D647. Petit format sur grand format
On jette au hasard une photo de format 10x15 à l’intérieur d’un agrandissement de cette même photo au format 30x45. Montrer qu’il existe un point et un seul commun aux deux photos.
Construire ce point à l’aide d’une règle et d’un compas.
Solution proposée par Claudio Baiocchi.
Tout point du rectangle R grand-format a un correspondant dans le rectangle petit-format.
Puisque le petit rectangle est contenu dans le grand, la transformation peut être vue comme une transformation de R dans lui-même; et il s’agit d’une contraction car pour tout couple de R, la distance entre les images et est un tiers de la distance entre et . Dans ces
conditions un fameux théorème de Banach assure que a un et un seul point fixe ; point qui peut être approché très rapidement à partir d’un point quelconque R, et posant . Pour construire (et non pas seulement approcher) le point en question, le cadre le plus adéquat semble le plan d’Argan-Gauss, l’origine étant choisie sur le centre de l’agrandissement. L’équation prend la forme où est l’angle formée par les cotés longs et est le vecteur joignant les centres des deux rectangles. La solution s’écrit
ou encore, par des manipulations élémentaires, où et sont respectivement le module et l’argument du nombre
. Le point fixe s’obtient donc par rotation d’angle du multiple suivant du vecteur .
