≤np ≤Anp
Exercice 2 : Cardinaux (4 points)
Une enquête a été menée sur les ventes de deux objets a et b dans un commerce. Sur 200 clients interrogés, 57 ont acheté l'objet a, 103 ont acheté l'objet b, 38 ont acheté les deux objets. On appelle A (respectivement B) l'ensemble des clients ayant acheté l'objet a (resp. b).
1) Calculer Card
(
A∪B)
puis donner la signification concrète de cette valeur. 1 ptNOM, Prénom : Groupe :
3) A l'aide de ce tableau, donner, en justifiant les réponses et en nommant les ensembles concernés :
a. Le nombre de personnes n'ayant rien acheté. 0,5 pt
b. Le nombre de personnes ayant acheté un seul objet. 0,5 pt
4) Donner la probabilité qu'une personne interrogée ait acheté l'objet b, sachant qu'elle a acheté l'objet a.
1 pt
Exercice 3 : Dénombrements (2 points)
Lors d'élections municipales, sept candidats (A, B, C, D, E, F et G) se présentent. Vous répondrez aux questions suivantes en justifiant les outils de dénombrement employés.
1) Au dépouillement du premier tour, ces candidats sont classés par ordre décroissant du nombre de voix obtenues. Combien de classements différents sont-ils possibles, pour ces sept candidats ? 1 pt
2) Pour préparer le second tour, on ne retient que les deux candidats ayant obtenu le plus grand nombre de voix. Combien de seconds tours différents sont-ils possibles ? 1 pt
Exercice 4 : Dénombrements et probabilités (5 points)
Un prestidigitateur présente un jeu de 32 cartes (4 couleurs, 8 cartes par couleur) à l'assistance qui ne voit que le verso.
1) Premier jeu : Il demande à la personne A de choisir une carte au hasard, de la retenir, puis de la replacer dans le paquet qu'il mélange aussitôt. Il fait de même avec trois autres personnes B, C et D.
a. Combien de tirages différents, dans l'ordre A,B,C,D, sont-ils possibles ? 0,5 pt
b. Quelle est la probabilité que A pioche un cœur ? 0,5 pt
c. Quelle est la probabilité que A pioche un cœur et que B pioche un pique ? 0,5 pt
2) Deuxième jeu : Il demande à la personne A de tirer simultanément quatre cartes.
a. Dénombrer le nombre de tirages différents possibles. 0,5 pt
b. Quelle est la probabilité de piocher quatre trèfles ? 1 pt
d. Combien de tirages possèdent deux rois et deux trèfles exactement ? 1 pt
Exercice 5 : Probabilités conditionnelles (3 points)
Un organisme territorial a conduit une étude dans le secteur de l'artisanat. Sa volonté est d'allouer une subvention aux artisans qui en font la demande (dans la mesure des moyens disponibles), et de préférence à ceux qui ont un projet de développement professionnel et qui désirent le mener à bien.
Les résultats de l'étude sont les suivants :
* 30 % des artisans veulent mener un projet de ce type, et parmi ceux-ci, 92% déclarent avoir besoin d'une subvention et la recevront finalement ;
* Parmi les 70% des artisans restants, un cinquième a déclaré avoir besoin d'une subvention, l'a reçue, mais n'a pas mené son projet à terme.
Si au moins deux tiers des subventions allouées auront servi à des projets viables, l'organisme considèrera l'opération comme réussie.
1) En se basant sur les résultats de l'étude, réaliser au choix : un arbre de choix probabilisé ou un tableau de
contingence établi sur la base de 1000 artisans. 1,5 pt
2) Calculez la probabilité qu'un artisan ait un projet de développement mené à bien sachant qu'il a obtenu une subvention. L'opération peut-elle être considérée comme réussie ? 1,5 pt
Exercice 6 : Variable aléatoire (4 points)
Une entreprise veut prévoir les coûts de commercialisation de trois produits A, B, C.
A représente 20 % de la quantité vendue, B représente 45%, et C représente 35 %. Une commercialisation classique coûte pour une unité de produit A, B ou C dans cet ordre : 30 €, 36€, 42€, sauf dans 30 % des cas, pour chaque produit, où ce coût doit être majoré de 6 € (commercialisation à l'export).
1) Réaliser un arbre de probabilités détaillant en deux niveaux les six cas de figure possibles, aboutissant aux
différents prix des différents articles. 0,5 pt
2) Donner la loi de probabilité de la variable X : "coût de commercialisation d'une unité". 1 pt
3) Quelle est la probabilité que X soit supérieure à 40 € ? 0,5 pt
4) Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter sa valeur. 1 pt
5) Estimer le coût de commercialisation d'une production de 5000 unités, lorsque la production et la commercialisation respectent en gros les indications de l'énoncé. 1 pt
