Petit format sur grand format
Problème D647 de Diophante
On jette au hasard une photo de format 10x15 à l’intérieur d’un agrandissement de cette même photo au format 30x45. Montrer qu’il existe un point et un seul
commun aux deux photos. Construire ce point à l’aide d’une règle et d’un compas.
Solution
La transformation S, qui envoie la photo sur son agrandissement, est une similitude, dont le centre O est commun aux deux photos. Cette application ressort d'ordinaire de la géométrie euclidienne.
Cependant, suivant le principe qui peut le plus peut le moins, nous ne gardons que les qualités affines de S, en remarquant que : les points d'intersection des droites d'un même faisceau de droites parallèles chacune avec son image par S sont tous sur une même droite qui passe par O.
Ci-dessous, voici l'illustration de ce théorème :
Très précisément, cette droite noire est le lieu des centres de toutes les similitudes qui envoient un faisceau l'un sur l'autre.
Présentement, déterminons les points d'intersections des bords (parallèles deux à deux) de la photo avec leurs homologues de l'agrandissement, en les prolongeant en gris, pour obtenir ensuite deux droites en bleu, qui se coupent au point O cherché.
Nous pouvons vérifier que ce point est situé à la même place sur la photo et sur son agrandissement.
Remarque. Les deux droites en bleu sont perpendiculaires car la similitude S n'en reste pas moins une transformation euclidienne.