2016-2018 – S1 – Mathématiques – DEVOIR2 « partiel » CORRIGE page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2016-2018 14/12/2016
Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : QCM (4 points) - cochez vos réponses ci-dessous
Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point 1) Une augmentation de 20 % suivie d’une baisse de 20 % se solde par une variation de :
+ 10 % + 4 % 0 % – 4 %
2) 30 étudiants ont une moyenne de 12/20. On décide d’ajouter trois points à chacun. Alors leur nouvelle moyenne est :
12/20 12,1/20 13,5/20 15/20
3) Quelle formule sur la moyenne « E » est fausse ?
E(X+2) = E(X) + 2 E(X²) = [E(X)]² E(2X) = 2E(X) E(X+Y) = E(X) + E(Y) 4) Si le polynôme ax² + bx + c est tel que a < 0 et ∆ < 0, alors :
il a deux racines il est négatif il est positif il est décroissant
réelles pour tout x pour tout x puis croissant
Exercice 2 : (5 points) les questions 1 et 2 sont indépendantes
1) Vous empruntez 8000 euros remboursables en 36 mensualités constantes au taux d'intérêt annuel de 5,6%.
a. Justifiez que 5,6 % annuels représentent un taux mensuel de 0,4551 %, soit 0,004551. 0,5 pt Coefficient annuel : 1,056 ; coef. mensuel : 1,0561/12 = 1,004551 ; taux mensuel = 0,004551 = 0,4551%.
b. Grâce à ce taux mensuel et à la formule des annuités constantes qui s’applique aussi aux mensualités,
calculer le montant de la mensualité de remboursement. 1 pt
36
8000 0,004551
241,43 1 1,004551−
= × =
m −
c. Représenter les deux premières lignes du tableau de remboursement de cet emprunt. 1,5 pt
Mois
Capital restant dû (début de
période)
Amortissement Intérêts Mensualités de remboursement
Capital restant dû (fin de
période) 1
2
8000 7794,98
205,02 205,96
36,41 35,47
241,43 241,43
7794,98 7589,02
2) a. Quelle aurait été la valeur acquise au bout de trois ans en plaçant 8000 € en intérêts composés au taux
annuel de 5,6 % ? 1 pt
8000 × 1,0563 = 9420,67
b. Quelle aurait été la valeur acquise au bout de trois ans en plaçant 8000 € en intérêts composés au taux
mensuel de 0,5 % ? 1 pt
8000 × 1,00536 = 9573,44 Exercice 3 : (5,5 points)
Dans une usine textile, les coûts de production mensuels de blue jeans sont analysés. Le coût total de
production de x milliers d’unités est donné par la formule suivante : C(x) = – 0,5x2 + 7x + 12, obtenu en milliers d'euros, formule valable pour x compris entre 0 et 5 (l'entreprise ne peut produire plus de 5000 pantalons par mois). Par exemple, si elle souhaite produire 4000 unités, son coût est C(4) = – 0,5×4² + 7×4 + 12 = 32 milliers d'euros.
1) a. Quel est le coût de production de 2000 unités ? 1 pt
C(2) = – 0,5×2² + 7×2 + 12 = 24 milliers d'euros
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b. On définit le coût marginal de production, Cm(x), comme étant celui de l'unité supplémentaire. Par exemple : Cm(2) est le coût du deux mille et unième pantalon. Calculer Cm(2). 1 pt Cm(2) = C(2,001) – C(2) = 24,005 – 24 = 0,005 milliers d'euros = 5 €.
c. L'analyste de l'usine affirme que Cm(x) ≈ C'(x), nombre dérivé de la fonction C. Vérifier ses dires sur
l'exemple de la question précédente. 1 pt
C'(x) = – x + 7 ; donc C'(2) = 5. En effet, on retrouve bien la même valeur (mais directement en euros ici).
2) L'analyste s'intéresse maintenant au coût moyen de production, qui est égal au coût total divisé par la quantité produite, soit : CM(x) = C(x) ÷ x (il est donc obtenu en milliers d'euros par millier d'unités, soit en euros par unité).
a. Donner la dérivée de ce coût moyen puis le signe de cette dernière et interpréter concrètement ce
résultat. 1,5 pt
CM(x) = C(x) ÷ x = -0,5x + 7 + 12 ÷ x. Donc C'M(x) = -0,5 - 12 ÷ x2.
Cette dérivée est négative, en tant que somme de deux termes négatifs. Ainsi, le coût moyen de production diminue à mesure que la quantité produite augmente.
b. La production sera rentable si le coût moyen est inférieur à 12 € par unité. Dire à partir de quelle quantité
produite ce résultat se constate. 1 pt
CM(x) < 12 ssi C(x) < 12x – 0,5x2 + 7x + 12 < 12x ssi – 0,5x2 – 5x + 12 < 0.
Ce polynôme du second degré est en effet négatif si x se trouve à l'extérieur de l'intervalle de ses racines.
Ces dernières valent 2 et -12. Comme x est une quantité positive dans cet exercice, la conclusion est que CM(x) < 12 à partir du moment où x > 2 (il faut produire plus de 2000 unités).
Exercice 4 : (5,5 points)
La récolte d'oranges a été satisfaisante cette année, en termes de quantité. Cependant, on souhaite estimer le calibre de ces fruits. Pour cela, on prend un échantillon de 400 oranges et on mesure grossièrement le diamètre de chacune. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :
Diamètre (cm) [6 ; 8[ [8 ; 9[ [9 ; 10[ [10 ; 12[
nombre d'oranges 68 108 180 44
1) a. Réaliser ci-dessous le diagramme des fréquences cumulées croissantes de cette série. 1,5 pt
b. Déterminer graphiquement les trois quartiles de cette série. 1 pt
Ils correspondent aux FCC respectivement égales à 25%, 50% et 75%, soit graphiquement : Q1 = 8,3 ; M = 9,15 ; Q3 = 9,7
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c. Donner le diamètre moyen ainsi que l’écart type. 1 pt
moyenne = 8,97 cm ; écart type = 1,140 cm
d. Combien d'oranges ont un diamètre dans l’intervalle [x- σ ; x+ σ ] ? 1 pt Cet intervalle est ici [7,83 ; 10,1]. On le reporte graphiquement et cela nous conduit à l'intervalle de FCC suivant : [15% ; 90%]. 90 – 15 = 75. Sur 400 oranges, 75% ont des diamètres dans cet intervalle, soit 300 oranges.
2) Un histogramme des effectifs a été construit à partir du tableau de l'énoncé :
Légender l'axe vertical de cet histogramme et placer les valeurs correspondant aux traits. 1 pt __________ FIN DU SUJET __________
concentrations 200 175 150 125 100 75 50 25 0
