p- groupes d’automorphismes en caractéristique p > 0

(1)

Automorphismes C. LEHR, M. MATIGNON

Plan Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes Groupes d’automorphismes

Revêtements de la droite affine Structure de G_∞,1(f) Bornes sur|G∞,1(f)|

Caractérisation de G_∞,1(f) Actions de p-groupes

Condition de Nakajima A propos de G₂ Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions Courbes maximales Références

p- groupes d’automorphismes en caractéristique p > 0

C. L EHR ¹ M. M ATIGNON ²

1

MPI Bonn

²

Laboratoire A2X Bordeaux

Séminaire “Variétés rationnelles”

Mai 2006

(2)

Plan Introduction

Plan

Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

Groupes d’automorphismes des courbes en car.p > 0 Revêtements p -cycliques de la droite affine

Structure de G _∞,1 (f ) Bornes sur |G _∞,1 (f )|

Caractérisation de G _∞,1 (f )

Actions de p-groupes sur une courbe C avec g(C) ≥ 2 Grosses actions (I)

Condition (N) et G ₂ Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Courbes maximales

Références

(3)

Plan Introduction

Plan

Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

Groupes d’automorphismes des courbes en car.p > 0 Revêtements p -cycliques de la droite affine

Structure de G _∞,1 (f ) Bornes sur |G _∞,1 (f )|

Caractérisation de G _∞,1 (f )

Actions de p-groupes sur une courbe C avec g(C) ≥ 2 Grosses actions (I)

Condition (N) et G ₂ Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Courbes maximales

Références

(4)

Plan Introduction

Plan

Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

Groupes d’automorphismes des courbes en car.p > 0 Revêtements p -cycliques de la droite affine

Structure de G _∞,1 (f ) Bornes sur |G _∞,1 (f )|

Caractérisation de G _∞,1 (f )

Actions de p-groupes sur une courbe C avec g(C) ≥ 2 Grosses actions (I)

Condition (N) et G ₂ Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Courbes maximales

Références

(5)

Plan Introduction

Plan

Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

Groupes d’automorphismes des courbes en car.p > 0 Revêtements p -cycliques de la droite affine

Structure de G _∞,1 (f ) Bornes sur |G _∞,1 (f )|

Caractérisation de G _∞,1 (f )

Actions de p-groupes sur une courbe C avec g(C) ≥ 2 Grosses actions (I)

Condition (N) et G ₂ Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Courbes maximales

Références

(6)

Plan Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

I R un AVD strictement hensélien d’inégales caractéristiques (0, p).

K := FrR ; par exemple K / Q ^nr p finie.

π une uniformisante.

k := R/πR.

C/K courbe projective lisse, g(C) ≥ 1.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O _L . Alors

I Il existe une extension minimale L/K ayant cette propriété, elle est galoisienne: c’est la

monodromie.

I Gal(L/K ) est le groupe de monodromie.

I Son p-sous-groupe de Sylow est le groupe de

monodromie sauvage.

(7)

Plan Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

I R un AVD strictement hensélien d’inégales caractéristiques (0, p).

K := FrR ; par exemple K / Q ^nr p finie.

π une uniformisante.

k := R/πR.

C/K courbe projective lisse, g(C) ≥ 1.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O _L . Alors

I Il existe une extension minimale L/K ayant cette propriété, elle est galoisienne: c’est la

monodromie.

I Gal(L/K ) est le groupe de monodromie.

I Son p-sous-groupe de Sylow est le groupe de

monodromie sauvage.

(8)

Plan Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

I R un AVD strictement hensélien d’inégales caractéristiques (0, p).

K := FrR ; par exemple K / Q ^nr p finie.

π une uniformisante.

k := R/πR.

C/K courbe projective lisse, g(C) ≥ 1.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O _L . Alors

I Il existe une extension minimale L/K ayant cette propriété, elle est galoisienne: c’est la

monodromie.

I Gal(L/K ) est le groupe de monodromie.

I Son p-sous-groupe de Sylow est le groupe de

monodromie sauvage.

(9)

Plan Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

I R un AVD strictement hensélien d’inégales caractéristiques (0, p).

K := FrR ; par exemple K / Q ^nr p finie.

π une uniformisante.

k := R/πR.

C/K courbe projective lisse, g(C) ≥ 1.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O _L . Alors

I Il existe une extension minimale L/K ayant cette propriété, elle est galoisienne: c’est la

monodromie.

I Gal(L/K ) est le groupe de monodromie.

I Son p-sous-groupe de Sylow est le groupe de

monodromie sauvage.

(10)

Plan Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

I R un AVD strictement hensélien d’inégales caractéristiques (0, p).

K := FrR ; par exemple K / Q ^nr p finie.

π une uniformisante.

k := R/πR.

C/K courbe projective lisse, g(C) ≥ 1.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O _L . Alors

I Il existe une extension minimale L/K ayant cette propriété, elle est galoisienne: c’est la

monodromie.

I Gal(L/K ) est le groupe de monodromie.

I Son p-sous-groupe de Sylow est le groupe de

monodromie sauvage.

(11)

Plan Introduction

I Le changement de base C × _K K âlg induit alors un homomorphisme ϕ : Gal(K âlg /K ) → Aut _k C _s où C _s est la fibre spéciale du modèle lisse sur L et L = (K âlg ) ^ker ^ϕ .

I Soit ` un nombre premier, alors n _` := v _` (|Gal(L/K )|) ≤ v _` (|Aut _k C s |)

I Si ` / ∈ {2, p}, alors ` ⁿ

^`

est majoré par l’ordre maximal d’un sous-groupe cyclique de GL 2g ( Z /` Z ) i.e. ` ⁿ

^`

≤ O(g).

I Si p > 2, on a

n _p ≤ inf _`6=2,p v _p (|GL 2g ( Z /` Z )|) = a + [a/p] + ... où a = [ _p−1 ^2g ].

Ainsi, on obtient pour |Aut _k C _s | une borne

exponentielle en g, d’où l’intérêt des bornes

polynômiales en g dues à Stichtenoth et Singh

(74).

(12)

Plan Introduction

I Le changement de base C × _K K âlg induit alors un homomorphisme ϕ : Gal(K âlg /K ) → Aut _k C _s où C _s est la fibre spéciale du modèle lisse sur L et L = (K âlg ) ^ker ^ϕ .

I Soit ` un nombre premier, alors n _` := v _` (|Gal(L/K )|) ≤ v _` (|Aut _k C s |)

I Si ` / ∈ {2, p}, alors ` ⁿ

^`

est majoré par l’ordre maximal d’un sous-groupe cyclique de GL 2g ( Z /` Z ) i.e. ` ⁿ

^`

≤ O(g).

I Si p > 2, on a

n _p ≤ inf _`6=2,p v _p (|GL 2g ( Z /` Z )|) = a + [a/p] + ... où a = [ _p−1 ^2g ].

Ainsi, on obtient pour |Aut _k C _s | une borne

exponentielle en g, d’où l’intérêt des bornes

polynômiales en g dues à Stichtenoth et Singh

(74).

(13)

Plan Introduction

I Le changement de base C × _K K âlg induit alors un homomorphisme ϕ : Gal(K âlg /K ) → Aut _k C _s où C _s est la fibre spéciale du modèle lisse sur L et L = (K âlg ) ^ker ^ϕ .

I Soit ` un nombre premier, alors n _` := v _` (|Gal(L/K )|) ≤ v _` (|Aut _k C s |)

I Si ` / ∈ {2, p}, alors ` ⁿ

^`

est majoré par l’ordre maximal d’un sous-groupe cyclique de GL 2g ( Z /` Z ) i.e. ` ⁿ

^`

≤ O(g).

I Si p > 2, on a

n _p ≤ inf _`6=2,p v _p (|GL 2g ( Z /` Z )|) = a + [a/p] + ... où a = [ _p−1 ^2g ].

Ainsi, on obtient pour |Aut _k C _s | une borne

exponentielle en g, d’où l’intérêt des bornes

polynômiales en g dues à Stichtenoth et Singh

(74).

(14)

Plan Introduction

I Le changement de base C × _K K âlg induit alors un homomorphisme ϕ : Gal(K âlg /K ) → Aut _k C _s où C _s est la fibre spéciale du modèle lisse sur L et L = (K âlg ) ^ker ^ϕ .

I Soit ` un nombre premier, alors n _` := v _` (|Gal(L/K )|) ≤ v _` (|Aut _k C s |)

I Si ` / ∈ {2, p}, alors ` ⁿ

^`

est majoré par l’ordre maximal d’un sous-groupe cyclique de GL 2g ( Z /` Z ) i.e. ` ⁿ

^`

≤ O(g).

I Si p > 2, on a

n _p ≤ inf _`6=2,p v _p (|GL 2g ( Z /` Z )|) = a + [a/p] + ... où a = [ _p−1 ^2g ].

Ainsi, on obtient pour |Aut _k C _s | une borne

exponentielle en g, d’où l’intérêt des bornes

polynômiales en g dues à Stichtenoth et Singh

(74).

(15)

Plan Introduction

Revêtements p-cycliques de la droite affine

k est un corps algébriquement clos de car. p > 0

I f (X ) ∈ Xk [X ] ,(deg f = m, p) = 1, unitaire

I C _f : w ^p − w = f (X), ∞ l’unique point de C _f au-dessus de X = ∞ et z un paramètre local, g := g(C _f ) = ^p−1 ₂ (m − 1).

I G _∞ (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | σ(∞) = ∞}

I G _∞,1 (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | v _∞ (σ(z) − z) ≥ 2} , le p-Sylow.

I ([St],73) Soit g(C _f ) ≥ 2, alors G _∞,1 (f ) est un p-Sylow de Aut k C _f .

I Il est normal, sauf si f (X ) = X ^m avec m|1 + p.

(16)

Plan Introduction

Revêtements p-cycliques de la droite affine

k est un corps algébriquement clos de car. p > 0

I f (X ) ∈ Xk [X ] ,(deg f = m, p) = 1, unitaire

I C _f : w ^p − w = f (X), ∞ l’unique point de C _f au-dessus de X = ∞ et z un paramètre local, g := g(C _f ) = ^p−1 ₂ (m − 1).

I G _∞ (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | σ(∞) = ∞}

I G _∞,1 (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | v _∞ (σ(z) − z) ≥ 2} , le p-Sylow.

I ([St],73) Soit g(C _f ) ≥ 2, alors G _∞,1 (f ) est un p-Sylow de Aut k C _f .

I Il est normal, sauf si f (X ) = X ^m avec m|1 + p.

(17)

Plan Introduction

Revêtements p-cycliques de la droite affine

k est un corps algébriquement clos de car. p > 0

I f (X ) ∈ Xk [X ] ,(deg f = m, p) = 1, unitaire

I C _f : w ^p − w = f (X), ∞ l’unique point de C _f au-dessus de X = ∞ et z un paramètre local, g := g(C _f ) = ^p−1 ₂ (m − 1).

I G _∞ (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | σ(∞) = ∞}

I G _∞,1 (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | v _∞ (σ(z) − z) ≥ 2} , le p-Sylow.

I ([St],73) Soit g(C _f ) ≥ 2, alors G _∞,1 (f ) est un p-Sylow de Aut k C _f .

I Il est normal, sauf si f (X ) = X ^m avec m|1 + p.

(18)

Plan Introduction

Revêtements p-cycliques de la droite affine

k est un corps algébriquement clos de car. p > 0

I f (X ) ∈ Xk [X ] ,(deg f = m, p) = 1, unitaire

I C _f : w ^p − w = f (X), ∞ l’unique point de C _f au-dessus de X = ∞ et z un paramètre local, g := g(C _f ) = ^p−1 ₂ (m − 1).

I G _∞ (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | σ(∞) = ∞}

I G _∞,1 (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | v _∞ (σ(z) − z) ≥ 2} , le p-Sylow.

I ([St],73) Soit g(C _f ) ≥ 2, alors G _∞,1 (f ) est un p-Sylow de Aut k C _f .

I Il est normal, sauf si f (X ) = X ^m avec m|1 + p.

(19)

Plan Introduction

Revêtements p-cycliques de la droite affine

k est un corps algébriquement clos de car. p > 0

I f (X ) ∈ Xk [X ] ,(deg f = m, p) = 1, unitaire

I C _f : w ^p − w = f (X), ∞ l’unique point de C _f au-dessus de X = ∞ et z un paramètre local, g := g(C _f ) = ^p−1 ₂ (m − 1).

I G _∞ (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | σ(∞) = ∞}

I G _∞,1 (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | v _∞ (σ(z) − z) ≥ 2} , le p-Sylow.

I ([St],73) Soit g(C _f ) ≥ 2, alors G _∞,1 (f ) est un p-Sylow de Aut k C _f .

I Il est normal, sauf si f (X ) = X ^m avec m|1 + p.

(20)

Plan Introduction

Revêtements p-cycliques de la droite affine

k est un corps algébriquement clos de car. p > 0

I f (X ) ∈ Xk [X ] ,(deg f = m, p) = 1, unitaire

I C _f : w ^p − w = f (X), ∞ l’unique point de C _f au-dessus de X = ∞ et z un paramètre local, g := g(C _f ) = ^p−1 ₂ (m − 1).

I G _∞ (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | σ(∞) = ∞}

I G _∞,1 (f ) := {σ ∈ Aut _k C _f | v _∞ (σ(z) − z) ≥ 2} , le p-Sylow.

I ([St],73) Soit g(C _f ) ≥ 2, alors G _∞,1 (f ) est un p-Sylow de Aut k C _f .

I Il est normal, sauf si f (X ) = X ^m avec m|1 + p.

(21)

Plan Introduction

Structure de G _∞,1 (f )

I Soit ρ(X ) = X , ρ(w ) = w + 1, alors

< ρ >= G _∞,2 ⊂ Z (G _∞,1 ).

I 0 →< ρ >→ G _∞,1 → V → 0 où V = {τ y | τ y (X) = X + y, y ∈ k }.

f (X + y ) = f (X ) + f (y) + (F − Id)(P(X , y)) P(X , y ) ∈ Xk[X ]

V ' ( Z /p Z ) ^v en tant que sous-groupe de k .

I [τ y , τ z ] = ρ ^(y,z) où : V × V → F p est une forme alternée.

I est non dégénérée ssi < ρ >= Z (G _∞,1 ).

(22)

Plan Introduction

Structure de G _∞,1 (f )

I Soit ρ(X ) = X , ρ(w ) = w + 1, alors

< ρ >= G _∞,2 ⊂ Z (G _∞,1 ).

I 0 →< ρ >→ G _∞,1 → V → 0 où V = {τ y | τ y (X) = X + y, y ∈ k }.

f (X + y ) = f (X ) + f (y) + (F − Id)(P(X , y)) P(X , y ) ∈ Xk[X ]

V ' ( Z /p Z ) ^v en tant que sous-groupe de k .

I [τ y , τ z ] = ρ ^(y,z) où : V × V → F p est une forme alternée.

I est non dégénérée ssi < ρ >= Z (G _∞,1 ).

(23)

Plan Introduction

Structure de G _∞,1 (f )

I Soit ρ(X ) = X , ρ(w ) = w + 1, alors

< ρ >= G _∞,2 ⊂ Z (G _∞,1 ).

I 0 →< ρ >→ G _∞,1 → V → 0 où V = {τ y | τ y (X) = X + y, y ∈ k }.

f (X + y ) = f (X ) + f (y) + (F − Id)(P(X , y)) P(X , y ) ∈ Xk[X ]

V ' ( Z /p Z ) ^v en tant que sous-groupe de k .

I [τ y , τ z ] = ρ ^(y,z) où : V × V → F p est une forme alternée.

I est non dégénérée ssi < ρ >= Z (G _∞,1 ).

(24)

Plan Introduction

Structure de G _∞,1 (f )

I Soit ρ(X ) = X , ρ(w ) = w + 1, alors

< ρ >= G _∞,2 ⊂ Z (G _∞,1 ).

I 0 →< ρ >→ G _∞,1 → V → 0 où V = {τ y | τ y (X) = X + y, y ∈ k }.

f (X + y ) = f (X ) + f (y) + (F − Id)(P(X , y)) P(X , y ) ∈ Xk[X ]

V ' ( Z /p Z ) ^v en tant que sous-groupe de k .

I [τ y , τ z ] = ρ ^(y,z) où : V × V → F p est une forme alternée.

I est non dégénérée ssi < ρ >= Z (G _∞,1 ).

(25)

Plan Introduction

Bornes sur |G ∞,1 (f )|

Lemme: Si f (X ) = P

1≤i≤m t _i X ⁱ ∈ k[X ], unitaire, alors

I ∆(f )(X , Y ) := f (X + Y ) − f (X ) − f (Y ) = R(X , Y ) + (F − Id)(P _f (X , Y )) avec R ∈ L

b

^m_p

c≤ip

ⁿ⁽ⁱ⁾

<m, (i,p)=1 k [Y ]X ^ip

ⁿ⁽ⁱ⁾

et P _f ∈ Xk[X , Y ].

I P _f = (Id + F + ... + F ⁿ⁻¹ )(∆(f )) mod X ^[

^m−1^p

^]+1

I On note Ad f (Y ) le contenu du polynôme R(X , Y ) ∈ k[Y ][X ].

I Ad _f (Y ) est un polynôme additif séparable

I Z (Ad _f (Y )) ' V .

(26)

Plan Introduction

Bornes sur |G ∞,1 (f )|

Lemme: Si f (X ) = P

1≤i≤m t _i X ⁱ ∈ k[X ], unitaire, alors

I ∆(f )(X , Y ) := f (X + Y ) − f (X ) − f (Y ) = R(X , Y ) + (F − Id)(P _f (X , Y )) avec R ∈ L

b

^m_p

c≤ip

ⁿ⁽ⁱ⁾

<m, (i,p)=1 k [Y ]X ^ip

ⁿ⁽ⁱ⁾

et P _f ∈ Xk[X , Y ].

I P _f = (Id + F + ... + F ⁿ⁻¹ )(∆(f )) mod X ^[

^m−1^p

^]+1

I On note Ad f (Y ) le contenu du polynôme R(X , Y ) ∈ k[Y ][X ].

I Ad _f (Y ) est un polynôme additif séparable

I Z (Ad _f (Y )) ' V .

(27)

Plan Introduction

Bornes sur |G ∞,1 (f )|

Lemme: Si f (X ) = P

1≤i≤m t _i X ⁱ ∈ k[X ], unitaire, alors

I ∆(f )(X , Y ) := f (X + Y ) − f (X ) − f (Y ) = R(X , Y ) + (F − Id)(P _f (X , Y )) avec R ∈ L

b

^m_p

c≤ip

ⁿ⁽ⁱ⁾

<m, (i,p)=1 k [Y ]X ^ip

ⁿ⁽ⁱ⁾

et P _f ∈ Xk[X , Y ].

I P _f = (Id + F + ... + F ⁿ⁻¹ )(∆(f )) mod X ^[

^m−1^p

^]+1

I On note Ad f (Y ) le contenu du polynôme R(X , Y ) ∈ k[Y ][X ].

I Ad _f (Y ) est un polynôme additif séparable

I Z (Ad _f (Y )) ' V .

(28)

Plan Introduction

Bornes sur |G ∞,1 (f )|

Lemme: Si f (X ) = P

1≤i≤m t _i X ⁱ ∈ k[X ], unitaire, alors

I ∆(f )(X , Y ) := f (X + Y ) − f (X ) − f (Y ) = R(X , Y ) + (F − Id)(P _f (X , Y )) avec R ∈ L

b

^m_p

c≤ip

ⁿ⁽ⁱ⁾

<m, (i,p)=1 k [Y ]X ^ip

ⁿ⁽ⁱ⁾

et P _f ∈ Xk[X , Y ].

I P _f = (Id + F + ... + F ⁿ⁻¹ )(∆(f )) mod X ^[

^m−1^p

^]+1

I On note Ad f (Y ) le contenu du polynôme R(X , Y ) ∈ k[Y ][X ].

I Ad _f (Y ) est un polynôme additif séparable

I Z (Ad _f (Y )) ' V .

(29)

Plan Introduction

Bornes sur |G ∞,1 (f )|

Lemme: Si f (X ) = P

1≤i≤m t _i X ⁱ ∈ k[X ], unitaire, alors

I ∆(f )(X , Y ) := f (X + Y ) − f (X ) − f (Y ) = R(X , Y ) + (F − Id)(P _f (X , Y )) avec R ∈ L

b

^m_p

c≤ip

ⁿ⁽ⁱ⁾

<m, (i,p)=1 k [Y ]X ^ip

ⁿ⁽ⁱ⁾

et P _f ∈ Xk[X , Y ].

I P _f = (Id + F + ... + F ⁿ⁻¹ )(∆(f )) mod X ^[

^m−1^p

^]+1

I On note Ad f (Y ) le contenu du polynôme R(X , Y ) ∈ k[Y ][X ].

I Ad _f (Y ) est un polynôme additif séparable

I Z (Ad _f (Y )) ' V .

(30)

Plan Introduction

Si m − 1 = `p ^s avec (`, p) = 1 et s ≥ 0

I ([St] 73) |G _∞,1 | = p deg(Ad _f ) ≤ p(m − 1) ² i.e.

|G

_∞,1

|

g

²

≤ _(p−1) ^4p

2

I ([St] 73) s = 0, i.e. (m − 1, p) = 1, alors |G _∞,1 | = p

I s > 0

I

` > 1, p = 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

²₃

I

` > 1, p > 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

_p−1^p

I

([St]) ` = 1, m = 1 + p

^s

alors

^|G^∞,1_g ^|

≤ 2p

^s_p−1^p

(égalité pour f (X) = X

^1+p^s

)

(31)

Plan Introduction

Si m − 1 = `p ^s avec (`, p) = 1 et s ≥ 0

I ([St] 73) |G _∞,1 | = p deg(Ad _f ) ≤ p(m − 1) ² i.e.

|G

_∞,1

|

g

²

≤ _(p−1) ^4p

2

I ([St] 73) s = 0, i.e. (m − 1, p) = 1, alors |G _∞,1 | = p

I s > 0

I

` > 1, p = 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

²₃

I

` > 1, p > 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

_p−1^p

I

([St]) ` = 1, m = 1 + p

^s

alors

^|G^∞,1_g ^|

≤ 2p

^s_p−1^p

(égalité pour f (X) = X

^1+p^s

)

(32)

Plan Introduction

Si m − 1 = `p ^s avec (`, p) = 1 et s ≥ 0

I ([St] 73) |G _∞,1 | = p deg(Ad _f ) ≤ p(m − 1) ² i.e.

|G

_∞,1

|

g

²

≤ _(p−1) ^4p

2

I ([St] 73) s = 0, i.e. (m − 1, p) = 1, alors |G _∞,1 | = p

I s > 0

I

` > 1, p = 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

²₃

I

` > 1, p > 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

_p−1^p

I

([St]) ` = 1, m = 1 + p

^s

alors

^|G^∞,1_g ^|

≤ 2p

^s_p−1^p

(égalité pour f (X) = X

^1+p^s

)

(33)

Plan Introduction

Si m − 1 = `p ^s avec (`, p) = 1 et s ≥ 0

I ([St] 73) |G _∞,1 | = p deg(Ad _f ) ≤ p(m − 1) ² i.e.

|G

_∞,1

|

g

²

≤ _(p−1) ^4p

2

I ([St] 73) s = 0, i.e. (m − 1, p) = 1, alors |G _∞,1 | = p

I s > 0

I

` > 1, p = 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

²₃

I

` > 1, p > 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

_p−1^p

I

([St]) ` = 1, m = 1 + p

^s

alors

^|G^∞,1_g ^|

≤ 2p

^s_p−1^p

(égalité pour f (X) = X

^1+p^s

)

(34)

Plan Introduction

Si m − 1 = `p ^s avec (`, p) = 1 et s ≥ 0

I ([St] 73) |G _∞,1 | = p deg(Ad _f ) ≤ p(m − 1) ² i.e.

|G

_∞,1

|

g

²

≤ _(p−1) ^4p

2

I ([St] 73) s = 0, i.e. (m − 1, p) = 1, alors |G _∞,1 | = p

I s > 0

I

` > 1, p = 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

²₃

I

` > 1, p > 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

_p−1^p

I

([St]) ` = 1, m = 1 + p

^s

alors

^|G^∞,1_g ^|

≤ 2p

^s_p−1^p

(égalité pour f (X) = X

^1+p^s

)

(35)

Plan Introduction

Si m − 1 = `p ^s avec (`, p) = 1 et s ≥ 0

I ([St] 73) |G _∞,1 | = p deg(Ad _f ) ≤ p(m − 1) ² i.e.

|G

_∞,1

|

g

²

≤ _(p−1) ^4p

2

I ([St] 73) s = 0, i.e. (m − 1, p) = 1, alors |G _∞,1 | = p

I s > 0

I

` > 1, p = 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

²₃

I

` > 1, p > 2, alors

^|G^∞,1_g ^|

≤

_p−1^p

I

([St]) ` = 1, m = 1 + p

^s

alors

^|G^∞,1_g ^|

≤ 2p

^s_p−1^p

(égalité pour f (X) = X

^1+p^s

)

(36)

Plan Introduction

Caractérisation de G _∞,1 (f )

I Considérons les extensions de p-groupes du type 0 → Z /p Z → G → ( Z /p Z ) ⁿ → 0 (en particulier, G _∞,1 (f ) est de ce type). Alors G ⁰ ⊂ Z (G).

I Si G ⁰ = Z (G), on dit que G est extraspécial.

I

Alors |G| = p

^2s+1

. Il y a 2 classes d’isomorphisme pour s donné.

I

Si p > 2, on note E (p

³

) (resp. M(p

³

)) le groupe non abélien d’ordre p

³

d’exposant p (resp. p

²

).

Alors G ' E(p

³

) ∗ E(p

³

) ∗ ... ∗ E(p

³

) ou

M(p

³

) ∗ E (p

³

) ∗ ... ∗ E (p

³

) suivant que l’exposant est p ou p

²

.

I

Si p = 2, alors G ' D

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

ou bien Q

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

(dans les 2 cas, l’exposant est 2

²

)

I Si G ⁰ ⊂ Z (G), G est sous-groupe d’un groupe

extraspécial E avec Z (E) ⊂ G.

(37)

Plan Introduction

Caractérisation de G _∞,1 (f )

I Considérons les extensions de p-groupes du type 0 → Z /p Z → G → ( Z /p Z ) ⁿ → 0 (en particulier, G _∞,1 (f ) est de ce type). Alors G ⁰ ⊂ Z (G).

I Si G ⁰ = Z (G), on dit que G est extraspécial.

I

Alors |G| = p

^2s+1

. Il y a 2 classes d’isomorphisme pour s donné.

I

Si p > 2, on note E (p

³

) (resp. M(p

³

)) le groupe non abélien d’ordre p

³

d’exposant p (resp. p

²

).

Alors G ' E(p

³

) ∗ E(p

³

) ∗ ... ∗ E(p

³

) ou

M(p

³

) ∗ E (p

³

) ∗ ... ∗ E (p

³

) suivant que l’exposant est p ou p

²

.

I

Si p = 2, alors G ' D

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

ou bien Q

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

(dans les 2 cas, l’exposant est 2

²

)

I Si G ⁰ ⊂ Z (G), G est sous-groupe d’un groupe

extraspécial E avec Z (E) ⊂ G.

(38)

Plan Introduction

Caractérisation de G _∞,1 (f )

I Considérons les extensions de p-groupes du type 0 → Z /p Z → G → ( Z /p Z ) ⁿ → 0 (en particulier, G _∞,1 (f ) est de ce type). Alors G ⁰ ⊂ Z (G).

I Si G ⁰ = Z (G), on dit que G est extraspécial.

I

Alors |G| = p

^2s+1

. Il y a 2 classes d’isomorphisme pour s donné.

I

Si p > 2, on note E (p

³

) (resp. M(p

³

)) le groupe non abélien d’ordre p

³

d’exposant p (resp. p

²

).

Alors G ' E(p

³

) ∗ E(p

³

) ∗ ... ∗ E(p

³

) ou

M(p

³

) ∗ E (p

³

) ∗ ... ∗ E (p

³

) suivant que l’exposant est p ou p

²

.

I

Si p = 2, alors G ' D

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

ou bien Q

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

(dans les 2 cas, l’exposant est 2

²

)

I Si G ⁰ ⊂ Z (G), G est sous-groupe d’un groupe

extraspécial E avec Z (E) ⊂ G.

(39)

Plan Introduction

Caractérisation de G _∞,1 (f )

I Considérons les extensions de p-groupes du type 0 → Z /p Z → G → ( Z /p Z ) ⁿ → 0 (en particulier, G _∞,1 (f ) est de ce type). Alors G ⁰ ⊂ Z (G).

I Si G ⁰ = Z (G), on dit que G est extraspécial.

I

Alors |G| = p

^2s+1

. Il y a 2 classes d’isomorphisme pour s donné.

I

Si p > 2, on note E (p

³

) (resp. M(p

³

)) le groupe non abélien d’ordre p

³

d’exposant p (resp. p

²

).

Alors G ' E(p

³

) ∗ E(p

³

) ∗ ... ∗ E(p

³

) ou

M(p

³

) ∗ E (p

³

) ∗ ... ∗ E (p

³

) suivant que l’exposant est p ou p

²

.

I

Si p = 2, alors G ' D

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

ou bien Q

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

(dans les 2 cas, l’exposant est 2

²

)

I Si G ⁰ ⊂ Z (G), G est sous-groupe d’un groupe

extraspécial E avec Z (E) ⊂ G.

(40)

Plan Introduction

Caractérisation de G _∞,1 (f )

I Considérons les extensions de p-groupes du type 0 → Z /p Z → G → ( Z /p Z ) ⁿ → 0 (en particulier, G _∞,1 (f ) est de ce type). Alors G ⁰ ⊂ Z (G).

I Si G ⁰ = Z (G), on dit que G est extraspécial.

I

Alors |G| = p

^2s+1

. Il y a 2 classes d’isomorphisme pour s donné.

I

Si p > 2, on note E (p

³

) (resp. M(p

³

)) le groupe non abélien d’ordre p

³

d’exposant p (resp. p

²

).

Alors G ' E(p

³

) ∗ E(p

³

) ∗ ... ∗ E(p

³

) ou

M(p

³

) ∗ E (p

³

) ∗ ... ∗ E (p

³

) suivant que l’exposant est p ou p

²

.

I

Si p = 2, alors G ' D

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

ou bien Q

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

(dans les 2 cas, l’exposant est 2

²

)

I Si G ⁰ ⊂ Z (G), G est sous-groupe d’un groupe

extraspécial E avec Z (E) ⊂ G.

(41)

Plan Introduction

Caractérisation de G _∞,1 (f )

I Considérons les extensions de p-groupes du type 0 → Z /p Z → G → ( Z /p Z ) ⁿ → 0 (en particulier, G _∞,1 (f ) est de ce type). Alors G ⁰ ⊂ Z (G).

I Si G ⁰ = Z (G), on dit que G est extraspécial.

I

Alors |G| = p

^2s+1

. Il y a 2 classes d’isomorphisme pour s donné.

I

Si p > 2, on note E (p

³

) (resp. M(p

³

)) le groupe non abélien d’ordre p

³

d’exposant p (resp. p

²

).

Alors G ' E(p

³

) ∗ E(p

³

) ∗ ... ∗ E(p

³

) ou

M(p

³

) ∗ E (p

³

) ∗ ... ∗ E (p

³

) suivant que l’exposant est p ou p

²

.

I

Si p = 2, alors G ' D

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

ou bien Q

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

(dans les 2 cas, l’exposant est 2

²

)

I Si G ⁰ ⊂ Z (G), G est sous-groupe d’un groupe

extraspécial E avec Z (E) ⊂ G.

(42)

Plan Introduction

I Théorème. Si f (X ) = XΣ(F )(X ) ∈ k[x ], Σ(F ) = P

0≤i≤s a _i F ⁱ ∈ k{F } un polynôme additif avec deg f = 1 + p ^s , alors

I

Ad

_f

(Y ) = F

^s

( P

0≤i≤s

(a

i

F

ⁱ

+ F

⁻ⁱ

a

i

)(Y ))

I

G

∞,1

(f ) est un groupe extraspécial de cardinal p

^2s+1

, d’exposant p si p > 2 et du type

Q

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

si p = 2.

I Théorème. Si G est extension du type 0 → Z /p Z → G → ( Z /p Z ) ⁿ → 0, il existe f ∈ Xk[X ] avec G ' G _∞,1 (f ).

I Idée:

I

Les groupes extraspéciaux d’exposant p

²

sont obtenus en modifiant le polynôme f du théorème précédent par un cocycle de Witt.

I

Si G est sous-groupe d’un groupe extraspécial E , on réalise E avec f

_E

comme dans le cas

précédent et une modification convenable de f

_E

limite G

∞,1

à G.

(43)

Plan Introduction

I Théorème. Si f (X ) = XΣ(F )(X ) ∈ k[x ], Σ(F ) = P

0≤i≤s a _i F ⁱ ∈ k{F } un polynôme additif avec deg f = 1 + p ^s , alors

I

Ad

_f

(Y ) = F

^s

( P

0≤i≤s

(a

i

F

ⁱ

+ F

⁻ⁱ

a

i

)(Y ))

I

G

∞,1

(f ) est un groupe extraspécial de cardinal p

^2s+1

, d’exposant p si p > 2 et du type

Q

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

si p = 2.

I Théorème. Si G est extension du type 0 → Z /p Z → G → ( Z /p Z ) ⁿ → 0, il existe f ∈ Xk[X ] avec G ' G _∞,1 (f ).

I Idée:

I

Les groupes extraspéciaux d’exposant p

²

sont obtenus en modifiant le polynôme f du théorème précédent par un cocycle de Witt.

I

Si G est sous-groupe d’un groupe extraspécial E , on réalise E avec f

_E

comme dans le cas

précédent et une modification convenable de f

_E

limite G

∞,1

à G.

(44)

Plan Introduction

I Théorème. Si f (X ) = XΣ(F )(X ) ∈ k[x ], Σ(F ) = P

0≤i≤s a _i F ⁱ ∈ k{F } un polynôme additif avec deg f = 1 + p ^s , alors

I

Ad

_f

(Y ) = F

^s

( P

0≤i≤s

(a

i

F

ⁱ

+ F

⁻ⁱ

a

i

)(Y ))

I

G

∞,1

(f ) est un groupe extraspécial de cardinal p

^2s+1

, d’exposant p si p > 2 et du type

Q

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

si p = 2.

I Théorème. Si G est extension du type 0 → Z /p Z → G → ( Z /p Z ) ⁿ → 0, il existe f ∈ Xk[X ] avec G ' G _∞,1 (f ).

I Idée:

I

Les groupes extraspéciaux d’exposant p

²

sont obtenus en modifiant le polynôme f du théorème précédent par un cocycle de Witt.

I

Si G est sous-groupe d’un groupe extraspécial E , on réalise E avec f

_E

comme dans le cas

précédent et une modification convenable de f

_E

limite G

∞,1

à G.

(45)

Plan Introduction

I Théorème. Si f (X ) = XΣ(F )(X ) ∈ k[x ], Σ(F ) = P

0≤i≤s a _i F ⁱ ∈ k{F } un polynôme additif avec deg f = 1 + p ^s , alors

I

Ad

_f

(Y ) = F

^s

( P

0≤i≤s

(a

i

F

ⁱ

+ F

⁻ⁱ

a

i

)(Y ))

I

G

∞,1

(f ) est un groupe extraspécial de cardinal p

^2s+1

, d’exposant p si p > 2 et du type

Q

8

∗ D

8

∗ ... ∗ D

8

si p = 2.

I Théorème. Si G est extension du type 0 → Z /p Z → G → ( Z /p Z ) ⁿ → 0, il existe f ∈ Xk[X ] avec G ' G _∞,1 (f ).

I Idée:

I

Les groupes extraspéciaux d’exposant p

²

sont obtenus en modifiant le polynôme f du théorème précédent par un cocycle de Witt.

I

Si G est sous-groupe d’un groupe extraspécial E , on réalise E avec f

_E

comme dans le cas

précédent et une modification convenable de f

_E

limite G

∞,1

p- groupes d’automorphismes en caractéristique p > 0

p- groupes d’automorphismes en caractéristique p > 0

C. L EHR 1 M. M ATIGNON 2

MPI Bonn

Laboratoire A2X Bordeaux

Séminaire “Variétés rationnelles”

Mai 2006

Plan

Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

Groupes d’automorphismes des courbes en car.p > 0 Revêtements p -cycliques de la droite affine

Structure de G ∞,1 (f ) Bornes sur |G ∞,1 (f )|

Caractérisation de G ∞,1 (f )

Actions de p-groupes sur une courbe C avec g(C) ≥ 2 Grosses actions (I)

Condition (N) et G 2 Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Courbes maximales

Références

Plan

Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

Groupes d’automorphismes des courbes en car.p > 0 Revêtements p -cycliques de la droite affine

Structure de G ∞,1 (f ) Bornes sur |G ∞,1 (f )|

Caractérisation de G ∞,1 (f )

Actions de p-groupes sur une courbe C avec g(C) ≥ 2 Grosses actions (I)

Condition (N) et G 2 Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Courbes maximales

Références

Plan

Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

Groupes d’automorphismes des courbes en car.p > 0 Revêtements p -cycliques de la droite affine

Structure de G ∞,1 (f ) Bornes sur |G ∞,1 (f )|

Caractérisation de G ∞,1 (f )

Actions de p-groupes sur une courbe C avec g(C) ≥ 2 Grosses actions (I)

Condition (N) et G 2 Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Courbes maximales

Références

Plan

Introduction

Monodromie et groupes d’automorphismes

Groupes d’automorphismes des courbes en car.p > 0 Revêtements p -cycliques de la droite affine

Structure de G ∞,1 (f ) Bornes sur |G ∞,1 (f )|

Caractérisation de G ∞,1 (f )

Actions de p-groupes sur une courbe C avec g(C) ≥ 2 Grosses actions (I)

Condition (N) et G 2 Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Courbes maximales

Références

Monodromie et groupes d’automorphismes

I R un AVD strictement hensélien d’inégales caractéristiques (0, p).

K := FrR ; par exemple K / Q nr p finie.

π une uniformisante.

k := R/πR.

C/K courbe projective lisse, g(C) ≥ 1.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O L . Alors

I Il existe une extension minimale L/K ayant cette propriété, elle est galoisienne: c’est la

monodromie.

I Gal(L/K ) est le groupe de monodromie.

I Son p-sous-groupe de Sylow est le groupe de

monodromie sauvage.

Monodromie et groupes d’automorphismes

I R un AVD strictement hensélien d’inégales caractéristiques (0, p).

K := FrR ; par exemple K / Q nr p finie.

π une uniformisante.

k := R/πR.

C/K courbe projective lisse, g(C) ≥ 1.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O L . Alors

I Il existe une extension minimale L/K ayant cette propriété, elle est galoisienne: c’est la

monodromie.

I Gal(L/K ) est le groupe de monodromie.

I Son p-sous-groupe de Sylow est le groupe de

monodromie sauvage.

Monodromie et groupes d’automorphismes

I R un AVD strictement hensélien d’inégales caractéristiques (0, p).

K := FrR ; par exemple K / Q nr p finie.

π une uniformisante.

k := R/πR.

C/K courbe projective lisse, g(C) ≥ 1.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O L . Alors

I Il existe une extension minimale L/K ayant cette propriété, elle est galoisienne: c’est la

monodromie.

C. L EHR ¹ M. M ATIGNON ²

Structure de G _∞,1 (f ) Bornes sur |G _∞,1 (f )|

Caractérisation de G _∞,1 (f )

Condition (N) et G ₂ Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Structure de G _∞,1 (f ) Bornes sur |G _∞,1 (f )|

Caractérisation de G _∞,1 (f )

Condition (N) et G ₂ Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Structure de G _∞,1 (f ) Bornes sur |G _∞,1 (f )|

Caractérisation de G _∞,1 (f )

Condition (N) et G ₂ Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

Structure de G _∞,1 (f ) Bornes sur |G _∞,1 (f )|

Caractérisation de G _∞,1 (f )

Condition (N) et G ₂ Surfaces de Riemann Corps de classes de rayon Grosses actions (II)

K := FrR ; par exemple K / Q ^nr p finie.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O _L . Alors

K := FrR ; par exemple K / Q ^nr p finie.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O _L . Alors

K := FrR ; par exemple K / Q ^nr p finie.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O _L . Alors

K := FrR ; par exemple K / Q ^nr p finie.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O _L . Alors

K := FrR ; par exemple K / Q ^nr p finie.

I C a potentiellement bonne réduction sur K si il existe L/K (finie) telle que C × K L a un modèle lisse sur O _L . Alors

I Le changement de base C × _K K âlg induit alors un homomorphisme ϕ : Gal(K âlg /K ) → Aut _k C _s où C _s est la fibre spéciale du modèle lisse sur L et L = (K âlg ) ^ker ^ϕ .

I Soit ` un nombre premier, alors n _` := v _` (|Gal(L/K )|) ≤ v _` (|Aut _k C s |)

I Si ` / ∈ {2, p}, alors ` ⁿ

est majoré par l’ordre maximal d’un sous-groupe cyclique de GL 2g ( Z /` Z ) i.e. ` ⁿ

n _p ≤ inf _`6=2,p v _p (|GL 2g ( Z /` Z )|) = a + [a/p] + ... où a = [ _p−1 ^2g ].

Ainsi, on obtient pour |Aut _k C _s | une borne

I Le changement de base C × _K K âlg induit alors un homomorphisme ϕ : Gal(K âlg /K ) → Aut _k C _s où C _s est la fibre spéciale du modèle lisse sur L et L = (K âlg ) ^ker ^ϕ .

I Soit ` un nombre premier, alors n _` := v _` (|Gal(L/K )|) ≤ v _` (|Aut _k C s |)

I Si ` / ∈ {2, p}, alors ` ⁿ

est majoré par l’ordre maximal d’un sous-groupe cyclique de GL 2g ( Z /` Z ) i.e. ` ⁿ

n _p ≤ inf _`6=2,p v _p (|GL 2g ( Z /` Z )|) = a + [a/p] + ... où a = [ _p−1 ^2g ].

Ainsi, on obtient pour |Aut _k C _s | une borne

I Le changement de base C × _K K âlg induit alors un homomorphisme ϕ : Gal(K âlg /K ) → Aut _k C _s où C _s est la fibre spéciale du modèle lisse sur L et L = (K âlg ) ^ker ^ϕ .

I Soit ` un nombre premier, alors n _` := v _` (|Gal(L/K )|) ≤ v _` (|Aut _k C s |)

I Si ` / ∈ {2, p}, alors ` ⁿ

est majoré par l’ordre maximal d’un sous-groupe cyclique de GL 2g ( Z /` Z ) i.e. ` ⁿ

n _p ≤ inf _`6=2,p v _p (|GL 2g ( Z /` Z )|) = a + [a/p] + ... où a = [ _p−1 ^2g ].

Ainsi, on obtient pour |Aut _k C _s | une borne

I Le changement de base C × _K K âlg induit alors un homomorphisme ϕ : Gal(K âlg /K ) → Aut _k C _s où C _s est la fibre spéciale du modèle lisse sur L et L = (K âlg ) ^ker ^ϕ .

I Soit ` un nombre premier, alors n _` := v _` (|Gal(L/K )|) ≤ v _` (|Aut _k C s |)

I Si ` / ∈ {2, p}, alors ` ⁿ

est majoré par l’ordre maximal d’un sous-groupe cyclique de GL 2g ( Z /` Z ) i.e. ` ⁿ

n _p ≤ inf _`6=2,p v _p (|GL 2g ( Z /` Z )|) = a + [a/p] + ... où a = [ _p−1 ^2g ].

Ainsi, on obtient pour |Aut _k C _s | une borne