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Exercice n°4 [5 points] On souhaite stériliser des récipients. Pour cela, on le prend à la température ambiante T

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Academic year: 2022

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Exercice n°4 [5 points]

On souhaite stériliser des récipients.

Pour cela, on le prend à la température ambiante T

0

= 25°C, et on le place dans un four à température constante T

F

= 100°C.

La stérilisation débute dés lors que la température de la boîte est supérieure à 85°C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour n entier naturel, on note T

n

la température en degré celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T

0

=25.

Pour n non nul, la valeur de T

n

est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :

Initialisation :

T prend la valeur 25 i est un nombre entier n est un nombre entier Traitement :

Demander la valeur de n Pour i allant de 1 à n faire

T prend la valeur /calc{1-#1/100} × T + /t{13;14;15;16;17;18}

Fin pour Sortie :

Afficher T

1 [0.5] . Déterminer la température de la boîte au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité.

2 [1] . Démontrer que, pour tout entier n, on a T

n

= 100 – 75 × /calc{1-#1/100}

n

. 3 [0.5] . Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-t-elle ?

Partie B

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f(t) (exprimée en degré Celsius) avec :

f(t) = 100 – 75 × §[ e^{ -{ln Left( {75}over{#1} Right )}over{10}t }]§

1. a [0.5] . Étudier le sens de variation de f sur [0;+∞[.

b [0.5] . Justifier que si t ≥ 10, alors f(t) ≥ /calc{100-#1} .

2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10. On note a(θ) le domaine délimité par les droites d'équation t = 10, t = θ, y = /calc{100-#1} et la courbe représentative c

f

de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps θ si l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine a(θ) est supérieure à 80.

a [0.5] . Déterminer une primitive de §[e^{α`x}]§ où α est un réel quelconque fixé.

b [1] . Calculer a(θ) en fonction de θ.

C [0.5] . Déterminer une valeur approchée du temps nécessaire pour stériliser la boite.

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