D647. Petit format sur grand format
On jette au hasard une photo de format 10x15 à l’intérieur d’un agrandissement de cette même photo au format 30x45. Montrer qu’il existe un point et un seul commun aux deux photos. Construire ce point à l’aide d’une règle et d’un compas
Solution de Paul Voyer
Le seul point commun existe et c'est le centre de la similitude qui transforme l'original en l'agrandissement. Une similitude n'a qu'un point image de lui-même.
La construction est classique, c'est du cours.
Appelons AB la bordure supérieure de l'agrandissement et A'B' celle de l'original.
Le point K s'obtient comme décrit sur la figure.
J est l'intersection des droites AB et A'B'. (*)
Les centres M et N des cercles sont des intersections des médiatrices de AA', AJ et BB', BJ constructibles à la règle et au compas.
K, centre de similitude, est le second point d'intersection des deux cercles.
Il est intérieur aux deux photos.
Les triangles KA'B' (bleu) et KAB (rouge) illustrent la similitude.
Nota* : Si AB // A'B', la similitude est une homothétie, dont on sait aussi construire le centre.