IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2016-2018 14/12/2016

Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.

Tout sera rédigé sur le présent feuillet.

Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.

Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.

Exercice 1 : QCM (4 points) - cochez vos réponses ci-dessous

Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point

1) Une augmentation de 20 % suivie d’une baisse de 20 % se solde par une variation de :

+ 10 % + 4 % 0 % – 4 %

2) 30 étudiants ont une moyenne de 12/20. On décide d’ajouter trois points à chacun. Alors leur nouvelle moyenne est :

12/20 12,1/20 13,5/20 15/20

3) Quelle formule sur la moyenne « E » est fausse ?

E(X+2) = E(X) + 2 E(X²) = [E(X)]² E(2X) = 2E(X) E(X+Y) = E(X) + E(Y) 4) Si le polynôme ax² + bx + c est tel que a < 0 et ∆ < 0, alors :

il a deux racines il est négatif il est positif il est décroissant

réelles pour tout x pour tout x puis croissant

Exercice 2 : (5 points) les questions 1 et 2 sont indépendantes

1) Vous empruntez 8000 euros remboursables en 36 mensualités constantes au taux d'intérêt annuel de 5,6%.

a. Justifiez que 5,6 % annuels représentent un taux mensuel de 0,4551 %, soit 0,004551. 0,5 pt

Nom, Prénom : Groupe :

b. Grâce à ce taux mensuel et à la formule des annuités constantes qui s’applique aussi aux mensualités,

calculer le montant de la mensualité de remboursement. 1 pt

c. Représenter les deux premières lignes du tableau de remboursement de cet emprunt. 1,5 pt

2) a. Quelle aurait été la valeur acquise au bout de trois ans en plaçant 8000 € en intérêts composés au taux

annuel de 5,6 % ? 1 pt

b. Quelle aurait été la valeur acquise au bout de trois ans en plaçant 8000 € en intérêts composés au taux

mensuel de 0,5 % ? 1 pt

Exercice 3 : (5,5 points)

Dans une usine textile, les coûts de production mensuels de blue jeans sont analysés. Le coût total de

production de x milliers d’unités est donné par la formule suivante : C(x) = – 0,5x² + 7x + 12, obtenu en milliers d'euros, formule valable pour x compris entre 0 et 5 (l'entreprise ne peut produire plus de 5000 pantalons par mois). Par exemple, si elle souhaite produire 4000 unités, son coût est C(4) = – 0,5×4² + 7×4 + 12 = 32 milliers d'euros.

1) a. Quel est le coût de production de 2000 unités ? 1 pt

b. On définit le coût marginal de production, Cm(x), comme étant celui de l'unité supplémentaire. Par exemple : Cm(2) est le coût du deux mille et unième pantalon. Calculer Cm(2). 1 pt

c. L'analyste de l'usine affirme que Cm(x) ≈ C'(x), nombre dérivé de la fonction C. Vérifier ses dires sur

l'exemple de la question précédente. 1 pt

2) L'analyste s'intéresse maintenant au coût moyen de production, qui est égal au coût total divisé par la quantité produite, soit : CM(x) = C(x) ÷ x (il est donc obtenu en milliers d'euros par millier d'unités, soit en euros par unité).

a. Donner la dérivée de ce coût moyen puis le signe de cette dernière et interpréter concrètement ce

résultat. 1,5 pt

b. La production sera rentable si le coût moyen est inférieur à 12 € par unité. Dire à partir de quelle quantité

produite ce résultat se constate. 1 pt

Exercice 4 : (5,5 points)

La récolte d'oranges a été satisfaisante cette année, en termes de quantité. Cependant, on souhaite estimer le calibre de ces fruits. Pour cela, on prend un échantillon de 400 oranges et on mesure grossièrement le diamètre de chacune. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :

Diamètre (cm) [6 ; 8[ [8 ; 9[ [9 ; 10[ [10 ; 12[

nombre d'oranges 68 108 180 44

1) a. Réaliser ci-dessous le diagramme des fréquences cumulées croissantes de cette série. 1,5 pt

b. Déterminer graphiquement les trois quartiles de cette série. 1 pt

c. Donner le diamètre moyen ainsi que l’écart type. 1 pt

d. Combien d'oranges ont un diamètre dans l’intervalle [x- σ ^; x+ σ ^{] ? 1 pt}

2) Un histogramme des effectifs a été construit à partir du tableau de l'énoncé :

Légender l'axe vertical de cet histogramme et placer les valeurs correspondant aux traits. 1 pt

__________ FIN DU SUJET __________

IUT - TC Mathématiques - Formulaire Semestre 1

Mathématiques financières

Capital de départ : C0 ; taux d’intérêts périodique (ex : annuel) : t ; nombre de périodes (ex : d’années) : n Intérêts simples Intérêts composés

Valeur acquise au bout

de n années

C

(1 + nt) ^C

^{= C}

( ^{1 + t} )

Intérêts au bout de n

années

i = C

×t×n i = C

– C

Remboursement par annuités constantes :

( ^× )

= − +

0

1 1

C t a

t

Second degré : P(x) = ax² + bx + c

P(x) est du signe de a, sauf si x se trouve entre ses racines (si elles existent). les racines de P(x) sont les valeurs de x qui le rendent nul. Pour déterminer les racines de P(x) :

1. Calculer le discriminant du polynôme : il s’agit du nombre ∆ = b² - 4ac 2. Regarder le signe de ∆ pour en déduire le nombre et la valeur des racines : Si ∆ < 0 : P(x) n’admet pas de racine réelle.

Si ∆ = 0 : P(x) admet une seule racine réelle :

x′ = −2b

a . (racine « double ») Si ∆ > 0 : P(x) admet deux racines réelles : et

2 2

x′=− − ∆b x′′=− + ∆b

a a .

Étude de fonctions

f(x) f ’(x) f(x) f ’(x) f(x) f ’(x)

a 0 1

x −x1₂

ln(x) 1

x 1 x

ax + b a

x 1

a a

a x ⁺

− ₁ ln(u(x))

( )

( )

u x u x

′

x² 2x

x³ 3x²

x x

1 x^a a×x^a-1 2

Opérations sur les dérivées :

f f ’ f f ’ f f ’

u + v u’ + v’ u ov v’ × u’ o v

k.u k.u’

u.v u’.v + u.v’

uⁿ n.u’.u^n-1

Statistiques à une variable

( )

' .

e e

x

u x u x

( )

x u x

e e

. .

u u v u v

v v

′ − ′

2

v

v v

− ₂′ 1