IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2016-2018 14/04/2017
Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2
La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.
Tout sera rédigé sur le présent feuillet.
Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.
Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.
Exercice 1 : QCM (3 points) - cochez vos réponses ci-dessous
Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point
1) Compléter en choisissant parmi les propositions : "Dans un test du Khi-deux, le seuil de risque est la probabilité que H0 soit ___[1]___ sachant qu'on l'a ___[2]___."
[1] vraie [1] vraie [1] fausse [1] fausse
[2] rejetée [2] acceptée [2] rejetée [2] acceptée 2) Les moyennes mobiles des valeurs 3 ; 5 ; 4 ; 6 ; 4 ; 7 prises deux par deux sont :
4 ; 5 ; 5,5 3 ; 4 ; 4 4 ; 4,5 ; 5 ; 5 ; 5,5 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 3) Si les résidus calculés entre un nuage de points et une droite sont tous faibles, alors :
|r| ≈ 1 cov(X,Y) ≈ 0 |r| ≈ 0 cov(X,Y) ≈ 1
Exercice 2 : Test du χ² (5,5 points)
On donne le tableau de contingence suivant regroupant 418 femmes, classées selon la couleur des yeux et la couleur des cheveux :
Couleur des cheveux
Bruns Châtains Roux Blonds Couleur des
yeux
Marron 82 118 20 35
Verts 11 16 11 8
Bleus 33 42 18 24
1) Par un test du Khi-deux, peut-on dire au seuil de 2% s'il y a une relation entre la couleur des cheveux et la couleur des yeux dans la population dont cet échantillon est extraite ? 3 pts
NOM, Prénom : Groupe :
2) Donner une explication concrète du seuil de risque indiqué en question 1. 1 pt
3) En regardant en détails les khi-2 partiels, dire pour quelle couleur de cheveux on a une répartition de la couleur des yeux sensiblement différente du reste de la population. 1,5 pt
Exercice 3 : (6,5 points)
L'évolution de la valeur du SMIC horaire est montrée dans le tableau ci-dessous sur la période des treize dernières années. Le nuage de points correspondant est également affiché.
année
rang année
SMIC horaire brut (€)
X Y
2005 1 8,03
2006 2 8,27
2007 3 8,44
2008 4 8,71
2009 5 8,82
2010 6 8,86
2011 7 9,10
2012 8 9,31
Y
1) a. Donner l'équation de la droite de régression de Y en X selon les moindres carrés. 1 pt
b. Tracer cette droite sur la représentation graphique ci-dessus. 1 pt
c. Avec cet ajustement linéaire, calculer une estimation du SMIC horaire brut en 2025. 1 pt
2) Il semble qu'un ajustement linéaire ne soit pas le meilleur modèle pour refléter l'évolution constatée : on décide d'effectuer le changement de variable T = X .
a. Calculer la covariance du couple (T, Y) puis son coefficient de corrélation linéaire. Interpréter. 2 pts
b. Donner l’équation de la droite de régression de Y sur T, selon la méthode des moindres carrés. 0,5 pt
c. Donner alors, avec ce nouveau modèle, une estimation du SMIC horaire brut en 2025. 1 pt
Exercice 4 : (5 points)
Un site web de conseil en automobile a recensé les valeurs à la revente de plusieurs véhicules d'un même modèle en fonction de leur ancienneté. Les résultats chiffrés et le nuage de points correspondant sont donnés ci-dessous :
1) Un ajustement linéaire serait ici absurde. On se propose de pratiquer le changement de variable suivant : T 1
= X , dans le but de modéliser la corrélation linéaire supposée entre T et Y. Donner l’équation de la droite de régression de Y en T, selon la méthode des moindres carrés. 1 pt
2) On souhaite avoir une estimation du prix de vente d'un véhicule du même modèle, mais âgé de 10 ans.
a. Déterminer l'estimation ponctuelle de ce prix. 1 pt
b. Déterminer une estimation de ce prix par un intervalle à 95% de confiance (on obtiendra d'abord un intervalle pour T suivant la méthode des rapports, puis on traduira cela en valeurs de X). 2,5 pts
âge du véhicule (années) : X 1 1,5 2 3 3 4 5 7
valeur à la revente (€) : Y 9200 6700 5500 4300 4200 3750 3400 3000
c. D'après cette dernière estimation, quel est le pourcentage de tels véhicules âgés de 10 ans qui se
vendront plus de 2560 € ? 0,5 pt
____________________ FIN DU SUJET ____________________
