Quantité de médicament contenue dans le sang en fonction du temps

STS AB1

Correction devoir surveillé N° 1

Exercice 1

Un médicament est injecté par voie intramusculaire. Il passe du muscle au sang, puis est éliminé par les reins.

On désigne parf(t)la quantité de médicament (en millilitres) contenue dans le sang à l’instantt(en heures).

Un étude à permis de constater que, pour touttde[0; +∞[, on a : f(t) =q(e^−0,5t−e^−t) avecq >0la quantité de médicament injecté à l’instant t= 0.

1. Etude des variations de la fonctionf. (a) Pour touttde[0; +∞[on a :

f⁰(t) =q(−0,5e^−0,5t+e^−t) f⁰(t) =q(−0,5e^−0,5te^−te^t+e^−t) f⁰(t) =qe^−t(1−0,5e^−0,5t+t) f⁰(t) =qe^−t(1−0,5e^0,5t) .

(b) Résoudre dans l’intervalle[0; +∞[l’inéquationf⁰(t)≥0.

f⁰(t)≥0

⇔ qe^−t(1−0,5e^0,5t)≥0

⇔ (1−0,5e^0,5t)≥0

⇔ 1≥0,5e^0,5t

⇔ 2≥e^0,5t

⇔ ln 2≥0,5t 2 ln 2≥t .

On a doncS= [0; 2 ln 2]

(c) La fonction dérivéef⁰ s’annule en changeant de signe (positive puis négative) en2 ln 2, la fonctionf admet donc un maximum ent= 2 ln 2qui vautf(2 ln 2) = q

4. (d) On obtient le tableau de variations def :

x

f⁰(x) f

0

0

2 ln 2 0 q 4

+∞

0

+ −

(e) La limite def en+∞est0car on a lim

t→=+∞e^−0,5t = 0et lim

t→=+∞e^−t = 0.

2. Contrôle des effets du médicament.

La quantité contenue dans le sang ne doit pas dépasser le seuil de toxicitéSM = 2,6.

Le médicament est efficace si la quantité contenue dans le sang est supérieure ou égale à Sm= 1,5.

(a) On sait quef admet un maximum qui vaut q 4 d’où : f(t)≤ q

4 <2,6 q <2,6×4 q <10,4 On peut donc injecter une quantitéqpourq∈[0; 10,4[.

(b) La droite∆passe par l’origineO(0,0)et a pour coefficient directeurf⁰(0) = 5on a donc∆ : y= 5x.

(c) L’intervalle de temps, pendant lequel le médicament est efficace, est d’après le graphique[0,3; 3,9]..

typeset by L^ATEX

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8

∆

Sm= 1.2ml SM = 2.6ml

x1≈0.3h x2≈3.9 h Temps en heure

Quantité de médicament contenue dans le sang en fonction du temps

Quantitéenml