D647- Petit format sur grand format [*** à la main]
On jette au hasard une photo de format 10x15 à l’intérieur d’un agrandissement de cette même photo au format 30x45. Montrer qu’il existe un point et un seul commun aux deux photos. Construire ce point à l’aide d’une règle et d’un compas
Solution proposée par Daniel Collignon
Dans le plan complexe, la transformation associée est une similitude directe z' = az + b de rapport égal au module de a (ici 1/3) et d'angle égal à un argument de a. a étant différent de 1, son centre existe et a pour affixe b / (1-a).
Une construction classique à l'aide d'une règle et d'un compas est due à Euler et est décrite sur la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Similitude_(géométrie), je cite :
Recherche du centre de la similitude directe selon Euler
Pour la recherche du centre de la similitude directe transformant (A,B) en (A',B'), Euler5 propose une méthode plus simple utilisant les cercles circonscrits.
Le cas où les segments [AB] et [A'B'] sont parallèles est rapidement traité : f est alors une homothétie et son centre est le point d'intersection des droites (AA') et (BB'). Les cas particulier où A=A' ou B=B' ne sont pas étudiés car le centre de la similitude est immédiat. Le cas où les 4 points seraient alignés nécessite la construction à l'aide de triangles directement semblables de points C et C' non alignés avec A et B.
Quand les droites (AB) et (A'B') sont sécantes en P, il suffit de construire les cercles circonscrits aux triangles AA'P6 et BB'P. Le centre de la similitude est l'autre point commun aux deux cercles7. Cette méthode utilise le fait que I et P regardent les points A et A' et les points B et B' sous le même angle égal à l'angle de la similitude directe.
Les points IPAA' d'une part et IPBB' d'autre part, sont donc, selon la propriété des angles inscrits, cocycliques.
