Tout sera rédigé sur le présent feuillet.

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2020-2022 14/12/2020

Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.

Tout sera rédigé sur le présent feuillet.

Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.

Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.

Exercice 1 : QCM (3 points) - cochez vos réponses ci-dessous

Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point

1) Pour compenser deux baisses successives de 20%, il faut appliquer une hausse de… :

40% 36% 56,25% 44,75%

2) Pour déterminer si ax²+bx+c admet un maximum ou un minimum, on… :

regarde le signe de a calcule ∆ calcule –b/2a calcule x1 et x2

3) Quelle est le coefficient directeur de la droite qui contient les deux points (x, y) suivants : (1, 5) et (6, 7) ?

2,5 0,4 4 0,25

4) Quel ordre est possible dans la comparaison des trois paramètres de position ?

Mo < x < M M < x < Mo x < Mo < M Mo < M < x Exercice 2 : (4 points)

Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total C(x) de fabrication de x unités est donné par la relation : C(x) = x³ – 300x² + 37500x.

1) Lorsque x unités ont été produites, le coût marginal Cm(x) désigne le coût occasionné par la production d’une unité supplémentaire. On admettra ici que Cm(x) = 3x² – 600x + 37500.

a. Expliquer pourquoi il existe une valeur de x qui rende ce coût marginal minimal. 0,5 pt

b. Justifier que ce minimum est positif. 0,5 pt

c. Calculer la valeur de ce coût marginal minimal. 1 pt

NOM, Prénom : Groupe :

2) La relation liant prix de vente unitaire p et quantité vendue x est : p(x) = –168,75x + 82500 (autrement dit, quand x unités sont vendues, chacune l’est au prix p(x)). La recette réalisée par la vente de x unités est donc R(x) = x × p(x) = –168,75x ² + 82500x. On admettra que la recette marginale Rm(x), augmentation de recette procurée par la vente d’une unité supplémentaire, s’exprime par Rm(x) = –337,5x + 82500.

a. Quelle est la recette marginale correspondant à un coût marginal minimal ? 0,5 pt

b. Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ? (on résoudra une équation et on arrondira le résultat à l’unité). Combien valent-ils alors ? 1,5 pt

Exercice 3 : (9 points)

Chez une population d’étudiants, parmi ceux qui se logent hors du domicile parental, les dépenses mensuelles pour l’alimentation ont été relevées. Les résultats sont les suivants :

dépense (€) [100 ; 160[ [160 ; 200[ [200 ; 220[ [220 ;300[

nombre d’étudiants 42 96 90 72

1) a. Calculez les fréquences et les concentrations d’effectifs correspondant aux quatre classes de dépenses.

1 pt

b. Quelle est la classe modale de cette série ? 0,5 pt

2) Réaliser un diagramme des FCC de cette série. 1,5 pt

une marge d’erreur sera tolérée à l’occasion de lectures graphiques

3) Quelle est la fréquence des étudiants qui dépensent entre 100 et 200 € ? 0,5 pt

4) a. Par lecture graphique, donner la dépense médiane, ainsi que les deux autres quartiles. 1 pt

b. Calculer la dépense médiane de ces étudiants. 1 pt

c. Déterminer l’équation de la droite contenant les points (200 , 46) et (220 , 76). 0,5 pt

d. Retrouver alors la valeur de la médiane à l’aide de l’équation de cette droite. 0,5 pt

5) a. Donner la dépense moyenne x et l’écart type σ^{. 0,5 pt}

b. Comment interpréter ces deux paramètres ? 1 pt

c. Donner la fréquence des étudiants dont la dépense se situe à moins d’un écart type de distance de la

dépense moyenne. 1 pt

Exercice 4 : (4 points)

Une étude démographique porte sur le nombre d’enfants scolarisés par foyer sondé.

Les résultats sont les suivants :

nombre d’enfants scolarisés 0 1 2 3 4 5

nombre de foyers 35 140 118 45 30 12

1) Quelle est le caractère étudié ici ? 0,5 pt

2) Donner le nombre médian d’enfants scolarisés dans cette étude. 1 pt

3) Quel est le taux de foyers comportant un ou deux enfants scolarisés ? 1 pt

4) On apprend que l’an dernier une étude similaire avait été réalisée, et en comparant les deux séries, on s’est aperçu que le nombre moyen d’enfants scolarisés par foyer a augmenté de 4% en un an. Quel était ce

nombre moyen l’an dernier ? 1,5 pt

__________ FIN DU SUJET __________

IUT - TC Mathématiques - Formulaire Semestre 1

Mathématiques financières

Capital de départ : C0 ; taux d’intérêts périodique (ex : annuel) : t ; nombre de périodes (ex : d’années) : n Intérêts simples Intérêts composés

Valeur acquise au bout

de n années

C

= C

(1 + nt) ^C

^{= C}

( ^{1 + t} )

Intérêts au bout de n

années

i = C

×t×n i = C

– C

Remboursement par annuités constantes :

( )

= ×

− +

0

1 1

C t a

t

Second degré : P(x) = ax² + bx + c

P(x) est du signe de a, sauf si x se trouve entre ses racines (si elles existent). les racines de P(x) sont les valeurs de xqui le rendent nul. Pour déterminer les racines de P(x) :

1. Calculer le discriminant du polynôme : il s’agit du nombre ∆ = b² - 4ac 2. Regarder le signe de ∆ pour en déduire le nombre et la valeur des racines : Si ∆ < 0 : P(x) n’admet pas de racine réelle.

Si ∆ = 0 : P(x) admet une seule racine réelle :

x′ = −2b

a . (racine « double ») Si ∆ > 0 : P(x) admet deux racines réelles : et

2 2

x′=− − ∆b x′′=− + ∆b

a a .