Tout sera rédigé sur le présent feuillet.

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2017-2019 **/12/2017

Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.

Tout sera rédigé sur le présent feuillet.

Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.

Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.

Exercice 1 : QCM (2 points) - cochez vos réponses ci-dessous

Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point

1) Compléter : "Le remboursement d'un emprunt, sur le mode des amortissements constants, présente des annuités …[1]… et des intérêts …[2]…"

[1] constantes [1] constantes [1] variables [1] variables

[2] constants [2] variables [2] constants [2] variables

2) En statistiques, un diagramme en barres se forme à partir d'une variable…

discrète qualitative qualitative continue

ou continue ou discrète ou continue uniquement

3) Le discriminant du polynôme ax² + bx est :

∆ = b² – 4a ∆ = b²

2

= −b

x a 2

− ± ∆

= b

x a

4) La dérivée de : 1 1

−

֏ +x f x x ^{est :}

( )

2 1

−

+x

( )

2 1

− +

x

x

( )

1 1

− − +

x

x

( )

1 1

− + +

x x

Exercice 2 : (3 points)

Au début d'une période de soldes, le prix habituel p0 d'un article est diminué de 30% (première démarque). Une semaine plus tard, ce même article est étiqueté "soldes : -50% !" (deuxième démarque). Quel a été le taux de variation du prix de l'article entre la première et la deuxième démarques ?

(répondre par un calcul dans lequel vous avez choisi un exemple de valeur pour p0 vous enlèvera un point ; répondre par un calcul utilisant le paramètre p0 vous assurera les trois points).

Nom, Prénom : Groupe :

Exercice 3 : (3,5 points) les questions 2 et 3 sont indépendantes

À l'occasion de l'achat d'une automobile d'occasion, vous empruntez 6000 € à votre banque, qui vous propose un prêt au taux de 6,5% (annuels) pour un remboursement en 60 mensualités (5 ans).

1) Justifier que la mensualité s'élèvera alors à 116,87 €. 1 pt

2) Former puis compléter les deux premières lignes du tableau d'amortissement de cet emprunt. 1,5 pt

3) Quel est le coût du prêt ? 1 pt

Exercice 4 : (6 points)

Chaque jour, une entreprise produit un nombre x d’objets compris entre 0 et 70.

Le coût, exprimé en euros, de la production journalière est : C(x) = x³ – 90x² + 2700x.

On suppose que toute la production est vendue au prix de 900 euros l’unité

1) Représenter ci-dessous la courbe de la fonction C, dans le domaine de valeurs de x cité. 1 pt

2) Le coût moyen de production est par définition

( ) ( )

M =C x

C x

x , polynôme du second degré.

a. Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle CM

( )

b. Positionner le résultat de la question 2)a. sur votre graphique. Commenter. 1 pt

y

0 10 20 30 40 50 60 70

50 000

10 000

0

x

c. Pour que la production soit rentable, le coût moyen doit être inférieur à 900 €. Résoudre l'équation x² – 90x + 2700 = 900 puis conclure sur les quantités à produire pour atteindre la rentabilité. 1 pt

3) a. Dériver la fonction C. Justifier qu'elle est croissante sur ℝ. 1 pt

b. Déterminer la valeur de x pour laquelle cette dérivée est minimale, puis représenter graphiquement ce

résultat (toujours sur le graphique ci-dessus). 1 pt

Exercice 5 : (5,5 points)

Une étude a été menée sur 500 étudiants, qui a consisté à relever les temps de trajets de leur résidence vers leur établissement d'enseignement. Le tableau suivant donne les résultats de cette étude :

temps (minutes) [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 40[ [40 ; 60[

effectifs 84 183 202 31

1) a. Quelle est la classe modale de cette série ? Justifier. 0,5 pt

b. Si un histogramme était réalisé, quel serait le rectangle le plus haut ? Justifier. 0,5 pt

2) a. Représenter ci-dessous le diagramme des FCC (fréquences cumulées croissantes) de cette série. 1,5 pt

b. D'après ce diagramme, donner une estimation du nombre d'étudiants dont le temps de trajet est

supérieur à une demi-heure. 0,5 pt

c. Toujours d'après ce diagramme, donner la médiane et l'intervalle interquartile. Interpréter

succinctement. 1 pt

3) a. À partir du tableau de l'énoncé, donner le temps de trajet moyen ainsi que son écart type. 1 pt

b. Expliquer la signification concrète de la valeur de l'écart type. 0,5 pt

__________ FIN DU SUJET __________

IUT - TC Mathématiques - Formulaire Semestre 1 (deux pages)

Mathématiques financières

Capital de départ : C0 ; taux d’intérêts périodique (ex : annuel) : t ; nombre de périodes (ex : d’années) : n Intérêts simples Intérêts composés

Valeur acquise au bout

de n années

C

(1 + nt) ^C

^{= C}

( ^{1 + t} )

Intérêts au bout de n

années

i = C

×t×n i = C

– C

Remboursement par annuités/mensualités constantes :

( ^× )

= − +

0

1 1

C t a

t

Second degré : P(x) = ax² + bx + c

P(x) est du signe de a, sauf si x se trouve entre ses racines (si elles existent). les racines de P(x) sont les valeurs de x qui le rendent nul. Pour déterminer les racines de P(x) :

1. Calculer le discriminant du polynôme : il s’agit du nombre ∆ = b² - 4ac 2. Regarder le signe de ∆ pour en déduire le nombre et la valeur des racines : Si ∆ < 0 : P(x) n’admet pas de racine réelle.

Si ∆ = 0 : P(x) admet une seule racine réelle :

x′ = −2b

a . (racine « double ») Si ∆ > 0 : P(x) admet deux racines réelles : et

2 2

x′=− − ∆b x′′=− + ∆b

a a .

Étude de fonctions

f (x) f ’(x) f (x) f ’(x) f (x) f ’(x)

a 0 1

x −x1₂

ln(x) 1

x 1 x

ax + b a

x 1

a a

a x ⁺

− ₁ ln(u(x))

( )

( )

u x u x

′

x² 2x

x³ 3x²

x x

1 x^a a×x^a-1 2

Opérations sur les dérivées :

f f ’ f f ’ f f ’

u + v u’ + v’ u ov v’ × u’ o v

k.u k.u’

u.v u’.v + u.v’

uⁿ n.u’.u^n-1

TSVP

( )

' .

e e

x

u x u x

( )

x u x

e e

. .

u u v u v

v v

′ − ′

2

v

v v

− ₂′ 1

Statistiques à une variable

* composants d'une série statistique

effectif : n_i ; effectif total : N ; fréquence :

= Nⁱ

i

f n . variable : X ; modalité (une des valeurs de la variable) : x_i Cas d'une variable continue : intervalles [αi ; βi[

modalité :

2

i i

xi=α β+ ; amplitude : a_i = −β α_{i i} ; concentration : _i ⁱ

i

c n

=a