IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

2017-2019 – S1 – Mathématiques – DEVOIR2 « partiel » CORRIGE page 1 sur 3

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2017-2019 **/12/2017

Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

CORRIGE

Exercice 1 : QCM (2 points) - cochez vos réponses ci-dessous

Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point

1) Compléter : "Le remboursement d'un emprunt, sur le mode des amortissements constants, présente des annuités …[1]… et des intérêts …[2]…"

[1] constantes [1] constantes [1] variables [1] variables [2] constants [2] variables [2] constants [2] variables 2) En statistiques, un diagramme en barres se forme à partir d'une variable…

discrète qualitative qualitative continue

ou continue ou discrète ou continue uniquement

3) Le discriminant du polynôme ax² + bx est :

∆ = b² – 4a ∆ = b²

2

=−b

x a 2

− ± ∆

= b

x a

4) La dérivée de : 1 1

−

֏ +x f x x ^{est :}

( )

²

2 1

−

+x

( )

²

2 1

− +

x

x

( )

²

1 1

− − +

x

x

( )

²

1 1

− + +

x x

Exercice 2 : (3 points)

Au début d'une période de soldes, le prix habituel p0 d'un article est diminué de 30% (première démarque). Une semaine plus tard, ce même article est étiqueté "soldes : -50% !" (deuxième démarque). Quel a été le taux de variation du prix de l'article entre la première et la deuxième démarques ?

(répondre par un calcul dans lequel vous avez choisi un exemple de valeur pour p0 vous enlèvera un point ; répondre par un calcul utilisant le paramètre p0 vous assurera les trois points).

Le prix de vente de l'article à la première démarque est 0,7p0 et il vaut 0,5p0 à la deuxième.

Le taux cherché est donc ^{0 0} %

0

0,5p 0,7p 0,2

0,2857 28,57

0,7p 0,7

− =− ≈ − ≈ − .

Exercice 3 : (3,5 points) les questions 2 et 3 sont indépendantes

A l'occasion de l'achat d'une automobile d'occasion, vous empruntez 6000 € à votre banque, qui vous propose un prêt au taux de 6,5% (annuels) pour un remboursement en 60 mensualités (5 ans).

1) Justifier que la mensualité s'élèvera alors à 116,87 €. 1 pt

taux annuel = 0,065 ⇔ coef annuel = 1,065

⇔ coef mensuel = 1,065^1/12 ≈ 1,00526169 ⇔ taux mensuel ≈ 0,00526169 mensualité :

( )

0 60

0,00526169

6000 116,87

1 1,00526169

1 1 ^{− −}

× = × ≈

− + ⁿ − C t

t

2) Former puis compléter les deux premières lignes du tableau d'amortissement de cet emprunt. 1,5 pt Mois

Capital restant dû (début de

période)

Amortissement Intérêts Mensualités de remboursement

Capital restant dû (fin de

période) 1

2

6000 5914,70

85,30 85,75

31,57 31,12

116,87 116,87

5914,70 5828,95

3) Quel est le coût du prêt ? 1 pt

C'est la différence entre la quantité totale remboursée et la somme prêtée : 60×116,87 – 6000 = 1072,20 €.

2017-2019 – S1 – Mathématiques – DEVOIR2 « partiel » CORRIGE page 2 sur 3 Exercice 4 : (6 points)

Chaque jour, une entreprise produit un nombre x d’objets compris entre 0 et 70.

Le coût, exprimé en euros, de la production journalière est : C(x) = x³ – 90x² + 2700x.

On suppose que toute la production est vendue au prix de 900 euros l’unité

1) Représenter ci-dessous la courbe de la fonction C, dans le domaine de valeurs de x cité. 1 pt

2) Le coût moyen de production est par définition

( ) ( )

M =C x

C x

x , polynôme du second degré.

a. Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle CM

( )

x est minimal. 1 pt

( )

²

M = −90 +2700

C x x x , qui présente un minimum (polynôme du second degré de premier coefficient positif) lorsque 90

2 2 45

=−b= =

x a .

b. Positionner le résultat de la question 2)a. sur votre graphique. Commenter. 1 pt (Voir le segment bleu) Le coût moyen de x unités produites est la pente du segment reliant l'origine du repère au point

(

^{x C x,}

( ) )

; c'est en effet le segment représenté qui possède la pente la plus faible.

c. Pour que la production soit rentable, le coût moyen doit être inférieur à 900 €. Résoudre l'équation x² – 90x + 2700 = 900 puis conclure sur les quantités à produire pour atteindre la rentabilité. 1 pt

2−90 +2700=900 ⇔ 2−90 +1800=0

x x x x . ∆ = 900, x1 = 30 et x2 = 60.

Il faut produire entre 30 et 60 unités pour que la recette dépasse les coûts de production.

(voir ligne pointillée, qui est portée par la droite d'équation y = 900x)

3) a. Dériver la fonction C. Justifier qu'elle est croissante sur ℝ. 1 pt

( )

^{3 2 180 2700}

′ = − +

C x x x . Le discriminant est ici nul, ce qui implique que cette expression est du signe de son premier coefficient pour tout réel x : ^{C x′}

( )

est positive sur ℝ et la fonction C est donc croissante.

b. Déterminer la valeur de x pour laquelle cette dérivée est minimale, puis représenter graphiquement ce

résultat (toujours sur le graphique ci-dessus). 1 pt

( )

′

C x est minimale lorsque 180 2 6 30

=−b= =

x a et d'ailleurs vaut zéro en ce point. Sur le graphique, on trace une tangente horizontale au point

(

^30,C

( )

³⁰

)

. (en orange)

2017-2019 – S1 – Mathématiques – DEVOIR2 « partiel » CORRIGE page 3 sur 3 Exercice 5 : (5,5 points)

Une étude a été menée sur 500 étudiants, qui a consisté à relever les temps de trajets de leur résidence vers leur établissement d'enseignement. Le tableau suivant donne les résultats de cette étude :

temps (minutes) [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 40[ [40 ; 60[

effectifs 84 183 202 31

1) a. Quelle est la classe modale de cette série ? Justifier. 0,5 pt

La classe modale est celle de plus forte concentration. Les concentrations sont ici, dans l'ordre : 8,4 ; 18,3 ; 10,1 ; 1,55. La classe modale est donc [10 ; 20[.

b. Si un histogramme était réalisé, quel serait le rectangle le plus haut ? Justifier. 0,5 pt Le rectangle le plus haut serait celui de plus forte concentration, donc celui de la classe [10 ; 20[.

2) a. Représenter ci-dessous le diagramme des FCC (fréquences cumulées croissantes) de cette série. 1,5 pt fréquences : 16,8% ; 36,6% ; 40,4% ; 6,2%. FCC : 0 ; 16,8% ; 53,4% ; 93,8% ; 100%.

b. D'après ce diagramme, donner une estimation du nombre d'étudiants dont le temps de trajet est

supérieur à une demi-heure. 0,5 pt

FCC(30) = 74%. Donc 26% des étudiants mettent plus d'une demi-heure, soit 130 étudiants. (vert)

c. Toujours d'après ce diagramme, donner la médiane et l'intervalle interquartile. Interpréter

succinctement. 1 pt

(rouge) M = 19 min : la moitié des étudiants met moins de 19 minutes.

Q1 = 12,5 et Q3 = 31, soit l'intervalle [12,5 ; 31] : la moitié des étudiants met entre 12,5 et 31 minutes.

3) a. A partir du tableau de l'énoncé, donner le temps de trajet moyen ainsi que son écart type. 1 pt moyenne : 21,55 minutes ; écart type = 11,86 minutes.

b. Expliquer la signification concrète de la valeur de l'écart type. 0,5 pt En moyenne, la différence entre le temps de trajet d'un étudiant et le temps moyen est 11,86 minutes.

__________ FIN DU SUJET __________

10 50 100

10 20 30 40 50

Q

1

M Q

3

temps (min)

FCC (%)

0 60