IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2017-2019 30/03/2018
Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2
La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.
Tout sera rédigé sur le présent feuillet.
Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.
Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.
Exercice 1 : QCM (2 points) - cochez vos réponses ci-dessous
Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point 1) Compléter : "Un résidu est un décalage …?... entre un point et une droite." :
minimal maximal vertical moyen
2) Si un nuage de points (xi, yi) s’étire en descendant, alors :
Cov(X, Y) < 0 Cov(X, Y) < 0 Cov(X, Y) > 0 Cov(X, Y) > 0
et r < 0 et r > 0 et r < 0 et r > 0
3) L’amplitude d’un intervalle à p% de confiance augmente forcément si :
y’0 augmente y’0 augmente y’0 diminue y’0 diminue
et p augmente et p diminue et p augmente et p diminue
4) Un coefficient de corrélation linéaire compris entre 0 et 0,5 implique que les points du nuage…
sont distribués suivent une sont éloignés les ne suivent pas
presque au hasard courbe uns des autres une droite
Exercice 2 : Test du χ² (5 points)
Une étude réalisée auprès de 2000 Français a pour but de mettre en évidence un lien entre le revenu annuel de leur foyer et la catégorie du lieu de séjour choisi pour les vacances d'été :
Revenu annuel du foyer (k€) [15 ; 25[ [25 ; 35[ [35 ; 60[ 60 et
plus totaux
Camping 345 428 177 27 977
NOM, Prénom : Groupe :
2) Donner les deux Khi-deux partiels les plus élevés ainsi qu'une explication concrète de ce qu'ils
représentent pour les foyers Français. 1 pt
Exercice 3 : (3 points)
Le laboratoire d'une entreprise agroalimentaire produisant de la sauce bolognaise étudie la croissance d'une culture bactérienne dans cette sauce. Pour cela, l'évolution de la quantité de bactéries en fonction du temps à température ambiante est analysée dans quatre échantillons, ce qui a donné le nuage de points ci-dessous (ce dernier montre une tendance, mais ne suit pas une courbe en particulier, du fait que la croissance bactérienne ne s'est pas déroulée exactement au même rythme dans les différents échantillons).
1) Si une norme sanitaire interdit la consommation d'un produit lorsqu'il contient plus de 20000 bactéries par millilitre, quelle sera pour la sécurité du consommateur la durée maximale conseillée à laquelle on peut
laisser un pot ouvert à température ambiante ? 1,5 pt
2) Il semble qu'un ajustement linéaire ne soit pas le meilleur modèle pour refléter l'évolution constatée. Les analystes ont opté pour une représentation exponentielle et en ont déduit l'équation suivante :
0,4525
2191e x 7000
y= + où y est le nombre de bactéries par mL et où x est la durée exprimée en heures.
a. Sur le graphique au-dessus, tracer la courbe correspondant à cette équation. Commenter. 1 pt
Exercice 4 : (3,5 points)
Le tableau ci-contre croise deux variables X et Y. Un ou plusieurs individus
correspondent à chaque
intersection (intérieur du tableau).
À l'aide de votre calculatrice, donner les moyennes et écarts types de ces deux variables, et calculer leur covariance.
Y
X 1 2 4 7
[0 ; 20[ 4 12 20 7
[20 ; 30[ 6 15 14 2
[30 ; 40[ 13 16 3 1
Exercice 5 : (6,5 points)
Le chiffre d'affaires du e-commerce en France évolue de manière assez régulière depuis quelques années.
Le tableau ci-dessous (source : http://fr.statista.com) le donne en milliards d'euros, de 2008 à 2016 :
année 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
CA 20 25 31 37,7 45 51,1 56,8 64,9 72
On souhaite modéliser cette évolution par une équation simple, si possible celle d'une droite, et utiliser celle- ci à des fins de prévision.
1) Nommons X le nombre d'années écoulées après l'an 2000 (ex : X = 8 pour 2008, X = 16 pour 2016), et Y le chiffre d'affaires du e-commerce en France.
a. Calculer la covariance du couple (X, Y) puis son coefficient de corrélation linéaire. Est-il pertinent d'utiliser une droite pour la modélisation du CA en fonction du temps ? 1,5 pt
b. Donner directement, grâce à votre calculatrice, une équation de la droite des moindres carrés issue de
ce tableau. 1 pt
2) a. Grâce à l'exploitation de cette droite, et dans l'hypothèse que la progression future se fasse au même rythme, donner un intervalle à 99% de confiance du chiffre d'affaires du e-commerce en France pour
l'année 2025. 3,5 pts
