PanaMaths
[1 - 1]Décembre 2006
On considère la suite ( ) u
ndéfinie par : u
0= 2 et : , 2
n 1 n3
n u
+u
∀ ∈ ` = +
Démontrer par récurrence que l’on a : , 3
nn u
∀ ∈ ` <
Analyse
Une récurrence standard, application directe du cours …
Résolution
On considère ici la propriété Pn « un <3 ».
Notons, dans un premier temps que l’on a facilement : ∀ ∈n `, 0un > .
Pour n=0, on a : u0=2 qui est bien inférieur à 3.
P0 est donc vraie.
Soit maintenant un entier naturel n quelconque fixé. On suppose que Pn est vraie, c’est à dire que un est strictement inférieur à 3 : un<3.
Il vient alors : 2un <6, puis 2un+ <3 9.
La fonction racine carrée étant strictement positive sur \+, il vient alors : 2un+ <3 9, c’est à dire : un+1<3.
La propriété Pn+1 est donc vraie.
Résultat final
Pour la suite
( )
un définie par : u0=2 et ∀ ∈n `, 2un+1= un+3, on a : , 3nn u
∀ ∈` <
