D647 - Petit format sur grand format
On jette au hasard une photo de format 10×15 à l’intérieur d’un agrandissement de cette même photo au format 30×45. Montrer qu’il existe un point et un seul commun aux deux photos. Construire ce point à l’aide d’une règle et d’un compas.
Solution par Patrick Gordon
Ces deux photos sont en similitude directe. L'unique point commun aux deux photos est le centre de similitude, soit O.
On le construit comme suit.
On prend deux segments orientés homologues AB et A'B' sur les deux photos (par exemple deux bords homologues. Soit I le point d'intersection des droites AB et A'B'. Le centre O de la similitude doit vérifier :
(OA, OA') = (OB, OB') = (AB, A'B') (angles orientés de vecteurs).
On a donc :
(IA, IA') = (OA, OA') et (IB, IB') = (OB, OB') (angles orientés de droites), ce qui montre que les points O, I, A, A' sont cocycliques, ainsi que les points O, I, B, B'.
Il en résulte que O est le point d'intersection des cercles IAA' et IBB' autre que I.
Cette construction ne demande que le tracé de deux droites et celui de cercles circonscrits à 3 points et peut donc s'effectuer à l’aide d’une règle et d’un compas.
