2019-2021 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 2 « partiel » CORRIGE page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne – Département Techniques de Communication
M. Ferraris Promotion 2019-2021 09/12/2020
MATHEMATIQUES – Semestre 3, DEVOIR 2 durée : 2 h – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : échantillonnage (5 points)
Assu-Fizan, petite compagnie d’assurance, souhaite établir son budget prévisionnel de remboursement de sinistres de type S pour l’année à venir. Elle compte 400 clients (foyers) à son actif.
Les données globales auxquelles elle a accès sont les suivantes : l’année dernière, 0,5% des foyers Français ont subi un sinistre de type S à la suite duquel ils ont touché une indemnité moyenne de 2000 €.
P est la variable aléatoire associée à la proportion de clients de la compagnie Assu-Fizan qui subiront un sinistre de type S l’an prochain.
1) a. Donner la loi qui distribue la variable P. 1 pt
L’ensemble des clients de la compagnie est un échantillon aléatoire EAS (un foyer peut avoir plus d’un sinistre S dans l’année à venir) des foyers Français, pour lesquels la proportion de sinistres S est π = 0,005.
La variable P est donc distribuée par la loi
( )
, 1
n
π − π
π
N
=N (
0,005 0,003527,)
.b. Quelle est la probabilité que plus de 1% de ses clients soient à indemniser l’an prochain ? 1,5 pt p(P > 0,01) = 0,07813
Casio : NormCd(0.01,1000,0.003527,0.005) TI : NormalFRep(0.01,1000,0.005,0.003527)
2) a. Quelle est la proportion de clients à indemniser qui n’a que 2% de risque d’être dépassée ? 2 pts
* Réponse utilisant la table de la loi
N
(0 ; 1) :La valeur de U qui n’a que 2% de risque d’être dépassée est 2,055.
Or P
U µ
σ
= − , donc la valeur de P est : 0,005 + 2,055×0,003527 = 0,01225.
Il y a 98% de chances que moins de 1,225% des clients soient à indemniser l’année prochaine.
* Réponse utilisant directement la calculatrice :
Casio : InvNorm(0.98,0.003527,0.005) TI : FracNormale(0.98,0.005,0.003527) p(P < 1,224) = 98%
* Réponse utilisant une fonction :
Casio : Y1=NormCd(X,1000,0.003527,0.005) TI : Y1=NormalFRep(X,1000,0.005,0.003527) Variable X de la fonction : début = 0,01, pas = 0,00001
On constate que la probabilité calculée par la fonction devient inférieure à 0,02 lorsque X vaut au moins 0,01225 = 1,225%
b. Si on considère cette dernière valeur comme un maximum plausible, quel budget doit prévoir la
compagnie d’assurance pour les indemnisations à reverser ? 0,5 pt
1,225%×400 = 4,9. Il faut prévoir d’indemniser 5 clients au maximum, soit 10 000 €.
2019-2021 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 2 « partiel » CORRIGE page 2 sur 3 Exercice 2 : (6 points)
L’institut Médiamétrie a pour mission d’estimer l’audience télévisuelle du public en France.
Un soir donné, sur un échantillon de 2000 foyers Français, deux informations indépendantes sont
recueillies : (a) : 360 foyers ont regardé France 2 ; (b) : les 2000 foyers ont regardé la télévision en moyenne pendant 2 heures, avec un écart type de 30 minutes (donc : 0,5 heure).
1) Traitement de l’information (a)
a. Déterminer l’intervalle de confiance à 99% de la proportion de foyers qui ont regardé France 2 ce soir-là.
2 pts La proportion de foyers relevée dans l’échantillon est : p = 360 / 2000 = 0,18.
L’intervalle de confiance à 99% est donc (u = 2,58) :
( ) ( )
[ ]
1 1 0,18 0,82 0,18 0,82
; 0,18 2,58 ; 0,18 2,58
2000 2000
0,158 ; 0,202
p p p p
I p u p u
n n
α
− − × ×
= − + = − × − ×
=
b. Quelle est la probabilité que moins de 15,8% des foyers Français aient regardé France 2 ? 0,5 pt 0,5% (probabilité que π soit en-deçà de l’intervalle).
2) Traitement de l’information (b)
a. Déterminer l’intervalle de confiance à 95% de la durée moyenne passée par les foyers Français devant la
télévision ce soir-là. 2 pts
L’écart type de la population étant inconnu, on emploiera la formule suivante :
;
1 1
s s
I x t x t
n n
α
= − − + − . où t = 1,96 (table de Student, 1 – p = 0,05, ddl : 1999, soit la ligne « ∞ »).
L’intervalle de confiance à 95% est donc : 2 1,96 0,5 ; 2 1,96 0,5
[
1,978 ; 2,022]
1999 1999
α
= − + =
I
b. Pour quelle taille d’échantillon obtiendrait-on un intervalle d’amplitude 0,1 ? (on considérera que l’écart type de la population est connu et vaut celui de l’échantillon cité au début de l’énoncé). 1,5 pt
1,96 0,5
0,05 19,6 384,16
u n 0,05 n
n
σ = ⇔ = × = ⇔ = . Il faut un échantillon de 384 personnes.
2019-2021 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 2 « partiel » CORRIGE page 3 sur 3 Exercice 3 : (9 points)
L’usine Salade-Minute est spécialisée dans le conditionnement de salades en sachets. Chaque jour, cette entreprise réceptionne sur ses quais des lots d’un grand nombre de salades. Le cahier des charges précise que les lots doivent être livrés à une température de 3 degrés Celsius. L’ouvrier chargé de vérifier si un lot est conforme a prélevé un échantillon aléatoire simple de 50 salades, mesuré leur température et consigné les résultats dans le tableau suivant :
température (°C) 2,9 3 3,1 3,2 3,3
nombre de salades 5 19 18 5 3
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1) Tester, au seuil de 1%, l’hypothèse selon laquelle la température moyenne du lot est inférieure ou égale à 3
degrés Celsius. 4 pts
Hypothèse nulle : H0 : µ = 3 ; hypothèse alternative : H1 : µ > 3 (test unilatéral) Choix de la statistique :
L’écart type de la population est inconnu, on emploiera donc une loi de Student.
L’échantillon a montré un écart type s = 0,09962
Sous H0, X est donc distribuée par la loi
St
(3 ; 0,09962/√49) =St
(3 ; 0,01407).Règle de décision :
La valeur tlim au-delà de laquelle on rejettera H0 est 2,405 (49 ddl, 1 – p = 0,02).
La valeur tobs correspondant à la moyenne 3,064°C relevée sur l’échantillon est : tobs = 3,064 3
4,547 0,01407− ≈ Décision :
Puisque tobs > tlim, on rejette, au seuil de 1%, l’affirmation selon laquelle la température moyenne du lot est inférieure ou égale à 3°C (en d’autres termes : on affirme, avec 1% de risque de se tromper, que la température moyenne de ce lot est supérieure à 3°C).
2) a. Appliquer un test du Khi-2 pour déterminer si la distribution des températures obtenue dans cet échantillon est conforme à la distribution de fréquences théoriques ci-dessous : 4 pts
température (°C) 2,9 3 3,1 3,2 3,3
fréquence théorique de salades 20% 40% 20% 10% 10%
Plaçons dans un même tableau les observations an face des valeurs théoriques (calculées d’après les fréquences théoriques pour un total de 50), et calculons les Khi2 partiels ainsi que leur somme, Khi2calc :
obs 5 19 18 5 3
th 10 20 10 5 5
khi²part 2,5 0,05 6,4 0 0,8
H0 : Les températures observées sont compatibles avec la répartition théorique proposée.
Khi2calc = 9,75
Dans la table du Khi2, pour 4 ddl, on voit que 9,75 se situe entre les Khi2 limites des seuils de risque 5% et 2%. Ainsi, on peut rejeter au seuil de 5% l’adéquation entre les observations et la distribution théorique attendue, mais pas au seuil de 2%.
b. Que signifie la notion de seuil de risque ? 1 pt
Le seuil de risque est le risque maximal acceptable de se tromper si l’on décide de rejeter H0. Ici, si H0 était vraie, on aurait eu seulement entre 2% et 5% de chances d’obtenir un tel échantillon.
__________ FIN DU SUJET __________
