Pour x 0 , calcul de ∫

PC : semaine 12 Suites & séries de fonctions. Intégration sur un segment et retour 1ère année.

Pour x 0 , calcul de ∫

1 x

x

tlnt

1t

²



²

dt .

Calculer : ∫

0 1

x  Arctan x

²

dx

On pose I

_n

= ∫

0



1

1cos

²

nx d x .

1. Prouver que

^In

est une suite constante.

2. Calculer I

_n

.

Soit

^f n

:

ℝ

,

ℝ ^x

2

ⁿ

x

1n2

ⁿ

x

²

n

,

∈ ℕ

1) Étudier la convergence simple sur de la suite

ℝ ^fn

. 2) Calculer ∫

0 1

f

_n

et lim

n ∞

∫

0 1

f

_n

.

Sachant que pour tout

^x

réel, e

^x

= ∑

n=0

∞

x

ⁿ

n! , établir l'égalité: ∫

0 1

x

^x

d x = ∑

n=1

∞

 – 1

^n1

n

ⁿ

Montrer que : ∫

0 2

e

^2cosx

d x=2  ∑

n=0

∞

1

 n!

²

aide  ∫

0

 2

cos

^2p

t d t=  2 p!

2

^2p

 p!

²



2 intégrale de Wallis

2009©My Maths Space Page 1/2

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PC : semaine 12 Suites & séries de fonctions. Intégration sur un segment et retour 1ère année.

Éléments de correction classique : IPP.

IPP 

∫

0 1

xArctan x²dx=[x²/2Arctanx²]₀¹−

∫

0 1 x²

1x²Arctanxdx et

∫

0 1

Arctanxdx par IPP.

I

_n

= ∫

0



1

1cos

²

nx d x

, changement de variable t=nx et I_n=1 n

∫

0 n

1

1cos²tdx et

∫

0 n

t  d x=n ∫

0



t  d x

car  périodique de période 

et

changement de variable u=tant dans

∫

0

 2−

1

1cos²tdt . On fait tendre ensuite vers 0.

Distinguer le cas x=0 du cas x≠0. pour x≠0,

f

_n

x ~ 1

nx

^.

I

_n

= ∫

0 1

f

_n

 x d x= ln2

2

( en effet : ln1n2ⁿ=nln2lnnln



^1n¹2ⁿ



⁾

Précis : exemple 2 p 89. Difficulté  calcul de a_n

= ∫

0 1



xlnxⁿ

d

x

( l'idée consiste à calculer par parties

∫

0 1

xⁿ

lnx 

^p

d

x pour p ∈ ℕ^* )

I=

∫

0 2

e^2cosxdx=

∫

–



e^2cosxdx=2

∫

0



e^2cosxdx parité et 2

-

périodicité.

∀ x∈[0 ;], e^2cosx=

∑

n=0

∞ 2ⁿcosⁿx

n! , convergence normale sur [0;] puis changement de variable y=– x puis utiliser l'aide.

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