IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2018-2020 12/2019 1 Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

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IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2018-2020 12/2019

1

Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.

Tout sera rédigé sur le présent feuillet.

Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.

Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.

Exercice 1 : (3 points)

Une étude faite sur la population Française a révélé que 30% des individus font des achats sur Internet au moins une fois par mois (événement « AI »). On envisage d’interroger au hasard 50 personnes. Sur les échantillons possibles de 50 individus, la proportion d’individus « AI » est une variable aléatoire P.

1) Donner (justifier) la loi de probabilité de P. 1,5 pt

2) Quelle est la probabilité que P dépasse 35% ? 0,5 pt

3) Quelle est la probabilité que dans l’échantillon on trouve moins de 15 personnes « AI » ? 1 pt

NOM, Prénom : Groupe :

(2)

Exercice 2 : (2,5 points)

Dans une entreprise, il y a 280 salariés. Leur salaire moyen est 1825 €, avec un écart type de 422 €.

On forme un groupe de 50 salariés, choisis au hasard (échantillonnage exhaustif) parmi les 280.

Quelle est la probabilité que le salaire moyen de ce groupe dépasse 1900 € ?

Exercice 3 : (5,5 points)

Le directeur d’un magasin de grande distribution souhaite connaître le temps d’attente de ses clients aux caisses. Ce temps est variable et aléatoire, on le notera X. Comme la mesure de tous les temps d’attente de tous les clients est impossible, il décide de les mesurer précisément pour un échantillon de 12 clients, ce qui a donné les résultats suivants, en minutes : 0, 2, 2, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 13.

1) a. Donner le temps moyen et son écart type, dans cet échantillon. 0,5 pt

b. Donner alors un intervalle, à 95% de confiance, estimant le temps moyen d’attente de l’ensemble de

ses clients. 1 pt

(3)

c. Quelle est la probabilité que le temps d’attente moyen d’un client du magasin dépasse 7 minutes et

demie ? 0,5 pt

2) a. Dans l’échantillon de 12 valeurs donné en énoncé, quelle est la proportion de temps d’attente

supérieurs à 7 minutes et demie ? 0,5 pt

b. Donner alors un intervalle, à 95% de confiance, estimant la proportion de clients du magasin qui

attendent plus de 7 minutes et demie. 1 pt

c. Donner un exemple d’interprétation concrète du résultat précédent. 0,5 pt

d. Au lieu de 12, combien de temps d’attente de clients aurait-il fallu mesurer pour que l’intervalle de confiance de cette proportion ait une amplitude de 0,2 ? (on fera l’hypothèse que, dans tout nouvel échantillon, on trouvera une proportion égale à celle trouvée en question 2a) 1,5 pt

(4)

Dans un magasin, le nombre d’articles achetés par chaque client est variable. On fait l’hypothèse que cette variable est distribuée suivant une loi de Poisson de paramètre 4.

1) Justifier que, sur un total de 100 clients, on s’attend en théorie (d’après l’hypothèse faite) à la répartition suivante des clients en fonction du nombre d’articles achetés : 1 pt

nb articles achetés / 1 client 0 1 2 3 4 5 6 7 8 > 8 nb clients théorique 1,8 7,3 14,7 19,5 19,5 15,6 10,4 6 3 2,2 100

2) La liste des achats de 100 clients réels, une fois analysée, a donné les observations suivantes : nb articles achetés / 1 client 0 1 2 3 4 5 6 7 8 > 8

nb clients observé 5 12 10 25 16 18 8 5 1 0 100

a. Tester, au seuil de 2%, l’hypothèse que le nombre d’articles achetés par chaque client est distribué

suivant une loi de Poisson de paramètre 4. 3 pts

(5)

b. Commenter le résultat : d’après la table du Khi-deux, à quel seuil peut-on rejeter l’hypothèse ? Que

signifie concrètement ce « seuil » ? 1 pt

Un fabricant de caisses enregistreuses déclare que "plus de 90 % des caisses neuves ne subissent aucune défaillance pendant les 900 premières heures d'utilisation". Sa production se fait en très grand nombre.

Un hypermarché lui a commandé et a utilisé 25 caisses enregistreuses de ce même modèle ; après 900 heures de service, 4 caisses ont connu au moins une défaillance.

A partir des résultats obtenus dans cet échantillon de 25 caisses, construire un test de conformité disant si on peut rejeter ou non la déclaration du fournisseur, au seuil de risque de 5 %.

____________________ FIN DU SUJET ____________________

(6)

IUT TC Formulaire du Semestre 3 MATHEMATIQUES

Lois de probabilités

Loi hypergéométrique

H

_{(n, a, N)}

n : nombre de tirages ; a : nombre d’individus « succès » ; N : taille de la population k : nombre de succès souhaités parmi les n tirages

approximation hypergéom. par binomiale : si N ≥ 20n ; on a p = a/N Loi binomiale

B

(n, p) n : nombre de tirages p, q : probabilité de succès, d’échec

approximation binomiale par Poisson : si n ≥ 30 et p < 0,1 et np < 10 ; on a λ^{= np} Loi de Poisson

P

(λ⁾

Approximation de

B

(n, p) par

N

₍_µ_,_σ) : si n ≥ 30, np ≥ 5, nq ≥ 5 ; on posera µ^{= np et}σ⁼ ^npq Approximation de

P

₍_λ_{) par}

N

₍_µ_,_σ_{) : si}_λ_≥ 20 ; on posera µ⁼λ^etσ⁼

λ

schéma récapitulatif :

H

(n, a, N)

B

(n, p) si N > 20n

si n ≥ 30 si n ≥ 30 si np ≥ 5 si p < 0,1 si nq ≥ 5 si np < 10

avec λ = np

P

(λ)

N

(µ^,σ) avec µ^{= np et}σ⁼ npq si λ≥ 20 avec µ⁼λ^etσ⁼

λ

Echantillonnage

Distribution d’échantillonnage des moyennes

Soit une population de grande taille N sur laquelle on étudie une variable X de moyenne µ et d’écart type σ^. On imagine tous les échantillons de taille n > 30.

La loi de X est , n µ σ

 

 

 

N

en EAS (ou si N ≥ 20n), ou , N N 1

n n

µ σ

 − 

 

 − 

 

N

dans le cas contraire.

Distribution d’échantillonnage des proportions

Soit une population de grande taille N sur laquelle on étudie une caractéristique dont la proportion relevée est π. On imagine tous les échantillons de taille n > 30.

La loi de P est _,

(

¹

)

n

π π

π − 

 

 

N

en EAS (ou si N ≥ 20n), ou _,

(

¹

)

1 N n

n N

π π

π − − 

 

 − 

 

N

dans le cas

contraire.

( )

p X =k =C^k_np q^k ^{n k}⁻

( ) ( )

2

N N

V N N 1

a a n

X =n − −

−

( )

_!

p e

k

X k

k

= = −^λ λ ^E

( )

^X ⁼^λ ^; ^V

( )

^X ⁼^λ

(

X k

)

^k^a n^{n k}^a

−−

= = × ^N

N

C C

p C ^E

( )

^X ⁼ⁿ_N^a

( )

E X =np ^V

( )

^X ⁼^npq

(7)

Estimation

Estimations ponctuelles de µ^,σ^,π^:

Estimation de µ par intervalle de confiance :

σ est connu : σ est inconnu :

Estimation de π par intervalle de confiance :

* n est ici la taille de l'échantillon

* Un coefficient u est issu de la loi normale centrée réduite.

Il vaut 1,96 pour un intervalle à 95% de confiance et 2,58 pour 99% de confiance.

* Un coefficient t est issu de la loi de Student à n – 1 ddl (voir table de Student).

Lorsque n → +∞, t → u.

Tests statistiques

Test du Khi-deux d’adéquation à une distribution

Soit une liste de n valeurs observées obs, à comparer une par une à n valeurs théoriques th.

Le Khi-deux calculé de l’expérience est le nombre 2

( )

²

=1

χcalc =

∑

ⁿ ⁱ− ⁱ

i i

obs th

th , somme des Khi-deux partiels.

La loi du Khi-deux est alors à n – 1 ddl.

Test de conformité d’une moyenne

Une moyenne µ⁰ est testée pour la population, en la comparant à une moyenne x issue d’un échantillon.

σ est connu : X , n µ σ

 

→  

 ⁰ 

N

σ est inconnu : ₀, à -1 ddl 1

X s n

µ n

 

→  

−

 

St

Test de conformité d’une proportion

Une proportion π⁰ est testée pour la population, en la comparant à une proportion p issue d’un échantillon.

ˆ x

µ= ˆ

1

n s

σ = n ×

− πˆ= p

I x u ;x u

n n

α ₌^ ₋ σ ₊ σ ^

 

  ;

1 1

s s

I x t x t

n n

α

 

= − − + − 

(

¹

)

_;

(

¹

)

p p p p

I p u p u

n n

α

 − − 

= − + 

 

 

( )

, ⁰ ⁰

0

P 1

n

π π

π − 

 

→  

 

N

(8)

Table de la loi de Poisson

Table de probabilités : valeurs de p(X = k) pour différentes lois de Poisson λ ^0,1 ^0,2 ^0,3 ^0,4 ^0,5 ^0,6 ^0,7 ^0,8 ^0,9

k 0 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657 1 0,09048 0,16375 0,22225 0,26813 0,30327 0,32929 0,34761 0,35946 0,36591 2 0,00452 0,01637 0,03334 0,05363 0,07582 0,09879 0,12166 0,14379 0,16466 3 0,00015 0,00109 0,00333 0,00715 0,01264 0,01976 0,02839 0,03834 0,04940 4 0,00000 0,00005 0,00025 0,00072 0,00158 0,00296 0,00497 0,00767 0,01111 5 0,00000 0,00000 0,00002 0,00006 0,00016 0,00036 0,00070 0,00123 0,00200 6 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00001 0,00004 0,00008 0,00016 0,00030

λ ¹ ^1,5 ² ^2,5 ³ ^3,5 ⁴ ^4,5 ⁵

k 0 0,36788 0,22313 0,13534 0,08208 0,04979 0,03020 0,01832 0,01111 0,00674 1 0,36788 0,33470 0,27067 0,20521 0,14936 0,10569 0,07326 0,04999 0,03369 2 0,18394 0,25102 0,27067 0,25652 0,22404 0,18496 0,14653 0,11248 0,08422 3 0,06131 0,12551 0,18045 0,21376 0,22404 0,21579 0,19537 0,16872 0,14037 4 0,01533 0,04707 0,09022 0,13360 0,16803 0,18881 0,19537 0,18981 0,17547 5 0,00307 0,01412 0,03609 0,06680 0,10082 0,13217 0,15629 0,17083 0,17547 6 0,00051 0,00353 0,01203 0,02783 0,05041 0,07710 0,10420 0,12812 0,14622 7 0,00007 0,00076 0,00344 0,00994 0,02160 0,03855 0,05954 0,08236 0,10444 8 0,00001 0,00014 0,00086 0,00311 0,00810 0,01687 0,02977 0,04633 0,06528 9 0,00000 0,00002 0,00019 0,00086 0,00270 0,00656 0,01323 0,02316 0,03627 10 0,00000 0,00000 0,00004 0,00022 0,00081 0,00230 0,00529 0,01042 0,01813 11 0,00000 0,00000 0,00001 0,00005 0,00022 0,00073 0,00192 0,00426 0,00824 12 0,00000 0,00000 0,00000 0,00001 0,00006 0,00021 0,00064 0,00160 0,00343

λ ^5,5 ⁶ ^6,5 ⁷ ^7,5 ⁸ ^8,5 ⁹ ^9,5 ¹⁰

k 0 0,00409 0,00248 0,00150 0,00091 0,00055 0,00034 0,00020 0,00012 0,00007 0,00005 1 0,02248 0,01487 0,00977 0,00638 0,00415 0,00268 0,00173 0,00111 0,00071 0,00045 2 0,06181 0,04462 0,03176 0,02234 0,01556 0,01073 0,00735 0,00500 0,00338 0,00227 3 0,11332 0,08924 0,06881 0,05213 0,03889 0,02863 0,02083 0,01499 0,01070 0,00757 4 0,15582 0,13385 0,11182 0,09123 0,07292 0,05725 0,04425 0,03374 0,02540 0,01892 5 0,17140 0,16062 0,14537 0,12772 0,10937 0,09160 0,07523 0,06073 0,04827 0,03783 6 0,15712 0,16062 0,15748 0,14900 0,13672 0,12214 0,10658 0,09109 0,07642 0,06306 7 0,12345 0,13768 0,14623 0,14900 0,14648 0,13959 0,12942 0,11712 0,10371 0,09008 8 0,08487 0,10326 0,11882 0,13038 0,13733 0,13959 0,13751 0,13176 0,12316 0,11260 9 0,05187 0,06884 0,08581 0,10140 0,11444 0,12408 0,12987 0,13176 0,13000 0,12511 10 ^0,02853 ^0,04130 0,05578 0,07098 0,08583 0,09926 0,11039 0,11858 0,12350 0,12511 11 ^0,01426 ^0,02253 0,03296 0,04517 0,05852 0,07219 0,08530 0,09702 0,10666 0,11374 12 0,00654 0,01126 0,01785 0,02635 0,03658 0,04813 0,06042 0,07277 0,08444 0,09478 13 0,00277 0,00520 0,00893 0,01419 0,02110 0,02962 0,03951 0,05038 0,06171 0,07291 14 0,00109 0,00223 0,00414 0,00709 0,01130 0,01692 0,02399 0,03238 0,04187 0,05208 15 ^0,00040 ^0,00089 0,00180 0,00331 0,00565 0,00903 0,01359 0,01943 0,02652 0,03472 16 0,00014 0,00033 0,00073 0,00145 0,00265 0,00451 0,00722 0,01093 0,01575 0,02170

(9)

Table de la loi normale centrée réduite Le tableau donne la probabilité p(U < u) Obtention de u à partir de x : x

u µ

σ

= −

u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879 0,999883 0,999888 3,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918 0,999922 0,999925 3,8 0,999928 0,999931 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946 0,999948 0,999950 3,9 0,9999519 0,9999539 0,9999557 0,9999575 0,9999593 0,9999609 0,9999625 0,9999641 0,9999655 0,9999670

U u

p(U < u)

(10)

Table de la loi de Student Le tableau donne les valeurs t telles que p(-t < T < t) = p Obtention de t à partir de x : x

t µ

σ

= −

1 - p 1 - p

ddl 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 ddl 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 31 1,309 1,696 2,040 2,453 2,744 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 32 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 33 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 34 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 35 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 36 1,306 1,688 2,028 2,434 2,719 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 37 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 38 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 39 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 41 1,303 1,683 2,020 2,421 2,701 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 42 1,302 1,682 2,018 2,418 2,698 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 43 1,302 1,681 2,017 2,416 2,695 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 44 1,301 1,680 2,015 2,414 2,692 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 45 1,301 1,679 2,014 2,412 2,690 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 46 1,300 1,679 2,013 2,410 2,687 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 47 1,300 1,678 2,012 2,408 2,685 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 48 1,299 1,677 2,011 2,407 2,682 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 49 1,299 1,677 2,010 2,405 2,680 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 51 1,298 1,675 2,008 2,402 2,676 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 100 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 ∞ 1,282 1,645 1,960 2,327 2,576 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771

Table de la loi du

χ

^²

Le tableau donne les valeurs χ²lim

telles que p(χ² < χ²lim) = p

1 - p 1 - p 1 - p 1 - p

ddl 1% 2% 5% 10% ddl 1% 2% 5% 10% ddl 1% 2% 5% 10% ddl 1% 2% 5% 10%

1 6,64 5,41 3,84 2,71 4 13,3 11,7 9,49 7,78 7 18,5 16,6 14,1 12 10 23,2 21,2 18,3 16 2 9,21 7,82 5,99 4,61 5 15,1 13,4 11,1 9,24 8 20,1 18,2 15,5 13,4 11 24,7 22,6 19,7 17,3 3 11,3 9,84 7,82 6,25 6 16,8 15 12,6 10,6 9 21,7 19,7 16,9 14,7 12 26,2 24,1 21 18,5

χ²lim

χ

^²

p p

-t t

T