Intégration sur un segment
Plan du chapitre
1
Fonctions en escalier. Fonctions continues par morceaux . . . .page 2 1.1Subdivisions d’un segment . . . page 2 1.2Fonctions en escalier . . . page 2 1.2.1 Définition . . . page 2 1.2.2 Propriétés . . . .page 3 1.3Fonctions continues par morceaux . . . page 4 1.3.1 Définition . . . page 4 1.3.2 Propriétés . . . .page 6 1.4Approximations uniformes d’une fonction continue sur un segment. . . .page 7 1.4.1 Par une fonction en escalier . . . page 7 1.4.2 Par une fonction affine par morceaux et continue . . . page 72
Intégrale d’une fonction en escalier sur un segment. . . .page 8 2.1Définition . . . page 8 2.2Propriétés . . . page 10 2.2.1 Linéarité . . . page 10 2.2.2 Relation deChasles . . . page 10 2.2.3 Intégrales et inégalités . . . page 103
Intégration d’une fonction continue par morceaux sur un segment. . . .page 12 3.1Définitions de l’intégrabilité et de l’intégrale . . . page 12 3.1.1 Cas des fonctions à valeurs réelles . . . page 12 3.1.2 Cas des fonctions à valeurs complexes . . . page 13 3.1.3 Intégrabilité des fonctions continues par morceaux . . . page 14 3.2Propriétés . . . page 14 3.2.1 Linéarité . . . page 14 3.2.2 Relation deChasles . . . page 16 3.2.3 Intégrales et inégalités . . . page 16 3.2Interprétations de l’intégrale . . . .page 20 3.3.1 Aires algébriques . . . page 20 3.3.2 Valeur moyenne d’une fonction continue par morceaux sur un segment . . . page 224
Intégrale fonction de la borne supérieure. . . .page 23 4.1Généralisation de la relation deChasles . . . page 23 4.2Dérivabilité de la fonctionx7→Zx
a
f(t)dt . . . page 24 4.3Primitives . . . page 27
5
Sommes deRiemannà pas constant . . . .page 281 Fonctions en escalier. Fonctions continues par morceaux
1.1 Subdivisions d’un segment
Définition 1.Soient aetbdeux réels tels quea < b.
Unesubdivision du segment [a, b]est un(n+1)-uplet(x0, . . . , xn)∈[a, b]n+1 (n∈N) tel que x0=a < x1< . . . < xn−1< xn =b.
Le pas de cette subdivision est Max{xk+1−xk, k∈J0, n−1K}. Le support de cette subdivision est l’ensemble {xk, k∈J0, nK}.
Une subdivision découpe le segment[a, b]en un nombrefinide segments. Une subdivision a l’allure suivante
b bb b b b
a b
x0 x1 x2 . . . xn−1 xn
Si pour tout k ∈ J0, nK, on pose xk = a+kb−a
n , alors x0 = a < x1 < . . . < xn−1 < xn = b et de plus, pour tout k∈J0, n−1K,xk+1−xk= b−a
n . On a obtenu une subdivision du segment[a, b],à pas constant.
b b b b b b
a b
x0 x1 x2 . . . xn−1 xn
Définition 2.Soit[a, b],a < b, un segment deR. Soientσet σ′ deux subdivisions de[a, b].
σestplus fine queσ′ si et seulement si le support deσcontient le support deσ′. Ainsi, si on noteS(σ)et S(σ′)les supports respectifs deσetσ′,
σest plus fine queσ′ si et seulement siS(σ′)⊂S(σ).
Exemple. σ =
0,1 3,1
2,2 3, 1
et σ′ =
0,1 2, 1
sont deux subdivisions de [0, 1] telles que σ est plus fine que σ′. σ=
0,1
3, 1
etσ′=
0,2 3, 1
sont deux autres subdivisions de[0, 1]et aucune des deux subdivisions n’est plus fine que
l’autre. ❏
Soient σ = (x0, . . . , xn) et σ′ = (y0, . . . , yp) deux subdivisions du segment [a, b]. On note S(σ) et S(σ′) les supports respectifs des subdivisionsσet σ′.
On peut définit la subdivisionσ∪σ′= (z0, . . . , zq)de[a, b]comme la subdivision de[a, b]dont le support estS(σ)∪S(σ′): on réunit les deux supports, puis on élimine les doublons et enfin on classe les réels obtenus dans l’ordre croissant.
Par exemple, siσ=
0,1 3,1
2, 1
et σ′ =
0,1 4,1
2,2 3, 1
, alorsσ∪σ′=
0,1 4,1
3,1 2,2
3, 1
. Un théorème immédiat est :
Théorème 1.Soientσet σ′ deux subdivisions de[a, b].
Alors,σ∪σ′ est une subdivision de[a, b], plus fine queσet σ′.
1.2 Fonctions en escalier
1.2.1 Définition
Définition 3.Soitfune fonction définie sur un segment[a, b]deR(a < b) à valeurs dansRouC.
fest en escalier sur [a, b]si et seulement si il existe une subdivisionx0=a < x1< . . . < xn−1< xn =bde[a, b]
telle que, pour toutk∈J0, n−1K, la restriction de fà]xk, xk+1[est constante. On dit dans ce cas que la subdivision σest unesubdivision adaptée à la fonction en escalierf.
Définition 4.Soitfune fonction définie sur un intervalle quelconqueIdeRà valeurs dansRouC.
fest en escalier sur Isi et seulement sif est en escalier sur tout segment contenu dansI.
Ainsi, la fonction « partie entière » est en escaliers sur tout segment de R et donc est en escalier surR. Par contre, la fonction x 7→
E
1 x
six∈]0, 1]
0six=0
n’est pas en escalier sur le segment [0, 1] mais est en escalier sur ]0, 1]. Voici son graphe :
1 2 3 4
1
b
1 2 1 3 1 4 1 5
1.2.2 Propriétés On a immédiatement :
Théorème 2.Soientfune fonction en escalier sur [a, b]à valeurs dansRouCpuisσune subdivision adaptée à f.
Siσ′ est une subdivision de[a, b], plus fine queσ, alorsσ′ est adaptée àf.
Théorème 3.Soitfune fonction en escalier sur un segment[a, b]deRà valeurs dansRouC. Alors,fest bornée sur le segment[a, b].
Démonstration. Il existe une subdivisiona=x0< x1< . . . < xn=bde[a, b]telle quefsoit constante sur chaque intervalle ]xk, xk+1[,06k6n−1. La fonctionfprend un nombre fini de valeurs (au plus(n+1) +n=2n+1valeurs) et en particulier est bornée sur[a, b]).
❏
Théorème 4.Soientfet gdeux fonctions en escaliers sur[a, b],a < b, à valeurs dansK=RouC. Alors,
•pour tout(λ, µ)∈K2, la fonctionλf+µgest en escalier sur[a, b].
•la fonction f×gest en escalier sur[a, b].
•sif ne s’annule pas sur[a, b], la fonction 1
f est en escalier sur[a, b].
•signe s’annule pas sur[a, b], la fonction f
g est en escalier sur[a, b].
Démonstration. Soientσune subdivision du segment[a, b]adaptée àfetσ′une subdivision du segment[a, b]adaptée àg.
σ∪σ′est une subdivision de[a, b], plus fine queσetσ′d’après le théorème 1.σ′′=σ∪σ′= (x0, . . . , xn)est donc une subdivision adaptée àfet àg
Les fonctionsfetgsont constantes sur chacun des intervalles]xk, xk+1[,06k6n−1, et il en est de même des fonctionsλf+µg, (λ, µ)∈K2, etf×g, puis 1
f et f
g si de plus les dénominateurs ne s’annulent pas.
❏ Remarque.Si on désigne parE([a, b],K)l’ensemble des fonctions en escalier sur[a, b]à valeurs dansK, alorsE([a, b],K) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel K[a,b],+, .
.
Théorème 5.Soitfune fonction définie sur un segment[a, b],a < b, à valeurs dansRouC.
Sif est en escalier sur[a, b], alors, pour tout réelcde]a, b[,f est en escalier sur[a, c]et sur[c, b].
Réciproquement, s’il existe un réelcde]a, b[tel quef est en escalier sur[a, c]et sur[c, b], alorsfest en escalier sur [a, b].
Démonstration. Supposonsfen escalier sur[a, b]. Soitσ= (x0, . . . , xn)une subdivision adaptée àf. Soitc∈]a, b[.
Soitp= max{k∈J0, n−1K, xk6c < xk+1} (p existe car {k∈J0, n−1K, xk6c < xk+1} est une partie deN, non vide (car 0est dans cet ensemble) et majorée (parn−1) deN).
Sic > xp, par définitionxp< c < xp+1et donc les subdivisionsσ′= (x0, . . . , xp, c)etσ′′= (c, xp+1, . . . , xn)sont des subdivisions de [a, c]et[c, b]respectivement, etfest constante sur chacun des intervalles ouverts définis par ces subdivisions.fest donc en escalier sur[a, c]et sur[c, b].
Sic=xp, les subdivisonsσ′= (x0, . . . , xp)et σ′′= (c, xp+1, . . . , xn)sont des subdivisions de[a, c]et[c, b]respectivement, etfest constante sur chacun des intervalles ouverts définis par ces subdivisions.fest donc en escalier sur[a, c]et sur[c, b].
Inversement, soitc∈]a, b[tel quefsoit en escalier sur[a, c]et sur[c, b]. Soientσ′= (x0, . . . , xp)etσ′= (y0, . . . , yq)des subdivisions de[a, c]et[c, b]respectivement, adaptées àf(en particulier, xp=c=y0). Soitσ= (x0, . . . , xp, y1, . . . , yq).σest une subdivision de[a, b]etfest constante sur chacun des intervalles ouverts définis par cette subdivision. Donc,fest en escalier sur[a, b].
❏ Théorème 6.Soitfune fonction définie sur un segment[a, b],a < b, à valeurs dansRouC.
Sif est en escalier sur[a, b], alors|f|est en escalier sur[a, b].
Démonstration. Soitσ= (x0, . . . , xn)une subdivision adaptée àf. Pour chaquek∈ J0, n−1K,f]xk,xk+1[ est constante et donc|f|]xk,xk+1[ est constante. Donc,|f|est en escalier sur[a, b]etσest une subdivision adaptée à|f|.
❏
1.3 Fonctions continues par morceaux
1.3.1 Définition
Définition 5.Soitfune fonction définie sur un segment[a, b]deRà valeurs dansK=RouC.
La fonctionfestcontinue par morceauxsur[a, b]si et seulement si il existe une subdivisionσ= (x0, . . . , xn)telle que :
1)pour toutk∈J0, n−1K,f est continue sur]xk, xk+1[,
2)pour toutk∈J0, n−1K, la restrictionf/]xk,xk+1[ defà]xk, xk+1[, se prolonge en une fonction continue sur[xk, xk+1].
Dans ce cas, la subdivisionσest dite adaptée à la fonctionf.
➱ Commentaire.
⋄ Une fonction continue sur[a, b]est en particulier une fonction continue par morceaux sur[a, b]. Il suffit d’appliquer la définition avecσ= (x0, x1) = (a, b).
⋄ La deuxième condition signifie plus concrètement qu’en chacun de ses points de discontinuité,fadmet une limite à gauche et une limite à droite dansK(uniquement une limite à droite enaet une limite à gauche).
⋄ On doit faire attention à la précision de l’intitulé de la deuxième condition : « ... la restrictionf/]xk,xk+1[ de f à ]xk, xk+1[se prolonge en une fonction continue sur[xk, xk+1]». Cette phrase ne peut pas être remplacée par la phrase « ... fse prolonge en une fonction continue sur[xk, xk+1]» car la fonctionfest déjà définie enxket éventuellement discontinue enxk. C’est bien la restriction defà l’intervalle ouvert qui est, ou n’est pas, prolongeable par continuité.
⋄ Une fonction en escalier sur[a, b]est en particulier continue par morceaux sur[a, b].
Voici plusieurs exemples de fonctions qui ne sont pas continues par morceaux sur un segment.
Pourx∈[0, 1], posonsf(x) =
1
x six∈]0, 1]
0six=0
.fest définie sur[0, 1]et continue sur]0, 1]. Mais,fn’est pas continue par morceaux sur[0, 1]car la fonction fn’a pas une limite réelle en0à droite. Voici son graphe :
1 2 3 4 5 6
1
b b
Pour x ∈ [0, 1], posons f(x) =
sin
1 x
six∈]0, 2]
0six=0
. f est définie sur [0, 2] et continue sur ]0, 2]. Mais, f n’est pas continue par morceaux sur[0, 2] car la fonctionfn’a pas une limite réelle en0 à droite. Voici son graphe :
−1 1
1
b
Le graphe d’une fonction continue par morceaux sur un segment[a, b], à valeurs dansR, a l’allure suivante :
b b b
La définition d’une fonction continue par morceaux sur un segment se généralise à un intervalle quelconque de la façon suivante :
Définition 6.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeRà valeurs dansK=RouC.
La fonctionf est continue par morceaux sur I si et seulement si f est continue par morceaux sur tout segment contenu dansI.
Notation.L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur Ià valeurs dansK=RouCpeut par exemple se noter Cpm(I,K).
1.3.2 Propriétés
Théorème 7.Soitfune fonction continue par morceaux sur un segment[a, b]à valeurs dansRouC.
Alors,f est bornée sur[a, b].
Démonstration. Soitσ= (x0, . . . , xn)une subdivision adaptée àf. Pourk∈J0, n−1K, la restriction de fonctionfà]xk, xk+1[ est continue sur]xk, xk+1[et se prolonge en une fonction continue sur[xk, xk+1[, que l’on notefk. Pour chaquek,fkcontinue sur le segment[xk, xk+1]et en particulier,fkest bornée sur ce segment. Pourk∈J0, n−1K, on noteMkun majorant de|fk|sur[xk, xk+1].
ChaqueMk est un majorant de|f|sur l’intervalle]xk, xk+1[correspondant.
SoitM=Max{|f(x0)|, . . . ,|f(xn)|, M0, . . . , Mn−1}.Mest un réel et pour tout xde[a, b], on a|f(x)|6 M.fest donc bornée sur [a, b].
❏ Théorème 8. Soient f et gdeux fonctions continues par morceaux sur [a, b], a < b, à valeurs dansK = R ouC.
Alors,
•pour tout(λ, µ)∈K2, la fonctionλf+µgest continue par morceaux sur[a, b].
•la fonction f×gest continue par morceaux sur[a, b].
Démonstration. La démonstration est identique à celle du théorème 4 en remplaçant l’expression « en escalier » par l’expression
« continue par morceaux » et l’expression « constante sur ... » par l’expression « continue sur ... ».
❏ Remarque. Une conséquence du théorème 8 est que Cpm(I,K) est un sous-espace vectoriel de K[a,b],+, .
et que C0([a, b],K)est un sous-espace vectoriel de(Cpm(I,K),+, .). Une autre conséquence est le fait que(Cpm(I,K),+,×)est
un anneau. ❏
De même, en adaptant la démonstration du théorème 5, on obtient : Théorème 9.Soitfune fonction définie sur un segment[a, b],a < b.
Sifest continue par morceaux sur[a, b], alors, pour tout réelcde]a, b[,fest continue par morceaux sur[a, c]et sur [c, b].
Réciproquement, s’il existe un réelc de ]a, b[ tel que f est continue par morceaux sur[a, c] et sur [c, b], alors f est continue par morceaux sur[a, b].
1.4 Approximations uniformes d’une fonction continue sur un segment
1.4.1 Par une fonction en escalier
Théorème 10.Soitf une fonction continue sur un segment[a, b]à valeurs dansK=RouC.
Pour toutε > 0, il existe une fonctiongen escalier sur[a, b]telle que∀x∈[a, b],|f(x) −g(x)|6ε.
Démonstration. Soitfune fonction continue sur un segment[a, b]à valeurs dansK=RouC. Soitε > 0.
La fonctionfest continue sur le segment[a, b]. On en déduit que la fonctionfest uniformément continue sur ce segment d’après le théorème deHeine. Il existe donc un réelα > 0tel que, pour tout(x, y)∈[a, b]2, si|x−y|6α, alors|f(x) −f(y)|6ε.
Soitn un entier naturel non nul tel que b−a
n 6 α (on peut choisir par exemplen= E b−a
α
+1). Pour k ∈J0, nK, posons xk=a+kb−a
n .(x0, . . . , xn)est une subdivision de[a, b], à pas constant.
Soitx∈[a, b[. Pour un telx, il existe un entierk∈J0, n−1K(et un seul) tel quexk6x < xk+1. Pour un telx, on poseg(x) =f(xk).
On pose d’autre partg(b) =f(b).gest alors une fonction définie sur[a, b]et en escalier sur[a, b].
Soitx∈[a, b]. Six=b, alors|f(x) −g(x)|=|f(b) −g(b)|=06ε. Sinon,x∈[a, b[et donc il existe un entierk∈J0, n−1Ktel que xk6x < xk+1. Puisque
06x−xk< xk+1−xk= b−a n 6α, on en déduit que|f(x) −g(x)|=|f(x) −f(xk)|6ε.
On a ainsi construit une fonctiong, en escalier sur[a, b], telle que pour toutx∈[a, b],|f(x) −g(x)|6ε.
b b b b b b 2ε
y=f(x)
y=g(x)
a
b
❏ En appliquant le théorème 10 à chacun des intervalles définis par une subdivision, intervalles qui sont en nombre fini, on a plus généralement
Théorème 11.Soitf une fonction continue par morceaux sur un segment[a, b]à valeurs dansK=RouC.
Pour toutε > 0, il existe une fonctiongen escalier sur[a, b]telle que∀x∈[a, b],|f(x) −g(x)|6ε.
1.4.2 Par une fonction affine par morceaux et continue
Théorème 12.Soitf une fonction continue sur un segment[a, b]à valeurs dansK=RouC.
Pour toutε > 0, il existe une fonctiongaffine par morceaux et continue sur[a, b]telle que∀x∈[a, b],|f(x)−g(x)|6ε.
Démonstration. Soitfune fonction continue sur un segment[a, b]à valeurs dansK=RouC. Soitε > 0.
De nouveau, la fonctionfest continue sur le segment[a, b]et donc est uniformément continue sur ce segment d’après le théorème deHeine. Il existe donc un réelα > 0tel que, pour tout(x, y)∈[a, b]2, si|x−y|6α, alors|f(x) −f(y)|6ε.
Soitnun entier naturel non nul tel que b−a
n 6α. Pourk∈J0, nK, posonsxk=a+kb−a n .
Soit alorsgla fonction définie par :gprend les mêmes valeurs que fenx0, . . . ,xn et est affine sur chaque intervalle [xk, xk+1], k ∈ J0, n−1K. Plus précisément, pour chaque k ∈ J0, n−1K puis chaque x ∈ [xk, xk+1], on pose (polynôme d’interpolation de Lagrangeenxk etxk+1).
g(x) = f(xk+1) xk+1−xk
(x−xk) + f(xk) xk−xk+1
(x−xk+1). La fonctiongest une fonction affine par morceaux sur[a, b]et continue sur[a, b].
Soientk∈J0, n−1Kpuisx∈[xk, xk+1].
|f(x) −g(x)|=
f(x) − f(xk+1) xk+1−xk
(x−xk) − f(xk) xk−xk+1
(x−xk+1)
= 1
xk+1−xk
|f(x) (xk+1−xk) −f(xk+1) (x−xk) +f(xk) (x−xk+1)|
= 1
xk+1−xk
|f(x) (xk+1−x+x−xk) −f(xk+1) (x−xk) +f(xk) (x−xk+1)|
= 1
xk+1−xk
|(f(x) −f(xk)) (xk+1−x) + (f(x) −f(xk+1)) (x−xk)|
6 1
xk+1−xk
((xk+1−x)|f(x) −f(xk)|+ (x−xk)|f(x) −f(xk+1)|) (carxk6x6xk+1).
Maintenant,|x−xk|=x−xk6xk+1−xk= b−a
n 6αet donc|f(x) −f(xk)|6ε. De même,|f(x) −f(xk+1)|6ε. Par suite,
|f(x) −g(x)|6 1
xk+1−xk
((xk+1−x)ε+ (x−xk)ε) = 1
xk+1−xk ×(xk+1−xk)ε=ε.
On a donc fourni une fonctiongaffine par morceaux sur[a, b]et continue sur[a, b]telle que, pour toutx∈[a, b],|f(x) −g(x)|6ε.
b b b b b b 2ε
y=f(x)
y=g(x)
a
b
❏
2 Intégrale d’une fonction en escalier sur un segment
2.1 Définition
Tout commence avec :
Définition 7.Soitλ∈C. L’intégralede la fonction constantef : x7→λsur le segment[a, b], noté Zb
a
λ dxest : Zb
a
λ dx=λ(b−a).
Ainsi, siλest un réel positif, par définition, Zb
a
λ dxest l’aire d’un rectangle de dimensionsλetb−a. On va petit à petit généraliser cette définition. On passe maintenant au cas des fonctions constantes par morceaux c’est-à-dire les fonctions en escalier. On doit prendre quelques précautions, ce que l’on fait avec le théorème 12.
Dans ce qui suit, sif est une fonction en escalier sur[a, b]et siσ= (x0, . . . , xn)est une subdivision de[a, b], adaptée à f, on pose :
I(f, σ) =
nX−1
k=0
(xk+1−xk)λk,
où pour chaquek∈J0, n−1K,λkest la valeur constante prise par la fonctionf]xk,xk+1[(par exemple,λk=f
xk+xk+1
2
).
Théorème 13.Soitf une fonction en escalier sur[a, b]à valeurs dansRouC. Siσet σ′ sont deux subdivisions de[a, b]adaptées àf, alorsI(f, σ) =I(f, σ′).
Démonstration. Commençons par supposer que la subdivision σ = (x0, . . . , xn) est plus fine que la subdivision σ′ = (y0, . . . , yp). Donc, le supportS(σ)deσcontient le supportS(σ′)deσ′.
Soitk∈J0, p−1K. Il existeik ∈J0, n−1Ktel quexik =yk. Par définition deik,yk =xik < xik+1< . . . < xik+1 =yk+1. Ainsi, si on noteλk la valeur de la fonctionfsur l’intervalle ]yk, yk+1[, alors pour tout indiceitel queik 6i < ik+1, la valeurµi de la fonctionfsur l’intervalle]xi, xi+1[est encoreλk. On a alors
I(f, σ) =
n−1
X
i=0
(xi+1−xi)µi=
p−1X
k=0
ik+1−1
X
i=ik
(xi+1−xi)µi
=
p−1X
k=0
ik+1−1
X
i=ik
(xi+1−xi)
λk=
p−1X
k=0
xik+1−xik
λk(somme télescopique)
=
p−1X
k=0
(yk+1−yk)λk=I(f, σ′).
Supposons maintenant les subdivisionsσetσ′quelconques. La subdivisionσ′′=σ∪σ′est plus fine queσetσ′ d’après le théorème 1. Donc,I(f, σ) =I(f, σ′′) =I(f, σ′).
❏ Dit autrement, le nombreI(f, σ) =
n−1X
k=0
(xk+1−xk)λk ne dépend que defet pas deσ. On peut donc poser
Définition 8.Soitfune fonction en escalier sur[a, b]à valeurs dansRouC. Soitσ= (x0, . . . , xn)une subdivision adaptée àf.
L’intégrale de f sur [a, b]est le nombre noté Zb
a
f(x)dxdéfini par : Zb
a
f(x)dx=
n−1X
k=0
(xk+1−xk)fk,
où pour chaquek∈J0, n−1K,fk est la valeur de la fonction constantef/]xk,xk+1[.
Le mot « intégrale » suggère qu’on a un nombre bâti avec l’intégralité des valeurs defsur le segment[a, b].
Il est important de constater que les valeurs f(x0), . . . , f(xn), n’interviennent absolument pas dans la définition de l’intégrale d’une fonction en escalier : si on modifie les valeurs defen x0, . . . ,xn, la valeur de l’intégrale def sur[a, b]
n’est pas modifiée. On dira plus loin, dans le paragraphe « intégration des fonctions continues par morceaux », que si on modifie les valeurs d’une fonction en un nombre fini de points, on ne modifie pas l’intégrale de cette fonction.
Par exemple, sifest la fonction partie entière sur[0, 1]et sigest la fonction nulle sur[0, 1], les fonctionsfetgne prennent pas la même valeur en1et pourtant ces deux fonctions ont la même intégrale sur[0, 1]:
Z1
0
E(x)dx= Z1
0
0 dx=0.
Dans l’égalité ci-dessus, il ne faut pas lire le fait queE(1) =0 (car c’est faux) mais il faut lire que les fonctionsfet gont la même intégrale.
2.2 Propriétés
2.2.1 Linéarité
Théorème 14.Soient f et gdeux fonctions en escalier sur[a, b] (oùa < b) à valeurs dansK=R ouC. Pour tout (λ, µ)∈K2,
Zb
a
(λf(x) +µg(x))dx=λ Zb
a
f(x)dx+µ Zb
a
g(x)dx.
Démonstration. D’après le théorème 8, la fonctionλf+µgest en escalier sur[a, b]. Soitσ= (x0, . . . , xn)une subdivision de [a, b]adaptée à la fois àfet àg. Avec les notations de la définition 8,
Zb a
(λf(x) +µg(x))dx=
n−1X
k=0
(xk+1−xk) (λfk+µgk) =λ
n−1X
k=0
(xk+1−xk)fk+µ
n−1X
k=0
(xk+1−xk)gk
=λ Zb
a
f(x)dx+µ Zb
a
g(x)dx.
❏
2.2.2 Relation de Chasles
Théorème 15.Soitf une fonction en escalier sur[a, b](oùa < b) à valeurs dansK=RouC. Pour tout réelctel que a < c < b, la fonctionfest en escalier sur[a, c] et sur[c, b]et
Zb
a
f(x)dx= Zc
a
f(x)dx+ Zb
c
f(x)dx.
Démonstration. Soitfune fonction en escalier sur[a, b]. Soitc∈]a, b[. D’après le théorème 5,fest en escalier sur [a, c]et sur[c, b].
Soitσ= (x0, . . . , xn)une subdivision de[a, b]adaptée àf. Soitk0 ∈J0, n−1Ktel quexk0 6c < xk0+1. Avec les notations de la définition 8 (et avec la convention usuelle qu’une somme vide est nulle),
Zb
a
f(x)dx=
n−1X
k=0
(xk+1−xk)fk=
kX0−1
k=0
(xk+1−xk)fk+ (xk0+1−xk0)fk+
n−1X
k=k0+1
(xk+1−xk)fk
=
kX0−1
k=0
(xk+1−xk)fk+ (c−xk0)fk
! +
(xk0+1−c)fk+
n−1
X
k=k0+1
(xk+1−xk)fk
= Zc
a
f(x)dx+ Zb
c
f(x)dx.
❏
2.2.3 Intégrales et inégalités
Théorème 16.(positivité de l’intégrale).
Soitfune fonction en escalier sur[a, b](oùa < b) à valeurs dansR.
Sif est positive sur[a, b](c’est-à-dire si∀x∈[a, b],f(x)>0), alors Zb
a
f(x)dx>0.
Démonstration. Soit σ = (x0, . . . , xn) une subdivision adaptée àf. Avec les notations de la définition 8, si f > 0, alors
∀k∈J0, n−1K,fk>0. Par suite,
Zb a
f(x)dx=
n−1X
k=0
(xk+1−xk)fk>0.
❏
➱ Commentaire.
⋄ L’expression « positivité de l’intégrale » ne signifie en aucune façon qu’une intégrale est un nombre positif mais que l’intégrale d’une fonction positive est une fonction positive.
⋄ L’expression « positivité de l’intégrale » est traditionnellement employée mais fausse. On devrait dire « positivité de l’intégra- tion » ou encore conservation de la positivité dans l’action d’intégrer.
⋄ Le théorème 16 ne concerne que des fonctions à valeurs réelles. Il n’est pas question d’écrire des inégalités entre des intégrales de fonctions à valeurs complexes.
⋄ Plus loin dans ce chapitre, nous adopterons la convention Zb
a
= − Za
b
. Dans les hypothèses du théorème 15, il y a entre autres a < bce qui est essentiel. Quand on auraa > bavecfpositive sur[b, a], alors on aura
Zb
a
f(x)dx60.
Théorème 17.(croissance de l’intégrale.)
Soientfet gdeux fonctions en escalier sur[a, b](oùa < b) à valeurs dansR.
Sif6g(c’est-à-dire si∀x∈[a, b],f(x)6g(x)), alors Zb
a
f(x)dx6 Zb
a
g(x)dx.
Démonstration. Supposons quef6g. Par linéarité et positivité de l’intégrale, Zb
a
g(x)dx− Zb
a
f(x)dx= Zb
a
(g(x) −f(x))dx>0,
et donc Zb
a
f(x)dx6 Zb
a
g(x)dx.
❏
➱ Commentaire.
⋄ De même, l’expression « croissance de l’intégrale » ne signifie en aucune façon qu’une intégrale croît puisque qu’une intégrale est un nombre et pas une fonction. L’expression « croissance de l’intégrale », traditionnellement employée, devrait être remplacée par
« croissance de l’intégration » ou encore croissance de l’action d’intégrer.
⋄ Le théorème 17 ne concerne que des fonctions à valeurs réelles. Il n’est pas question d’écrire des inégalités entre des intégrales de fonctions à valeurs complexes.
⋄ Les propriétés fondamentales de l’intégrale (ou plutôt de l’intégration) sont la linéarité, la positivité et la relation de Chasles. La croissance est une propriété moins fondamentale dans le sens où elle est une conséquence de la linéarité et de la positivité.
⋄ Dans ce théorème aussi, l’hypothèsea < best essentielle.
Théorème 18.(intégrale et module ou valeur absolue.)
Soitfune fonction en escalier sur[a, b](oùa < b) à valeurs dansK=RouC.
Alors,|f|est en escalier sur[a, b]et
Zb
a
f(x)dx
6 Zb
a
|f(x)|dx.
Démonstration. Soitσ= (x0, . . . , xn)une subdivision adaptée àf. Pour chaquek∈J0, n−1K,fest constante sur]xk, xk+1[, égale à un certain nombre réel ou complexefk. On sait que|f|est en escalier sur[a, b]et queσ est une subdivision adaptée à|f|
(pour chaquek∈J0, n−1K,|f|est constante sur]xk, xk+1[, égale à|fk|).
Zb
a
f(x)dx
=
n−1
X
k=0
(xk+1−xk)fk
6
n−1
X
k=0
(xk+1−xk)|fk|= Zb
a
|f(x)|dx.
❏
➱ Commentaire. Dans le cas d’une fonction à valeurs réelles, on peut démontrer le théorème précédent de la façon suivante : f6|f| et −f6|f|
puis par linéarité et croissance de l’intégrale, Zb
a
f(x)dx6 Zb
a
|f(x)|dxet−
Zb
a
f(x)dx= Zb
a
−f(x)dx6 Zb
a
|f(x)|dx.
Finalement,
Zb a
f(x)dx
6 Zb
a
|f(x)|dx.
3 Intégration d’une fonction continue par morceaux sur un segment
Dans ce paragraphe, on construit l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment à valeurs dansK=Rou C. Aucune construction n’est imposée pas le programme officiel et il existe plusieurs constructions possibles. On choisit de construire l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment à valeurs réelles en l’approchant par dessous et par dessus d’aussi près qu’on veut par des intégrales de fonctions en escalier. L’intégrale d’une fonction à valeurs complexes sera alors définie par :
Zb
a
f(x)dx= Zb
a
Re(f)(x)dx+i Zb
a
Imf(x)dx.
3.1 Définitions de l’intégrabilité et de l’intégrale
3.1.1 Cas des fonctions à valeurs réelles
Soitfune fonction définie sur un segment[a, b]à valeur dansR. On noteI−(f) = Zb
a
g(x)dx, gen escalier sur[a, b]etg6f
etI+(f) = Zb
a
h(x)dx, hen escalier sur[a, b]eth>f
.
Théorème 19.Si fest bornée sur [a, b], alorsI−(f)admet une borne supérieure réelle, notéeI−(f), etI+(f) admet une borne inférieure réelle, notéeI+(f). De plus,I−(f)6I+(f).
Démonstration. Supposonsfbornée sur[a, b]. Donc, il existe deux réelsmetMtels que pour toutxde[a, b],m6f(x)6M.
•La fonctiong0 : x7→mest une fonction en escalier sur[a, b]vérifiantg6f. Donc,I−(f)est une partie non vide deRcar contient Zb
a
g0(x)dx= Zb
a
m dx=m(b−a).
Soitgune fonction en escalier sur[a, b]telle queg6f. Alors, pour toutxde[a, b],g(x)6M. Par croissance de l’intégration des fonctions en escalier, on a
Zb a
g(x)dx6 Zb
a
M dx=M(b−a).
En résumé,I−(f)est une partie non vide et majorée (parM(b−a)) deR. On en déduit queI−(f)admet une borne supérieure réelle que l’on noteI−(f).
De même,I+(f)est une partie non vide et minorée (parm(b−a)) de R. On en déduit queI+(f)admet une borne inférieure que l’on noteI+(f).
•Soithune fonction en escalier sur [a, b]telle queh>f. Alors, pour toute fonctiongen escalier sur[a, b]telle queg6f, on a g6het donc
Zb a
g(x)dx6 Zb
a
h(x)dxpar croissance de l’intégration des fonctions en escalier. Par suite, Zb
a
h(x)dxest un majorant deI−(f). PuisqueI−(f)est le plus petit de ces majorants, on en déduit queI−(f)6
Zb
a
h(x)dx.
Ainsi, pour tout fonction hen escalier sur [a, b]telle queh >f, on a Zb
a
h(x) dx> I−(f). Donc,I−(f)est un minorant de I+(f).
PuisqueI+(f)est le plus grand de ces minorants, on en déduit queI−(f)6I+(f).
❏ On peut maintenant donner la définition de l’intégrabilité d’une fonctionfdéfinie sur un segment[a, b]à valeurs dansR.
Avec les notations précédentes :
Définition 9.Soitfune fonction définie sur un segment[a, b]à valeurs dansR.
f est intégrablesur le segment [a, b] si et seulement si I−(f) = I+(f). En cas d’intégrabilité, l’intégrale de f sur [a, b], notée
Zb
a
f(x)dx, est la valeur commune des deux nombresI−(f)etI+(f).
➱ Commentaire. L’intégrale qui vient d’être définie est l’intégrale au sens de Riemann. Il existe d’autres types d’intégrale mais ils ne sont pas au programme de classe préparatoire.
Donnons un exemple de fonction non intégrable sur le segment[0, 1]. Soit f : [0, 1] → R
x 7→
1six∈Q 0six /∈Q
. fest donc la
restriction à[0, 1] de la fonction caractéristique deQ.
Tout intervalle de longueur non nulle contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel. Donc, sigest une fonction en escalier sur[0, 1]telle queg6f, alorsg60 et sihest une fonction en escalier sur[0, 1]telle queh>f, alorsh>1.
Mais alors, pour toute fonctiongen escalier sur[0, 1]telle queg6f, on a Z1
0
g(x)dx60puisI−(f)60. De même, pour toute fonctionhen escalier sur[0, 1] telle queh>f, on a
Z1
0
h(x)dx>1puisI+(f)>1. En particulier,I−(f)< I+(f)et doncfn’est pas intégrable (au sens deRiemann) sur le segment[0, 1].
Théorème 20.Soitf une fonction définie sur un segment[a, b]à valeurs dansR.
Si pour tout réelε > 0, il existe une fonctionϕε, en escalier sur[a, b], telle que pour toutxde[a, b],|f(x) −ϕε(x)|6ε, alorsfest intégrable sur[a, b].
Démonstration. Soitε > 0. Il existe une fonctionϕε, en escalier sur[a, b]telle que|f−ϕε|6ε. On en déduit en particulier quef>ϕε−ε. La fonctiong=ϕε−εest donc une fonction en escalier sur[a, b]telle queg6f. Par suite
I−(f)>
Zb a
(ϕε(x) −ε) dx= Zb
a
ϕε(x)dx−ε(b−a),
ou encoreI−(f)+ε(b−a)>
Zb
a
ϕε(x)dx. De même,I+(f)−ε(b−a)6 Zb
a
ϕε(x)dx. On en déduit queI−(f)+ε(b−a)>I+(f)−ε(b−a) puis queI+(f) −I−(f)62ε(b−a). Ainsi,
∀ε > 0, 06I+(f) −I−(f)62ε(b−a).
Quandεtend vers0, on obtientI+(f) −I−(f) =0ou encoreI−(f) =I+(f). La fonctionfest donc intégrable sur le segment[a, b].
❏
3.1.2 Cas des fonctions à valeurs complexes On adopte la définition suivante :
Définition 10.Soitf une fonction définie sur un segment[a, b]à valeurs dansC.
festintégrablesur[a, b]si et seulement si les fonctions Re(f)et Im(f)sont intégrables sur[a, b]. En cas d’intégrabilité, on pose
Zb
a
f(x)dx= Zb
a
Re(f)(x)dx+i Zb
a
Im(f)(x)dx.
➱ Commentaire. Donc, par définition, Re Zb
a
f(x)dx
= Zb
a
Re(f)(x)dxet Im Zb
a
f(x)dx
= Zb
a
Im(f)(x)dx
Théorème 21.Soitf une fonction définie sur un segment[a, b]à valeurs dansC.
Si pour tout réelε > 0, il existe une fonctionϕε, en escalier sur[a, b], telle que pour toutxde[a, b],|f(x) −gε(x)|6ε, alorsfest intégrable sur[a, b].
Démonstration. Soitε > 0. Il existe une fonctionϕε, en escalier sur[a, b]telle que|f−ϕε|6ε. Mais alors, les fonctions Re(ϕε)et Im(ϕε)sont bien sûr en escalier sur le segment[a, b]et vérifient
|Re(f) −Re(ϕε)|=|Re(f−ϕε)|6|f−ϕε|6ε,
et de même,|Im(f) −Im(ϕε)|6ε.
D’après le théorème 20, les fonctions Re(f)et Im(f)sont intégrables sur le segment[a, b]et finalement,fest intégrable sur le segment [a, b].
❏
3.1.3 Intégrabilité des fonctions continues par morceaux
On s’intéresse maintenant (et enfin) aux fonctions que l’on va intégrer en maths sup, les fonctions continues par morceaux sur un segment.
Théorème 22.Soitf une fonction continue par morceaux sur un segment[a, b]à valeurs dansK=RouC. Alors,fest intégrable sur le segment[a, b].
Démonstration. Soitfune fonction continue par morceaux sur[a, b]à valeurs dansK.
D’après le théorème 11, pour toutε > 0, il existe une fonctiongen escalier sur[a, b]telle que, pour toutxde[a, b],|f(x) −g(x)|6ε.
D’après les théorèmes 20 et 21, la fonctionfest intégrable sur[a, b].
❏
➱ Commentaire. Il existe des fonctions qui ne sont pas continues par morceaux sur le segment[a, b]et qui sont intégrables sur [a, b]. Ces fonctions ne sont pas au programme de maths sup et de maths spé.
3.2 Propriétés
On énonce maintenant les propriétés de calcul de l’intégrale. Le schéma des démonstrations qui suivent est à peu près toujours le même : la propriété a établir est déjà établie pour les fonctions en escalier puis on passe au cas plus général des fonctions continues par morceaux en les approchant àε > 0près par des fonctions en escalier.
On notera que les différentes propriétés de l’intégrale auront pourconséquencedans la section 4 que, sifest une fonction continuesur[a, b], alors
Zb
a
f(x)dx=F(b) −F(a)oùF est une primitive quelconque defsur[a, b].
3.2.1 Linéarité
Pour établir la linéarité de l’intégrale (ou plutôt de l’intégration), on a besoin d’un lemme :
Théorème 23.Soitfune fonction continue par morceaux sur[a, b]à valeurs dansR. Soientε>0etϕε une fonction en escalier sur[a, b]à valeur dansRtelle que|f−ϕε|6ε.
Alors,
Zb
a
f(x)dx− Zb
a
ϕε(x)dx
6ε(b−a).
Démonstration. Par hypothèse, ϕε−ε6f6ϕε+ε. Puisque les fonctions ϕε−εet ϕε+εsont en escalier sur[a, b], par définition de l’intégrale defsur[a, b], on a
Zb a
(ϕε(x) −ε)dx6I−(f)6 Zb
a
f(x)dx6I+(f)6 Zb
a
(ϕε(x) +ε)dx,
ou encore, par linéarité de l’intégration pour les fonctions en escalier, Zb
a
ϕε(x)dx−ε(b−a)6 Zb
a
f(x)dx6 Zb
a
ϕε(x)dx+ε(b−a) ou enfin,
Zb a
f(x)dx− Zb
a
ϕε(x)dx
6ε(b−a).
❏
On peut maintenant démontrer la linéarité de l’intégration :
Théorème 24.Soient f etgdeux fonctions continues par morceaux sur un segment[a, b]à valeurs dans K=Rou C.
Alors, pour tout(λ, µ)∈K2,λf+µgest continue par morceaux et de plus, Zb
a
(λf(x) +µg(x)) dx=λ Zb
a
f(x)dx+µ Zb
a
g(x)dx.
Démonstration. On commence par le cas réel. Soientfetgdeux fonctions continues par morceaux sur[a, b]à valeurs dans Ret soit(λ, µ)∈R2. Posonsh=λf+µg. On sait quehest continue par morceaux sur[a, b]. Soitε > 0.
• Il existe deux fonctions fε et gε, en escalier sur [a, b], telles que pour tout x de [a, b], |f(x) −fε(x)|6 εet |g(x) −gε(x)| 6 ε.
Puisquefεet gε sont en escalier sur[a, b], on a Zb
a
(λfε(x) +µgε(x)) dx=λ Zb
a
fε(x)dx+µ Zb
a
gε(x)dx.
PosonsIε= Zb
a
(λfε(x) +µgε(x)) dx=λ Zb
a
fε(x)dx+µ Zb
a
gε(x)dx.
•D’après le lemme, puisquefεetgεsont des fonctions en escalier vérifiant|f−fε|6εet|g−gε|6ε, on a
Zb
a
f(x)dx− Zb
a
fε(x)dx
6
ε(b−a)et
Zb
a
g(x)dx− Zb
a
gε(x)dx
6ε(b−a). D’autre part,
|h− (λfε+µgε)|=|λ(f−fε) +µ(g−gε)|
6|λ| |f−fε|+|µ| |g−gε| 6(|λ|+|µ|)ε.
D’après le lemme, puisque la fonction en escalierλfε+µgε est en escalier, on a
Zb
a
h(x)dx−Iε
6(|λ|+|µ|)ε(b−a).
•Mais alors,
Zb a
h(x)dx−λ Zb
a
f(x)dx−µ Zb
a
g(x)dx
=
Zb
a
h(x)dx−Iε
−
λ Zb
a
f(x)dx+µ Zb
a
g(x)dx−Iε
=
Zb
a
h(x)dx−Iε
−
λ Zb
a
f(x)dx− Zb
a
fε(x)dx
+µ Zb
a
g(x)dx− Zb
a
gε(x)dx
6
Zb
a
h(x)dx−Iε
+|λ|
Zb
a
f(x)dx− Zb
a
fε(x)dx
+|µ|
Zb
a
g(x)dx− Zb
a
gε(x)dx
6(|λ|+|µ|)ε(b−a) +|λ|ε(b−a) +|µ|ε(b−a) =2(|λ|+|µ|)ε(b−a)
L’inégalité ci-dessus est vraie pour toutε > 0. Quandεtend vers0, on obtient
Zb a
h(x)dx−λ Zb
a
f(x)dx−µ Zb
a
g(x)dx
=0puis Zb
a
(λf(x) +µg(x))dx=λ Zb
a
f(x)dx+µ Zb
a
g(x)dx. La linéarité est démontrée dans le cas réel.
Passons maintenant au cas oùf,g,λ,µsont complexes. Posonsλ=α+iβet µ=γ+iδoùα,β,γetδsont quatre réels.
Zb
a
(λf(x) +µg(x))dx= Zb
a
((α+iβ)(Ref(x) +iImf(x)) + (γ+iδ)(Reg(x) +iImg(x)))dx
= Zb
a
(αRef(x) −βImf(x) +γReg(x) −δImg(x))dx+i Zb
a
(αImf(x) +βRef(x) +γImg(x) +δImg(x))dx (par définition de l’intégrale d’une fonction à valeurs dansC)
=α Zb
a
Ref(x)dx−β Zb
a
Imf(x)dx+γ Zb
a
Reg(x)dx−δ Zb
a
Img(x)dx +αi
Zb a
Imf(x)dx+βi Zb
a
Ref(x)dx+γi Zb
a
Img(x)dx+δi Zb
a
Img(x)dx (par linéarité de l’intégrale dans le cas réel)
= (α+iβ) Zb
a
(Ref(x) +iImf(x))dx+ (γ+iδ) Zb
a
(Reg(x) +iImg(x))dx (par définition de l’intégrale d’une fonction à valeurs dansC)
=λ Zb
a
f(x)dx+µ Zb
a
g(x)dx.
❏ Une conséquence de la linéarité est le résultat suivant. Soientfetgdeux fonctions prenant les mêmes valeurs sauf en un nombrefinide réels de[a, b]. Alors,
Zb
a
f(x)dx= Zb
a
g(x)dx.
Dit autrement, on ne modifie la valeur d’une intégrale si on modifie la fonction en un nombre fini de points.
En effet, sifet gprennent la même valeur sauf en un nombre fini de points, alors la fonctionf−gprend la valeur0en tous lesxde[a, b]sauf en un nombre fini de points. Par définition de l’intégrale d’une fonction en escaliers,
0= Zb
a
(f(x) −g(x))dx= Zb
a
f(x)dx− Zb
a
g(x)dx.
3.2.2 Relation de Chasles Théorème 25.(relation deChasles)
Soitfune fonction continue par morceaux sur[a, b]à valeurs dansK=RouC.
Pour tout réelcde]a, b[, Zb
a
f(x)dx= Zc
a
f(x)dx+ Zb
c
f(x)dx.
Démonstration. Commençons par le cas oùfest réelle. Soit ε > 0. Il existe une fonctionfε, en escalier sur[a, b]telle que
|f−fε|6ε. La relation deChaslesétant déjà établie pour les fonctions en escalier,
Zb a
f(x)dx− Zc
a
f(x)dx+ Zb
c
f(x)dx
=
Zb
a
f(x)dx− Zb
a
fε(x)dx
− Zc
a
f(x)dx− Zc
a
fε(x)dx
− Zb
c
f(x)dx− Zb
c
fε(x)dx
6
Zb a
f(x)dx− Zb
a
fε(x)dx
+
Zc a
f(x)dx− Zc
a
fε(x)dx
+
Zb c
f(x)dx− Zb
c
fε(x)dx 6ε(b−a) +ε(c−a) +ε(b−c) (d’après le théorème 23)
=2ε(b−a).
Quandεtend vers0, on obtient
Zb a
f(x)dx− Zc
a
f(x)dx+ Zb
c
f(x)dx
ou encore Zb
a
f(x)dx= Zc
a
f(x)dx+ Zb
c
f(x)dx.
❏
3.2.3 Intégrales et inégalités
Théorème 26.(positivité de l’intégrale.)
Soitfune fonction continue par morceaux sur un segment[a, b]à valeurs dansR.
Sif est positive sur[a, b], alors Zb
a
f(x)dx>0.
Démonstration. Soitfune fonction continue par morceaux sur[a, b], réelle et positive sur[a, b]. La fonctionx7→0est une fonction en escalier minorantfsur[a, b]et
Zb
a
0 dx=0. Par définition de l’intégrale defsur[a, b], Zb
a
f(x)dx>I−(f)>0.
❏
Théorème 27.(croissance de l’intégrale.)
Soientfet gdeux fonctions continues par morceaux sur un segment[a, b]à valeurs dansR.
Sif6g, alors Zb
a
f(x)dx6 Zb
a
g(x)dx.
Démonstration. Soient fet gdeux fonctions continues par morceaux sur [a, b], réelles telles que f6 g. Par linéarité et positivité de l’intégrale,
Zb
a
g(x)dx− Zb
a
f(x)dx= Zb
a
(g(x) −f(x))dx>0,
et donc Zb
a
f(x)dx6 Zb
a
g(x)dx.
❏ Le théorème suivant (théorème 28) améliore le théorème 26 dans le cas particulier où de plus la fonctionf est supposée continue sur[a, b]. Le théorème 28 est fréquemment utilisé dans la pratique.
Théorème 28.
1)Soitfune fonction continue par morceaux sur un segment[a, b]à valeurs dansR.
Si la fonctionfest continue, positive et non nulle sur[a, b], alors Zb
a
f(x)dx > 0.
Si la fonctionfest continue et positive sur[a, b], alors Zb
a
f(x)dx=0⇒f=0.
Démonstration. Puisquefest positive et non nulle. Il existe un réelcde[a, b]tel quef(c)> 0. Sic=a, puisque la fonction fest continue sur[a, b]et en particulier ena, il existe un intervalle[a, a+α]⊂[a, b]avecα > 0tel que, pour toutxde[a, a+α], f(x)> 0. Dans ce cas, il existec′∈]a, b[tel quef(c′)> 0. De même, sic=b, il existec′∈]a, b[tel quef(c′)> 0. En résumé, dans tous les cas, il existec∈]a, b[tel quef(c)> 0.
Par continuité defenc, pour ε= f(c)
2 > 0, il existe un réelα > 0tel que[c−α, c+α]⊂[a, b]et pour toutx∈ [c−α, c+α],
|f(x) −f(c)|6 f(c)
2 et en particulier,f(x)> f(c)
2 . On en déduit que Zb
a
f(x)dx= Zc−α
a
f(x)dx+ Zc+α
c−α
f(x)dx+ Zb
c+α
f(x)dx
>
Zc+α c−α
f(x)dx(par positivité de l’intégrale)
>
Zc+α c−α
f(c)
2 dx(par croissance de l’intégrale)
=αf(c)> 0.
❏
Ainsi,
une fonctioncontinue, positive et non nullesur[a, b]a une intégrale strictement positive et
une fonctioncontinue, positive, d’intégrale nulleest nulle.
Voici deux exercices d’application immédiate de ces résultats.
Exercice 1.Pour n∈N, on poseWn= Zπ2
0
sinnx dx. Montrer que pour tout entier natureln,Wn> 0.
Solution 1.Soitn∈N. La fonctionx7→sinnx est continue, positive et non nulle sur le segmenth 0,π
2
i. On en déduit que
Zπ2
0
sinnx dx > 0ou encoreWn> 0.
Exercice 2.SoitPun polynôme tel que Z1
0
P2(x)dx=0. Montrer queP=0.
Solution 2.SoitPun polynôme.
Z1
0
P2(x)dx=0⇒∀x∈[0, 1], P2(x)dx=0(fonction continue, positive, d’intégrale nulle)
⇒∀x∈[0, 1], P(x) =0
⇒P=0(polynôme ayant une infinité de racines).
Le théorème 28 fournit le résultat plus général suivant : une fonction continue, non nulle et de signe constant sur[a, b]a une intégrale non nulle sur[a, b].
Exercice 3.Soitfune fonction continue sur[0, 1] vérifiant Z1
0
f(x)dx= 1
2. Montrer quefa un point fixe.
Solution 3.Soitfune fonction continue sur[0, 1]. Pourx∈[0, 1], posonsg(x) =f(x) −x.
Z1
0
f(x)dx= 1 2 ⇒
Z1
0
f(x)dx= Z1
0
x dx⇒ Z1
0
(f(x) −x)dx=0⇒ Z1
0
g(x)dx=0.
Supposons que la fonctiongne s’annule pas sur[0, 1]. Puisque la fonctiongest continue sur[0, 1], la fonctionggarde un signe constant sur[0, 1]. La fonctiongest donc une fonction continue sur [0, 1], non nulle et de signe constant sur[0, 1].
On en déduit que Z1
0
g(x)dx6=0.
Par contraposition, si Z1
0
g(x)dx=0, alorsgs’annule au moins une fois sur[0, 1]. Donc, il existe un réelx0∈[0, 1]tel que f(x0) =x0.
Théorème 29.Soitf une fonction continue par morceaux sur un segment[a, b]à valeurs dansK=RouC. Alors,
Zb
a
f(x)dx
6 Zb
a
|f(x)|dx.
Démonstration. Commençons par le cas oùfest à valeurs réelles. On a−|f|6f6|f|. Par croissance et linéarité de l’intégrale, on a−
Zb a
|f(x)|dx6 Zb
a
f(x)dx6 Zb
a
|f(x)|dxet donc
Zb a
f(x)dx
6 Zb
a
|f(x)|dx.
Passons maintenant au cas oùfest à valeurs complexes. Si Zb
a
f(x)dx=0, l’inégalité est immédiate. Dorénavant, on suppose que Zb
a
f(x)dxest un complexe non nul.
Si Zb
a
f(x)dx, est un réel strictement positif. On a
Zb
a
f(x)dx
= Zb
a
f(x)dx=Re Zb
a
f(x)dx
= Zb
a
Ref(x)dx6 Zb
a
|f(x)|dx,
car Ref6|f|et par croissance de l’intégrale.
Passons au cas général où Zb
a
f(x) dx est un nombre complexe non nul. Soit θ un argument de ce nombre complexe. Alors, Zb
a
eiθf(x)dx=e−iθ Zb
a
f(x)dxest un réel strictement positif puis
Zb a
f(x)dx =
Zb a
e−iθf(x)dx =
Zb a
e−iθf(x)dx6 Zb
a
e−iθf(x)
dx=
Zb a
|f(x)|dx.
❏
Exercice 4.Déterminer toutes les fonctionsf, continues sur[0, 1]à valeurs dansR, vérifiant
Z1
0
f(x)dx
= Z1
0
|f(x)|dx.
Solution 4.Soitfune fonction continue sur[0, 1]vérifiant
Z1
0
f(x)dx
= Z1
0
|f(x)|dx. Supposons Z1
0
f(x)dx>0. Alors, Z1
0
|f(x)|dx=
Z1
0
f(x)dx
⇒ Z1
0
|f(x)|dx= Z1
0
f(x)dx⇒ Z1
0
(|f(x)|−f(x))dx=0.
La fonction |f|−f est une fonction continue et positive sur[0, 1], d’intégrale nulle sur[0, 1]. Donc, |f|−f =0 ou encore
|f|=f. Ceci montre que la fonction fest positive sur[0, 1].
