Dynamique sur le rayon modulaire et fractions continues en caractéristique $p$.

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Preprint submitted on 17 Nov 2005

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Dynamique sur le rayon modulaire et fractions continues en caractéristique p.

Anne Broise, Frédéric Paulin

To cite this version:

Anne Broise, Frédéric Paulin. Dynamique sur le rayon modulaire et fractions continues en caractéris- tiquep.. 2005. �hal-00014043�

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ccsd-00014043, version 1 - 17 Nov 2005

et

frations ontinues en aratéristique

p

^.

Anne Broise Frédéri Paulin

Abstrat

LetKb ^be^theêldôf^formal^Laurent^seriesⁱⁿX⁻¹ôver^the^niteêldk^,

and letA^be^the^ringôfpolynomialsinX ôverk^.Ôneôf^the^main^results

of the paperis to give a partiularlynie oding of the geodesi owon

thequotientoftheBruhat-TitstreeT^ofPGL₂(K)b ^byPGL₂(A)^,^by^using

the ontinuedfrationexpansionofthe endpointsofthe geodesilinesin

T^(the^spaeôfêndsôfTîdenties^withP₁(K)b ^).^Thisâllowsⁱⁿ^partiular

to prove in a dynamial way the invarianeof the Haar measure by the

Artin map.

1

1 Introdution

Soit Kb = F_q((X⁻¹)) ^le ^orps ^loal ^des ^séries ^formelles ^de ^Laurent ^en X⁻¹ ^à

oeients dans le orps ni F_q^, ^et O = F_q[[X⁻¹]] ^le sous-anneau de Kb ^des ^séries

formelles entières. On onsidère le groupe loalement ompat G = PGL(2,K)b ^,

et son réseau non uniforme Γ = PGL(2,F_q[X])^. ^Le ^groupe G ^agit ^sur ^son ^arbre

(loalement ni) de Bruhat-Tits T_q^. ^L'espae ^des ^bouts ^de T_q ^s'identie ^ave ^la

droiteprojetiveP₁(K)b ^,êtôn^notex∗ ^le^point^base^standard^deT_q ^(voir^parêxemple

[Ser2℄ oula partie 2pour des rappels).

L'un des buts prinipauxde et artile,qui faitsuite à [Pau ℄, est d'expliiter en

termesarithmétiqueslastrutureergodiquedesationsommutantesdeΓ^et^du ^ot

géodésique (ationde Z^par translation àla soure)sur l'espae des géodésiques de

T_q ^(i.e. ^des ^isométries ℓ:R→T_q ^d'origineℓ(0)^un ^sommet ^de T_q^).

Nous dérivons (dans la partie 3.3) la struture de l'ensemble des géodésiques

de T_q ^modulo ^l'ation ^de Γ^. ^Notons π :T_q →Γ\T_q ^la ^projetion ^anonique. ^Alors,

l'ensembleπ⁻¹(π(x∗)) ^est ^une ^setionΓ-équivarianteglobale pour leot géodésique (touteorbite larenontre uneinnitéde fois).De plus,toute géodésique de T_q^,^d'o-

rigine dans la setion globale π⁻¹(π(x∗))^, ^est équivalente, modulo l'ation d'un élé- 1

AMS odes :11J70,20G25,20E08,37A45,11K50.Keywords:ontinuedfrations,

Artin map,Laurentserieseld,Bruhat-Titstree,geodesiow,oding.

(3)

mentde Γ^,^à^une^unique ^géodésiqueℓ ^d'originex_∗^,d'extrémité négativeun pointde

J = [

a∈F

q[X]−F

q

(a+X⁻¹O)^etd'extrémitépositiveunpointdeX⁻¹O^.^Une^manière^de

rendreetélémentde Γ^unique^estd'introduiredesdéorations sur lesgéodésiques (voirla partie3).

Notons G₀^′(Tq) ^l'ensemble ^des ^telles géodésiques ℓ^, ^identiées ^à ^leurs ^ouples

d'extrémités (ξ−, ξ+)^, ^ave ^de ^plus ξ+^, ξ− irrationnelles (i.e. dans P₁(K)b −P₁(K)^).

Soit Ψ :e G₀^′(T_q) → G₀^′(T_q) l'appliation induite par l'appliation de premier retour du ot géodésique sur lasetionglobaleπ⁻¹(π(x∗))^(voir^la^partie^3.3). ^Pour ℓ ^dans G₀^′(Tq)^, ^notons(an)n≥1 ^ledéveloppement en frationsontinues d'Artin [Art ℄de ξ+^,

et (a−n)n≥0 ^elui ^de −1 ξ−

(voir lapartie 2.1pour des rappels).

Nousmontrons dans lapartie 3 lerésultat suivant :

Théorème 1.1 L'appliation Θ^′ : G₀^′(Tq) → (Fq[X]−F_q)^Z^, ^dénie ^par Θ^′(ℓ) = (a_n)_n∈^Z^, ^est ^un homéomorphismequi rend le diagramme suivant ommutatif

G₀^′(Tq) ^Θ

′

−→ (Fq[X]−F_q)^Z

Ψe ↓ ↓σ

G₀^′(Tq) ^Θ

′

−→ (Fq[X]−F_q)^Z ,

où σ ^est ^le ^déalage ^à ^gauhe ^des ^suites ^bilatères ^de (Fq[X] − F_q)^Z^. ^De ^plus, ^le

diagramme suivant ommute

G₀^′(Tq) −→^Ψ^e G₀^′(Tq)

p+ ↓ ↓p+

X⁻¹O ∩(Kb −K) −→^Ψ X⁻¹O ∩(Kb −K) ,

où Ψ : ξ 7→ ¹_ξ −h

1 ξ

i

est l'appliation d'Artin (si ζ ^est ^dans Kb^, ^alors [ζ] ^désigne ^sa

partie entière), et p+: (ξ−, ξ+)7→ξ+ ^est ^la ^projetion ^sur ^la ^deuxième ^oordonnée.

Notons m ^la ^mesure ^de probabilité qui est la restrition à G₀^′(Tq) ^de ^la ^mesure

naturelle invariante par le ot géodésique. La mesure m ^oïnide ^ave ^la ^mesure

de Haar quotient sur Γ\G/M ^pour M ^le sous-groupe des matries diagonales à oeients dansO^∗^,êt, ^de ^manière^lassique,âve ^la^mesure^de Patterson-Sullivan- Bowen-Margulisde Γ ^(voir ^par êxemple ^[Bou,^{BM ℄} êt ^la^partie ^4).

Nous montrons dans la partie 4 que l'image de m ^par Θ^′ ^est ^une ^mesure ^de

Bernoulli sur (Fq[X] − F_q)^Z^. ^Cei împlique ên ^partiulier ^que ^si S êst ^le ^sous-

groupe diagonal de G^, ^alors ^l'ation ^à ^droite ^de S/M ^sur Γ\G/M ^est ^Bernoulli

(don mélangeante, e qui était déjà onnu, voir par exemple [BN℄). Dans un ar-

tile en préparation [BP ℄, nous étudierons le as général des réseaux des groupes

algébriquessemi-simplesde rang1^sur^un ^orps^loal^non arhimédien. Enfait,nous donnerons des odages markoviens de ots géodésiques sur des arbres munis d'a-

tions très générales de groupes. Ces odagespermettent de ontourner l'abondane

de torsion dans les réseaux non-uniformes d'arbres, dont on ne peut se débarrasser

par passage à un sous-grouped'indie ni.

(4)

Nousmontrons danslapartie5que l'imagede m ^par ^la^deuxième^projetion ^est

la mesure de Haar sur X⁻¹O^. ^Cei ^explique ^de ^manière ^dynamique l'invariane de ette mesure de Haar par latransformation d'Artin.

Ces résultats sont analogues aux résultats qui relient le ot géodésique sur la

ourbe modulaire PSL(2,Z)\H² ^ave ^le développement en frations ontinues des nombres réels (et qui expliquent, en partiulier, l'invarianede lamesure de Gauss

1 log 2

dx

1+x ^par ^latransformation de Gauss x7→ ¹_x −[_x¹]⁾ ^(voir ^par ^exemple ^[Seri℄).

Cetartilefaitsuiteà[Pau ℄,oùunepartiedel'analogieayanttraitauxgéodésiques

individuelles,est développée.Maisleodageglobaldu otgéodésiquen'estpas on-

tenu(mêmepasentreleslignes)dans[Pau ℄,aruneapproheglobalesuivantdetrop

près[Pau ℄onduitàdesdisontinuités.LapréseneduorpsrésiduelF_q^,^absent^dans

le as réel, est une des soures de problèmes.C'est, entre autre, letravail de natu-

ralité du présent artile,en partiulierà partirde lanotion de géodésique déorée,

qui permet le odage global. Il ne s'agit pas de onstruire n'importe quel odage,

maisun quisoitintimementliéàlastruturearithmétiquedu réseauPGL(2,F_q[X])

(elui-i n'est pas de type ni et ontient des sous-groupes inni de torsion), etqui

permette une orrespondane entre propriétés dynamiques etarithmétiques.

2 Notations et rappels

Toute ette partie est omposé de rappels, pour lesquels nous renvoyons par

exemple à [Ser1, Spr , Sh , Laj, BN, Ser2, Pau ℄. Elle n'est érite que pour éviter au

leteur qui ne onnaîtrait pas lesnotations et résultats de [Ser1, Pau ℄ d'avoir à lire

leprésent artile en ayant àté es deux référenes. Lesautresleteurspeuventse

reporter diretement au hapitre3.

2.1 Le orps des séries formelles de Laurent

Soitk =F_qûnôrps^ni,^d'ordreq^(oùqêstûne^puissane^d'un^nombre^premier).

On note A =k[X] ^l'anneau ^des ^polynmes ên ûne ^variable X ^sur k^, êt K = k(X)

le orps des frationsrationnelles en X ^sur k^.^Soit Kb =k((X⁻¹))^le ^omplété ^de K

pour lavaluationv∞ ^dénie ^par

v_∞(P/Q) = (−degP)−(−degQ).

LeorpsKb ^est ^muni^de ^l'unique^valuation^qui^étendv∞ ^(que^l'on^notera^de ^la^même

manière), de lavaleur absolue

|f|_∞=q^−v^∞^(f)

et de la distane ultramétrique déniepar ette valeur absolue

d∞(f, g) =|f−g|_∞.

(5)

Tout élément de Kb ^s'érit ^de ^manière ûnique ômme^série ônvergente

f = X

i>>−∞

fiX⁻ⁱ

ave fi ^dans k^, ^nul ^pour i ^susamment ^petit. ^On ^a

v_∞(f) = sup{j ∈Z| ∀i < j, f_i = 0}.

On note O ={f ∈K, vb ∞(f)≥0} ^l'anneau ^de ^la^valuationv∞ ^dans Kb^. ^C'est ^le

sous-espae ompat-ouvert k[[X⁻¹]] ^des ^séries êntières ên X⁻¹ ^sur k^, ^'est âussi ^la

boule fermée de rayon1 ^et^de ^entre 0 ^dans Kb^.

Pour tout f ^dans Kb^, îl êxiste ûn ûnique ôuple ^formé ^d'un ^polynme ên X ^sur k^, ^noté [f] ∈ A^, êt ^d'une ^série êntière ên X⁻¹ ^sur k^, ^de ^terme ônstant ^nul, ^notée {f} ∈X⁻¹O^, ^tels ^que

f = [f] +{f}.

On appelle [f] ^la ^partie ^entière ^de f ^et {f} =f −[f] ^la ^partie frationnaire de f^.

L'appliation d'Artin est l'appliation Ψ :X⁻¹O − {0} →X⁻¹O ^dénie ^par Ψ(f) = {1

f}= 1 f −[1

f].

On note

cK ^l'ensembleKb −K ^des ^points irrationnelsde Kb^. ^Pour f ^dans^cK^,^on

pose a₀ = [f] ^et^pour n≥1 ^entier, an =

1

Ψⁿ⁻¹(f−a0)

.

Alors an êst ^dans A^. ^Sin≥1^, ^le^degré ^de an êst ^stritement ^positif êt

f = lim

n→+∞a0 + 1

a1+ 1

·

an−1+_a¹

n

.

Pour f ^dans X⁻¹O ∩ ^cK^, ôn â a0 = 0 êt ôn âppelle développement en frations ontinues d'Artin de f ^la ^suite (an)n≥1^.

2.2 L'arbre de Bruhat-Tits

NotonsG^le^groupe^loalementômpatPGL(2,K)b ^.Ônâppelle^groupe^modulaire

lesous-groupedisret PGL(2, A)^de G^,êt ôn^le ^noteΓ^. ^Dans^toute^la^suite, ôn^note

de lamême manièreune matrie de GL(2,K)b ^et ^son ^image ^dans G^.

(6)

On rappelle que pour tout orps ommutatif κ^, ^l'ation ^par homographies du groupe PGL(2, κ) ^sur ^la ^droite ^projetive P₁(κ) ^est ^simplement ^transitive ^sur ^les

tripletsde pointsde P₁(κ)^.^Commel'appliationnaturellePGL(2, A)→PGL(2, K)

est une bijetion, le groupe Γ ^agit ^simplement transitivement sur les triplets de pointsde P₁(K)^.

On note GL(2,K)b 1 ^le^groupe ^des ^matries ârrées^de ^taille2 ^à ôeients ^dans Kb^, ^dont ^la ^valeur âbsolue ^du déterminant est égale à 1^, êt G1 = PGL(2,K)b 1 ^le

quotientparson entre. Commelesélémentsinversiblesde A^sont^de ^valeur^absolue

égale à 1^,^le ^groupe Γ ^est ^ontenu^dans G1^.

L'arbre de Bruhat-Tits T_q ^de (SL2,K)b ^est ^le ^graphe^déni ^par

1. lessommetsdeT_q^sont^les^lassesd'homothétie(parKb^×⁾Λ = [L]^deO^-réseaux

(i.e. O-sous-modules libres de rang deux) L^dans Kb ×Kb^;

2. deux sommetsΛ,Λ^′ ^sont ^joints^par ûne ârête ^siêt^seulement^s'ilêxiste ^des ^re-

présentantsL, L^′ ^deΛ,Λ^′ ^tels ^queL^′ ⊂L êtL/L^′ êst îsomorphe^àO/X⁻¹O= k^.

On note VT_q ^l'ensemble ^des ^sommets ^de T_q ^et ETq ^l'ensemble ^de ^ses ^arêtes.

On note d ^la ^distane ^dans T_q ^et x∗ = [O × O] ^la ^lasse ^du ^réseau ^standard. ^Le

graphe T_q êst ûn ârbre ^régulier ^de ^degré q+ 1^. ^L'ation ^naturelle ^de GL(2,K)b ^sur

lesO^-réseaux înduitûne âtion^de G^sans înversion^sur T_q^, ^transitive^sur ^lesârêtes.

Le stabilisateur de x∗ ^est ^le ^groupe PGL(2,O)^.

Onidentiedans lasuitel'arbreT_q ^ave ^saréalisationgéométrique.Onnote∂Tq

l'espaedesboutsde l'espaetopologiqueloalementompatT_q^.^C'est^l'espae^des

lasses d'équivalene de rayons géodésiques dans T_q^, ^où ^l'on ^identie ^deux ^rayons

géodésiques si leur intersetion est enore un rayon géodésique. L'ation de G ^sur T_q ^s'étend ontinuement en une ationpar homéomorphismesde G^sur ∂T_q^.

L'espae ∂Tq ^s'identie, ^de ^manière G-équivariante, ave la droite projetive

P(Kb ×Kb) =P₁(K)b ^, ^par l'appliation qui, àl'extrémité d'un rayon géodésique issu de Λ0 = x∗^, ^de ^suite ^des ^sommets ^onséutifs (Λn)n∈N^, ^assoie ^l'unique ^droite ^de

Kb ×Kb ôntenant l'intersetion des O^-réseaux L_n^, âve (L_n)_n∈^N ^l'unique ^suite ^de O^-réseaux ^dans Kb ×Kb ^telle ^que [Ln] = Λn êt Ln+1 ⊂Ln^.

Enhoisissant ladroite Kb × {0} ^de Kb ×Kb ^omme^point ^à^l'inni ^de P₁(K)b ^,^on

identie ∂Tq =P₁(Kb)^ave Kb∪ {∞}^.^L'ation ^de G ^sur ∂Tq =P₁(Kb)^orrespond ^à

l'ation de G ^par homographiessur Kb ∪ {∞}^.

Onnoteπ :T_q →Γ\Tq ^la^projetion^anonique^etΓ∞^le^xateur^dansΓ^du^point

∞ ^de ∂T_q^. ^Le ^rayon ^géodésique D_Γ ^issu ^de x_∗ ^et d'extrémité ∞^, ^don ^de ^suite ^des

sommets onséutifs ([O ×X⁻ⁿO])n∈N^, êst ûn ^domaine fondamental pour l'ation du groupe modulaireΓ ^sur ^l'arbre ^de Bruhat-Tits T_q^, âu ^sens ôù^ses îmages ^par Γ

reouvrent T_q^. ^La ^restrition π|D_Γ ^est ^un isomorphisme simpliialde DΓ ^sur Γ\Tq^.

Le graphe Γ\Tq ^hérite ^par π ^d'une ^struture ^de ^graphe ^de ^groupes, ^que ^l'on ^note Γ\\Tq^, êt ^que ^l'on âppelle ^le ^rayon ^modulairê ^(voir ^[Ser2℄ ^pour ^les ^dénitions êt ^la

onstrution).

Voir par exemple [Ser2℄pour des justiations et ompléments.

(7)

2.3 La famille

Γ

-équivariante maximale d'horoboules d'in- térieurs disjoints.

Pour tout ξ ^de ∂T_q^, ^on ^appelle ^fontion ^de ^Buseman ^de T_q l'appliation β_ξ : T_q×T_q →R^dénie ^par

βξ(x, y) = lim

t→+∞d(y, c(t))−d(x, c(t))

où c: [0,+∞[→ T_q êst ûn ^rayon ^géodésique ônvergeant ^vers ξ^. ^La ^fontion βξ ^ne

dépend pas du hoix de c^,êst învariante^par îsométries ^:

∀γ ∈G, βγξ(γx, γy) =βξ(x, y),

et vérie la relationde oyle :

βξ(x, y) +βξ(y, z) = βξ(x, z).

En fait, l'appliation t 7→ d(y, c(t))−d(x, c(t)) êst ônstante ^à ^partir ^d'un êrtain

temps. Le rayon géodésique [x, ξ[ ^renontre ^le ^rayon ^géodésique [y, ξ[ ^en ^un ^rayon

géodésique [w, ξ[^et βξ(x, y) = d(y, w)−d(w, x)^.

On appelle horosphère entrée en ξ ∈ ∂Tq ^et ^passant ^par x∈ T_q ^l'ensemble^des

pointsy^de T_q ^tels^queβξ(x, y) = 0^.^Son^horoboule^assoiée^est ^l'ensemble^des^points y ^de T_q ^tels ^queβξ(x, y)≤0^.

∞

γ∞

0 H₀

H₁

H_γ∞

X⁻¹O

x_∗ H∞

1

J =

v∗

[

a∈A−k

a+X⁻¹O

Figure 1 :Trajet des géodésiques dans la familled'horoboules HB^.

On note H∞ l'horosphère entrée en ∞ ^de ∂Tq ^et ^passant ^par x∗^, ^et HB∞ ^son

horoboule assoiée. C'est l'orbite du rayon fondamental DΓ ^par ^le ^xateur Γ∞ ^du

point∞ ^(de ∂Tq⁾^dans ^le ^groupe ^modulaireΓ^.^Pour ^tout γ ^dans Γ^,ôn^note Hγ∞= γH_∞^,^'estl'horosphèreentréeenγ∞êt^passant^parγx_∗^,êtôn^noteHB_γ∞ =γHB_∞

son horoboule assoiée. Il est failede voir que la familleHB = (HBγ∞)γ∈Γ/Γ∞ ^est

(8)

la familledes adhérenes des omposantes onnexes de la préimage par π ^du ^rayon Γ\Tq^privé^de^son^origine.^Les^horoboules^de^ette^famille^se^renontrent^deux^à^deux

en auplus un point(surl'intersetiondes horosphèresassoiées),etleurréunionest

égale à T_q^.

Notons H ^la^familled'horosphères (Hγ∞)γ∈Γ/Γ∞^. ^(V^oir ^par ^exemple ^[Pau, ^Pau2℄

pour des justiations et ompléments.)

3 Codage du ot géodésique sur le rayon modulaire

3.1 L'espae des géodésiques déorées sur le rayon modulaire

Appelons géodésique déorée de T_q ûne ^géodésique ℓ ^de T_q ^(i.e. ûne îsométrie ℓ : R → T_q^), ^dont ^l'origine x0 = x0(ℓ) = ℓ(0) êst ^sur ^l'une ^des horosphères de la familleH ^(i.e. êst ûn ^point ^de π⁻¹(π(x∗)) ^),êt ^quiêst ^munie ^d'uneârête v0 =v0(ℓ)

issue de x0 ^non ^ontenue ^dans ℓ^, ^appelée ^déoration. ^Remarquons ^que ^pour q = 2^,

la déoration est unique.

Lagéodésiquedéorée standardℓ∗ êst^la^géodésiqued'extrémités ∞êt0^,ôrientée

de ∞^vers 0^, ^d'originex∗ ^et ^déorée ^par ^l'arête v∗ ^qui ^pointe ^vers ^1.

Notons G0(Tq) ^l'ensemble ^des géodésiques déorées totalement irrationnelles de

T_q^,'est-à-dire elles quiont leursdeux extrémitésdans ∂T_q−P₁(K) = ^cK^.^Atten-

tion, ℓ∗ ^est ^une ^géodésique ^déorée ^qui ^n'est ^pas ^dans G0(Tq)^.

L'ensemble G0(Tq) êst ^muni ^de ^la ^topologie ^dénie ^par ^le ^système fondamental d'entourages {Vn}n∈N^,ôù Vn êst ^l'ensemble ^des ôuples^de géodésiques déorées qui oïnident entre les instants −n êtn êt^qui ônt ^même^déoration.

Lemme 3.1 Le groupe Γ ^agit ^librement ^et ^proprement ^sur G0(T_q)^.

Preuve.LegroupeΓ^préserve ^la^familleHêtP₁(K)^don îl^préserve ^cK^.Îlâgit^sur G₀(T_q) ^: ^l'image ^par ûn ^élément γ ^de Γ ^d'une ^géodésique ℓ ^de ^déoration v₀ êst ^la

géodésiqueγℓ^de ^déorationγv0^.^CommeΓâgit^proprement^surT_q^,^l'ation^de Γ^sur G0(Tq)êst^propre.^Cetteâtionêstâussi^libre,âr Gâgit^simplementtransitivement sur lestripletsdepointsde∂T_q^,êt^siûn ^élémentγ ^deΓ^xeûne^géodésique^déorée,

d'extrémités (distintes) ξ−, ξ+ êt ^de ^déoration v0^, âlors êlle ^xe âussi ^le ^point ^à

l'inni ξ0 ^de l'horoboulede lafamilleHB ^qui ôntient v0^, êtξ0 êst ^distint^de ξ− êt

de ξ₊^.

Notons G0(Γ\\T_q) ^le^quotientΓ\G0(T_q)^.

Pour ℓ ûne ^géodésique ^de T_q^, ôn ^note ξ₋ = ξ₋(ℓ) êt ξ₊ = ξ₊(ℓ) ^ses êxtrémités

négative et positive. On munit ∂Tq ^de ^la ^topologie ^dénie ^par d∞^, VT_q ^et ETq ^de

la topologie disrète et ∂Tq × ∂Tq × VT_q × ETq ^de ^la ^topologie ^produit. ^L'ap-

pliation qui à un élément ℓ ^de G0(Tq) ^assoie ^le ^quadruplet (ξ−, ξ+, x0, v0) ^de

∂Tq×∂Tq×VT_q×ETq êst âlorsûn homéomorphismede G0(Tq) ^sur^son îmage,^qui

est un borélienB^.^Nousappelleronsetteappliationleparamétrage de l'espaedes géodésiquesdéorées totalementirrationnellesde T_q^.^Par^la^suite,^nous identierons une géodésiquedéorée ℓ ^et^son ^quadruplet (ξ−, ξ+, x0, v0)^.^L'ation ^de Γ^sur G0(Tq)