IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2020-2022 12/03/2021
Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 1 heure 30 min – coefficient 1/2
La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.
Tout sera rédigé sur le présent feuillet.
Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.
Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.
Exercice 1 : (4 points) QCM
Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point 1) Pour la liste 8, 4, 12, 8, 16, 8, des moyennes mobiles peuvent être :
7 ; 9 ; 11 ; 12 8 ; 8 ; 12 ; 10,66 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 12 8 ; 10 ; 11 2) Soit les deux couples (x, y) suivants : (1, 5) et (3, 7). Alors Cov(X, Y) =
15 12 4 1
3) L’amplitude d’un intervalle de confiance au seuil de risque α augmente forcément si :
y’0 augmente y’0 augmente y’0 diminue y’0 diminue et α augmente et α diminue et α augmente et α diminue 4) Un résidu est un décalage entre :
deux points un point et la un point et la deux droites du nuage moyenne droite de régression de régression
Exercice 2 : (5 points)
Le tableau ci-dessous montre les résultats d’un sondage pour lequel on a interrogé 300 personnes.
Les réponses à deux questions ont été croisées : l’âge de la personne (variable X) et la dépense mensuelle (estimée) de la personne en produits bio (variable Y). L’intérieur du tableau se compose des nombres de répondants dans chaque catégorie.
Y X (âge) [18 ; 25[ [25 ; 50[ 50 et plus
Moins de 30 € 70 91 47
Plus de 30 € 22 54 16
1) Au moyen d’un test du Khi-deux, décider si la dépense d’un individu en produits bio est liée à son âge, au seuil de 10% (vous expliquerez, en conclusion, ce que signifie concrètement ce seuil). 3 pts
NOM, Prénom : Groupe :
2) Grâce à la table du Khi-deux, dire entre quels seuils de risque se trouve la p-valeur de votre test. En déduire le seuil (parmi ceux proposés par la table) en-dessous duquel on ne peut pas rejeter l’hypothèse nulle. 1 pt
3) Donner les deux Khi-deux partiels les plus significatifs et commenter ce qu’ils indiquent. 1 pt
Exercice 3 : (11 points)
On s’intéresse à l’évolution de la population Française de 2001 à 2014, dont le tableau ci-dessous donne les relevés moyens annuels (source : INSEE 2015). L’objectif de l’exercice est de prendre la place d’une personne qui, en 2014, souhaite faire une estimation de la taille de la population en 2020. On comparera enfin cette
estimation au nombre réel de Français en 2020.
X : Année 1 (2001) 2 3 4 5 6 7
Y : Taille (millions) 61,16 61,60 62,04 62,49 62,96 63,49 63,78
X : Année 8 9 10 11 12 13 14 (2014)
Y : Taille (millions) 64,13 64,46 64,77 65,09 65,38 65,66 65,95
Partie 1 : régression linéaire sur le couple (X, Y)
1) Déterminer l’équation de la droite de Mayer associée à la série ci-dessus. 1 pt
2) a. Calculer la covariance du couple (X, Y) de ce tableau. Interpréter. 0,75 pt
b. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de ce couple. Interpréter. 0,75 pt
3) Donner l’équation y’ = ax + b de la droite de régression selon la méthode des moindres carrés. 0,5 pt
4) Déterminer une estimation de la taille de la population en 2020 par un intervalle de confiance à 99%.
On utilisera l’équation de la droite des moindres carrés. 2 pts
5) a. Représenter graphiquement le nuage de points montrant l’évolution de la population française entre 2001 et 2014. Prévoir sur l’axe des abscisses des valeurs de x comprises entre 1 et 20, la valeur 1 représentant
l’année 2001 et la valeur 20 l’année 2020. 0,75 pt
c. Cette droite vous parait-elle refléter la tendance montrée par le nuage de points ? 0,5 pt
d. Représenter graphiquement l’intervalle trouvé en question 4. 0,5 pt e. Au 1er janvier 2020, on compte environ 67,064 millions d’habitants en France (Insee). Commenter vos
résultats précédents. 0,5 pt
Partie 2 : recherche d’un ajustement par une courbe On souhaite modéliser le nuage de points par une courbe.
Pour cela, on propose le changement de variable suivant : T = (X – 27)².
1) Après avoir calculé les valeurs de T sur une liste de votre calculatrice, donner l’équation de la droite de
régression (moindres carrés) du couple (T, Y). 1,5 pt
2) En déduire l’équation de la courbe de régression du couple (X, Y), suivant ce modèle, puis tracer cette courbe
sur le graphique. Commenter. 1 pt
3) Calculer, grâce à ce modèle, une estimation ponctuelle de la taille de la population française en 2020.
Commenter ce résultat en le comparant aux conclusions de la partie 1. 0,75 pt
__________ FIN DU SUJET __________
IUT TC MATHEMATIQUES FORMULAIRE STATISTIQUES A DEUX VARIABLES
Table de la loi du
χ
²Le tableau donne les valeurs χ²lim
telles que p(χ² > χ²lim) = α
α α α α
χ²lim
χ
²1 − α α
