SUR LES SURFACES

SUR LES SURFACES

NON-COMPACTES DE RANG UN

Gabriele LINK

, Marc PEIGN´ E

& Jean-Claude PICAUD

(∗)Mathematisches Institut II Universit¨at Karlsruhe, Englerstr. 2

D. 76128 Karlsruhe

(∗∗) LMPT, UMR 6083, Facult´e des Sciences et Techniques Parc de Grandmont, 37200 Tours

Fax numbers : 00 33 (0)2 47 36 70 68 et 00 49 721 608 21 48 Le 20 mars 2005

Abstract.We consider in this paper a complete noncompact riemannian surface S of fi- nite type, with nonpositive curvature. Ends of such surfaces have been studied in 1979 by P.

Eberlein, from topological and metrical viewpoints. We first prove that the two classifications of ends arising in his work are equivalent, as he conjectured. Then, we explain how it is pos- sible to define Gromov product of two points in the limit set of the fundamental group ofS; the continuity property of this Gromov product and the conformal action of isometries on the limit set with regard to the Gromov product allow us to investigate topological-dynamic properties of the geodesic flow and of the horocycle foliation on S.

Soit (S, g) une surface non-compacte de type fini (i.e. Γ =π1(S) est finiment engendr´e), munie d’une m´etrique riemannienne compl`ete de courbureK n´egative ou nulle et non iden- tiquement nulle. La surfaceS est alors de rang un, c’est-`a-dire qu’il existe une g´eod´esique surS n’admettant pas de champ de Jacobi parall`ele perpendiculaire. L’objet de ce travail est d’amorcer une ´etude g´eom´etrique et dynamique des flots g´eod´esique et horocyclique de telles surfaces. Nous nous concentrons ici sur la dynamique topologique du flot g´eod´esique et du feuilletage horocyclique, en soulignant les propri´et´es nouvelles qui r´esultent de l’absence de compacit´e. Le cas compact de rang un, sans restriction sur la dimension, est ´etudi´e (de diff´erents points de vue) dans [3],[12],[13].

On noteX le revˆetement universel riemannien deS sur lequel Γ agit par isom´etries. Cette action se prolonge en une action par hom´eomorphismes respectant l’orientation sur le bord

`

a l’infiniX(∞) deX.

On dit que Γ est `a spectre arithm´etique si le groupe engendr´e par les d´eplacements des

´el´ements de Γ est discret dans Ret`a spectre non-arithm´etiquedans le cas contraire (voir `a ce sujet la section III.1). On noteRla partie r´ecurrente du flot g´eod´esique (gt)_t∈RsurT1S et on rappelle que ce flot esttopologiquement m´elangeantsi pour tous ouvertsU, V ⊂ R, il existet0=t0(U, V)>0 tel que pour toutt∈Rv´erifiant|t| ≥t0, on agtU∩V 6=∅. D’autre part, `a chaque point du fibr´e unitaire u∈ T1X, on peut associer une horosph`ere passant par le point base deuet centr´ee au pointu(∞)∈X(∞) d´etermin´e paru. Ceci permet de d´efinir une relation d’´equivalence sur le sous-ensemble Γ-invariant{u∈T1X ; u(∞)∈ΛΓ} o`u Λ<sub>Γ</sub> est l’ensemble limite de Γ. La projection des classes d’´equivalence correspondantes sur le fibr´e unitaireT<sub>1</sub>Sest appel´eerestriction `aRdu feuilletage fortement stableet on note F+ cet ensemble. On dit queF+ esttopologiquement transitifs’il admet une feuille dense.

Le principal r´esultat de cette note est une g´en´eralisation du Th´eor`eme A de [7] et de la Proposition 2.1 de [8] que l’auteur ´etablit dans le cadre des espacesCat(−1). La formulation de ce r´esultat, dans notre cadre, est la suivante :

Th´eor`eme A -SoitS une surface non-compacte, de type fini, qui n’est pas hom´eomorphe

`

a un cylindre, et qui est munie d’une m´etrique riemannienne de courbure n´egative ou nulle.

Alors :

i)Γ =π1(S)est `a spectre non-arithm´etique,

ii) Le feuilletageF+ est topologiquement transitif,

iii) Le flot g´eod´esique en restriction `aΩest topologiquement m´elangeant.

La non arithm´eticit´e ressort d’un argument de nature purement topologique et se d´emontre comme dans [8], sans modification. La d´emonstration consiste par cons´equent `a ´etablir l’´equivalence des trois propri´et´es comme dans [7], r´esultat qui pr´esente un int´erˆet en soi.

La difficult´e est de montrer que les arguments cruciaux pour prouver l’´equivalence sont en- core valables dans notre contexte :

- Le premier de ces arguments est la minimalit´e de l’action de Γ sur son ensemble limite, et son corollaire, la densit´e des orbites p´eriodiques dans la partie r´ecurrente du flot g´eod´esique.

A notre connaissance, ces points n’avaient ´` et´e d´emontr´es que sous l’hypoth`ese Axiome 1 (i.e. lorsque les couples distincts de points deX(∞) peuvent ˆetre joints par au moins une g´eod´esique). - Le second argument est l’existence d’un birapport continu, qui permet de lire le spectre des longueurs au travers l’action de Γ sur ΛΓ. La construction est tautologique lorsque l’on a prouv´e le :

Th´eor`eme B -Le produit de Gromov sur X×X se prolonge en une application continue surΛ<sub>Γ</sub>×Λ<sub>Γ</sub> `a valeurs dansR⁺∪ {+∞}.

Notons que, dans notre cas, le produit de Gromov ne permet pas de construire, comme dans [5], une structure conforme sur ΛΓ, c’est-`a-dire une famille de distances (index´ee parX) avec une action conforme des isom´etries. La propri´et´e de cocycle satisfaite par les fonctions de Busemann permet toutefois de ”mimer” cette action conforme.

La d´emonstration du Th´eor`eme B s’appuie sur une analyse pr´ecise desboutsdeS. Cette analyse a ´et´e men´ee par P. Eberlein dans [9], tant du point de vue m´etrique que du point de vue de la dynamique topologique. L’auteur analyse en d´etail l’incidence du relchement de l’hypoth`ese K ≤ −a² (a > 0) en K ≤ 0 sur la g´eom´etrie des bouts de S. Il montre

´egalement que certaines propri´et´es nouvelles observ´ees sont li´ees `a la pr´esence dans le groupe des isom´etries deX, d’´el´ements paraboliques exceptionnels (mixtes dans la terminologie de [4]), fixant point par point un intervalle ferm´e d’int´erieur non vide du bord `a l’infini. Il ap- parat aussi dans ce travail deux classifications naturelles des bouts, l’une m´etrique, l’autre en consid´erant les propri´et´es de dynamique topologique du flot g´eod´esique dans les bouts. P.

Eberlein conjecture que ces classifications sont ´equivalentes. Nous d´emontrons effectivement la

Proposition C -Les classifications topologique et m´etrique de P. Eberlein sont ´equivalentes.

La r´edaction de l’article est organis´ee de la mani`ere suivante. La premi`ere section intro- duit les notations et rappelle les principaux r´esultats obtenus dans [9]. Leur pr´esentation est en partie ind´ependante et nous avons inclus certaines preuves qui nous semblaient plus ´el´ementaires ainsi que des r´esultats compl´ementaires utiles pour les sections suivantes.

Nous rappelons ensuite les deux classifications des bouts propos´ees par P. Eberlein afin de d´emontrer la Proposition C. Pour clore cette section, nous ´etablissons la minimalit´e de l’ac- tion de Γ sur ΛΓ.

L’objet principal de la deuxi`eme section est de donner la preuve du Th´eor`eme B. Ce r´esultat

´etabli, nous illustrons par des exemples le cas o`u le produit de Gromov entre deux points de l’ensemble limite est infini.

La troisi`eme section, enfin, est consacr´ee `a la preuve du Th´eor`eme A. Pour ´eviter la para- phrase de [7] et [8], nous rappelons bri`evement de quelle mani`ere les arguments s’articulent autour des r´esultats des sections pr´ec´edentes.

Remerciements -Nous avons tir´e b´en´efice des remarques de G´erard Besson et Jean-Pierre Otal sur une premi`ere version de ce texte. J´erme Depauw a programm´e le calcul (exact) donn´e dans la section II.2. Nous les remercions tous les trois.

I - Surfaces de Cartan-Hadamard et quotients I.1 Notations et rappels

On rappelle les d´efinitions et les r´esultats classiques concernant la g´eom´etrie deX; de bonnes r´ef´erences sont, dans l’ordre alphab´etique, [2],[3],[4],[9],[11]. Dans tout ce qui suit, X d´esigne une surface simplement connexe, munie d’une m´etrique compl`ete de courbure n´egative ou nulle. On fixe une origineo dansX. Sauf mention explicite, les g´eod´esiques de X sont param´etr´ees `a vitesse unit´e. Le bord `a l’infini de X est par d´efinition l’ensemble des classes d’´equivalence de rayons g´eod´esiques asymptotes deX (i.e. qui restent `a distance born´ee dans les temps futurs).

Fixons quelques notations :

- < ., . >d´esigne la m´etrique sur X, d la distance associ´ee et K la courbure sectionnelle, n´egative ou nulle,

- on pose ¯X =X∪X(∞) et on noteIs(X) le groupe des isom´etries deX,

-T X(resp. T₁X)→X est le fibr´e tangent (resp. tangent unitaire) deX etπla projection canonique deT X surX

- pour p ∈ X et q ∈ X¯ \ {p}, σ_pq est l’unique g´eod´esique param´etr´ee par longueur d’arc joignantp`a q; pourv∈T<sub>1</sub>X, σ<sub>v</sub> l’unique g´eod´esique (compl`ete) param´etr´ee par longueur d’arc v´erifiantσv(0) =π(v) et ˙σv(0) =v,

- sip∈X etv, w∈T1Xp,∠(v, w)∈[0, π] est la mesure de l’angle non orient´e entrevetw; pourq, r∈X¯\ {p}, on pose alors ∠^p(q, r) =∠( ˙σpq(0),σ˙pr(0)),

La topologie sur ¯Xest celle des cnes, dont une base de voisinages convexes est (C(v, ))_>0;v∈T1X

o`u

C(v, ) ={q∈X¯\ {p}; ∠^p(v,σ˙pq(0))< }

Pour chaquep∈X, l’application :v ∈T1Xp 7→σv(∞)∈X(∞) est un hom´eomorphisme.

En particulier, (xn)∈X¯ →ξ∈X(∞) si et seulement si pour un pointp∈X (ou pour tout pointp∈X), on a ˙σpxn(0)→σ˙pξ(0) etd(p, xn)→+∞(avec la conventiond(p, xn) = +∞

sixn ∈X(∞)).

On rappelle le fait g´eom´etrique suivant, ´etabli dans [11], fondamental dans le cadreCat(0) et donc tr`es utile ici :

Soientξet η deux points distincts deX(∞). S’il existe deux g´eod´esiques σ₁ etσ₂ joignant ξ`aη, ces derni`eres bordent une bande plate de largeurd(σ₁(R), σ₂(R)).

Remarque I.1 -Nous ferons usage au paragraphe I.4 des propri´et´es ´el´ementaires suivantes : Soitη ∈ X(∞),V(η)⊂X¯ un voisinage de η, σn une suite de g´eod´esiques compl`etes avec σn(0) =pn o`upnest la projection d’un pointp∈X fix´e surσn(R). On poseσn(∞) =ξn et σn(−∞) =ηn.

1) si ξn → η, il existe n0 et t0 ne d´ependant que de V(η) tels que pour tout n ≥ n0, σn([t0,+∞[)⊂V(η).

2) siξn→η etηn→η, il existen0 tel que pour toutn≥n0,σn(R)⊂V(η).

Pour ξ ∈ X(∞), p, q ∈ X, on rappelle que la fonction de Busemann centr´ee en ξ est d´efinie par

B_ξ(q, p) = lim

z_n→ξd(z_n, q)−d(z_n, p)

et que les horosph`eres (centr´ees enξ) sont les ensembles de niveau des fonctionsq7→B<sub>ξ</sub>(q, p) pourpfix´e. On notera∂H<sub>ξ</sub>(p) l’unique horosph`ere centr´ee enξ∈X(∞) passant parp∈X etH_ξ(p) =∪_t≥0(∂H_ξ(σ_pξ(t))) l’horoboule centr´ee enξ bord´ee par∂H_ξ(p).

La proposition qui suit regroupe des r´esultats de P. Eberlein [9] qui nous seront utiles par la suite :

Proposition I.2 -1) Les fonctions de Busemann sont convexes ; en particulier les horo- boules sont des sous-ensembles convexes deX.

2) Les fonctions de Busemann sont de classeC²; en particulier, les horosph`eres admettent une param´etrisation C¹.

3) Une suite de points(ξ_n)_n de X¯ converge vers ξ ∈ X(∞) si et seulement si la suite de fonctions de BusemannB_ξn converge uniform´ement sur les compacts deX×X vers B_ξ.

La proposition qui suit permet de classifier les isom´etries de X, en fonction de leur

”d´eplacement” ; elle est valable en toute dimension (voir par exemple [2] II.3. et [4] lemma 6.6)

Proposition I.3 -Soitϕun ´el´ement deIs(X)distinct de l’identit´e. La fonction dϕ : p7→

d(p, ϕ(p))est convexe sur X et on appelle d´eplacement deϕ son infimum mϕ; pour tout pointpdeX on amϕ= lim

n→+∞d(p, ϕⁿp)/n.

Trois cas peuvent alors se produire, qui s’excluent mutuellement :

i)d_ϕ atteint son minimum surX etm_ϕ= 0; l’isom´etrieϕ fixe un point de X et est dite elliptique,

ii)dϕ atteint son minimum en un pointpϕ∈X (qui n’est pas forc´ement unique) etmϕ>0.

Il est ´equivalent de dire que ϕ agit par translation de longueurmϕ le long de la g´eod´esique (compl`ete) passant parpϕ etϕ(pϕ). Une telle g´eod´esique s’appelle un axe deϕet deux axes quelconquesγ1, γ2 deϕ bordent une bande plate de sorte queϕ fixe deux points de X(∞).

On dit dans ce cas queϕest axiale.

iii) dϕ n’atteint pas son minimum sur X; on dit que ϕest parabolique. Il existe alors un pointξ∈X(∞)tel que

(∗)







ϕ(ξ) =ξ et

B_ξ(ϕ(.), p) =B_ξ(., p) (p∈X)

Les propri´et´es ´enonc´ees en ii) etiii) pr´eludent `a une autre classification des isom´etries, en fonction de leurs points fixes sur le bord. Siϕ∈Is(X) et p∈X, il est bien connu (voir par exemple [11]) que tout point d’accumulation de la suite (ϕⁿ.p)_n∈Zest un point fixe deϕ.

On verra en particulier que, en dimension deux, la suite (ϕⁿ.p)n∈Z n’admet que un ou deux points d’accumulation sur le bord et que le point fixeξsatisfaisant (∗) pour une isom´etrie parabolique est unique. Cela permettra d’affiner la classification pr´ec´edente en distinguant les isom´etries paraboliques qui fixent un unique point `a l’infini de celles qui fixent point par point un intervalle d’int´erieur non vide.

Remarque I.4 -Soit ϕ∈Is(X), F ix(ϕ) ={ξ∈ X(∞) ; ϕ(ξ) =ξ} et p∈X. Il r´esulte de la relation de cocycle : B_ξ(x, z) = B_ξ(x, y) +B_ξ(y, z) valable pour (x, y, z) ∈ X³ que l’application :

F ix(ϕ)×Z → R

(ξ, n) 7→ Bξ(ϕⁿp, p)

est continue en la variableξ, invariante parϕ( i.e.Bξ(ϕp, ϕq) =Bϕ.ξ(ϕp, ϕq) =Bξ(p, q)), et ne d´epend pas de ppuisque

Bξ(ϕq, q) = Bξ(ϕq, ϕp) +Bξ(ϕp, p) +Bξ(p, q)

= Bξ(q, p) +Bξ(ϕ.p, p) +Bξ(p, q)

= Bξ(ϕ.p, p).

En outre, comme il est remarqu´e dans [11], la relation de cocycle entrane ´egalement que l’application ci-dessus est un morphisme en la variablen∈Z, puisque

Bξ(ϕⁿp, p) =

n

X

k=1

Bξ(ϕ^kp, ϕ^k−1p) =

n

X

k=1

B_ϕ−(k−1)ξ(ϕp, p) =nBξ(ϕ.p, p)

Cette remarque, ´el´ementaire, est `a la base des d´emonstrations des r´esultats de ce para- graphe, et en particulier de l’´equivalence des classifications des bouts deS.

I.2 Les couples de points joignables deX(∞) I.2.a Crit`eres g´en´eraux

Etant donn´´ esp∈X etq∈X¯, il existe une unique g´eod´esique joignant ces deux points.

La situation est diff´erente lorsque l’on consid`ere deux pointsξ, η∈X(∞) distincts. Il peut ne pas exister de g´eod´esique les joignant, en exister une infinit´e, ou bien en exister une et une seule. Les deux premiers cas sont li´es `a la pr´esence de courbure sectionnelle nulle, le dernier `a celle de courbure sectionnelle suffisamment strictement n´egative dansX.

Le r´esultat ´el´ementaire suivant, bien connu, pr´ecise une condition n´ecessaire et suffisante pour joindre deux points `a l’infini :

Lemme I.5 -Soientξ, η deux points distincts deX(∞)etp∈X. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

i) Il existe (au moins) une g´eod´esique joignantξ`aη,

ii) Il existe deux suites(x_n)et(y_n) de points de X¯ convergeant respectivement vers ξetη, une suite de g´eod´esiques (σn)o`u σn jointxn `ayn, et une constanteC=C(ξ, η)telles que

d(p, σn)≤C

En outre, lorsque les pointsξetη sont joignables, pour tout point p∈X et pour toute suite de points(p_n)deX convergeant versξ, on a

n→+∞lim ∠^pn( ˙σp_np(0),σ˙p_nη(0)) = 0.

D´emonstration -i)⇒ii) est ´evidente ; r´eciproquement, notonszn∈σn(R) l’unique point qui r´ealise le minimum de la distance dep`aσn. L’origine deσnest prise enzn; par hypoth`ese,

˙

σn(0) reste dans un compact deT1Xdonc, quitte `a prendre une sous-suite, on peut supposer

˙

σn(0)→v_∞ ∈T1X. En notantz_∞ =π(v_∞) etσ_∞ l’unique g´eod´esique d´etermin´ee par les conditionsσ∞(0) =z∞ et ˙σ∞(0) =v∞, il reste `a voir queσ∞(+∞) =ξ(l’argument est le mme pour montrer queσ∞(−∞) =η).

Soitt∈R+; par continuit´e de l’exponentielle au pointz∞et au pointpet parce quexn→ξ, il existen₀ tel quen≥n₀ entrane







max{d(zn, xn);d(p, xn)} ≥t et

max{ sup

s∈[0,t]

d(σ_∞(s), σn(s)); sup

s∈[0,t]

d(σpx_n(s), σpξ(s))} ≤1.

La fonction (convexe) s 7→ d(σn(s), σpx_n(s)) est d´ecroissante sur [0, d(zn, xn)] donc on a d(σn(t), σpx_n(t))≤C et par l’in´egalit´e triangulaire, d(σ∞(t), σpξ(t))≤C+ 2.

Si zn ∈ σpnη(R+) est le point qui r´ealise la distance de σpnη(R+) `a p, zn reste dans un compact et il suffit d’appliquer la premi`ere in´egalit´e du cosinus.

On rappelle maintenant les propri´et´es g´eom´etriques qui seront utiles par la suite pour

´etudier l’existence du produit de Gromov entre deux points du bord. La plupart des pro- pri´et´es ´etablies dans ce paragraphe sont connues des sp´ecialistes. Elles peuvent ˆetre com- par´ees en particulier au lemme de la page 54 et `a l’exercice 3.9 de [4] ou encore aux r´esultats obtenus dans [9]. Nous en donnons cependant une pr´esentation ind´ependante - et diff´erente - dans un souci d’unification du texte, en s’appuyant sur l’hypoth`ese de la dimension deux.

Cette derni`ere permet de d´egager des arguments de nature topologique, et de d´ecrire avec pr´ecision le comportement des horosph`eres les unes par rapport aux autres.

Notons que si ξ, η∈X(∞) avecξ6=η, il existep∈X tel que∠^p(ξ, η)< π. Dans le cas contraire, pour toutp, les rayonsσpξ etσpη se concat`enent en une g´eod´esique d’extr´emit´es

ξet η et deux telles g´eod´esiques bordent une bande plate ; la m´etrique surX serait plate.

On dit alors queξ⁰∈X(∞) est entreη et ξs’il existe un pointptel que

∠^p(ξ, ξ⁰) +∠^p(ξ⁰, η) =∠^p(ξ, η)< π Pourξ, η∈X(∞) et p∈X v´erifiant∠^p(ξ, η)< π, on note

D(p;ξ, η) ={σpξ⁰(t) ; t≥0, ξ⁰ est entreξet η}

le secteur issu depd’extr´emit´esξet η.

Lemme I.6 [9] -Soient ξ, η deux points distincts de X(∞). On suppose qu’il n’existe pas de g´eod´esique joignant ces deux points. Alors :

i) pour tout pointp∈X v´erifiant ∠^p(ξ, η)< π, la courbure totale du secteur D(p;ξ, η) est born´ee,

ii) deux points distincts entreξetη ne peuvent pas tre joints par une g´eod´esique.

D´emonstration - i) C’est une application directe du lemme I.5 et de la formule de Gauss- Bonnet.

ii) Siξ⁰, η⁰ sont entreξetηet s’il existe une g´eod´esiqueσjoignantξ⁰ etη⁰, cette g´eod´esique rencontreσ_n ^def.= σ_{σpξ(n),σpη(n)} en deux points pour nassez grand puisque les images de σ etσ_n restent dansD(p;ξ, η) parii) du lemme I.5. Contradiction.

Nous donnons ´egalement un crit`ere d’existence d’une (ou plusieurs) g´eod´esique(s) joi- gnant ξ, η ∈ X(∞) en fonction des positions relatives des horosph`eres centr´ees en ξ et η respectivement. Pourη ∈X(∞) etp, q∈X, notons

H_η(∞) ={ξ∈X(∞) ; t7→B_η(σ_qξ(t), p) est major´ee surR+}

Chaque ´el´ement de Hη(∞) est donc repr´esent´e par un rayon g´eod´esique restant dans une horosph`ere fixe centr´ee enη. Dans le cas euclidien, pour toutη∈X(∞), l’ensembleH<sub>η</sub>(∞) est un demi-cercle ;a contrario, H<sub>η</sub>(∞) ={η} pour toutη ∈X(∞) lorsqueK ≤ −a<sup>2</sup> <0 ou lorsqueX satisfait l’axiome de visibilit´e, d’apr`es le r´esultat qui suit.

Lemme I.7 -i) Hη(∞)ne d´epend ni dep, ni deq,

ii)Hη(∞)est un intervalle ferm´e I= [η1, η2]⊂X(∞)contenant η,

iii) siη16=η2, les seuls points deIqui peuvent ´eventuellement ˆetre joints par une g´eod´esique σsont η1 etη2, et dans ce cas σ borde un demi-plan plat,

iv) Siξ∈I^◦, alors B_η(σ_qξ(t), p)→ −∞lorsquet→+∞.

Si H_η(t) d´esigne l’horoboule centr´ee en η dont le bord contient σ_pη(t), on a encore H_η(∞) =∩_t≥0H¯_η(t) et∩_t≥0H¯_η(t) ne d´epend pas dep∈X.

D´emonstration - i) L’ind´ependance enpet qr´esulte directement de l’in´egalit´e

|B_η(σ_q1ξ(t), p₁)−B_η(σ_q2ξ(t), p₂)| ≤d(p₁, p₂) +d(q₁, q₂)

qui est une cons´equence directe de la convexit´e det7→d(σ_pζ(t), σ_qζ(t)) appliqu´ee successi- vement `aζ=η etξ.

ii) Il r´esulte de l’ind´ependance enpetqqueH_η∩X(∞) ne d´epend pas du choix de l’horoboule H_ηcentr´ee enη. De plus, cet ensemble est un intervalle ferm´e [η₁, η₂] ; en effet, sit7→β(t) est une param´etrisationC¹ non singuli`ere de l’horosph`ere centr´ee en η passant parptelle que β(0) =p, les applications qui `a t∈R+ associent ∠( ˙β(0),σ˙_pβ(t)(0)) et∠(−β(0),˙ σ˙_pβ(−t)(0)) sont croissantes par convexit´e de l’horoboule ; comme d(p, β(±t))→+∞lorsque t→+∞, on a{β(t), β(−t)} → {η1, η2}et, par convexit´e des horoboules, siI= [η1, η2] est l’intervalle contenantη et siξ∈I, alorsσpξ(R+)⊂ Hη. Ainsi,Hη(∞) =I.

iii) Si σ est une g´eod´esique qui joint deux points distinctsξ1 et ξ2 de [η1, η2], la fonction

t7→B_η(σ(t), p) est convexe major´ee sur Rdonc constante ; σest alors une horosph`ere (et une g´eod´esique) donc {σ(+∞), σ(−∞)} = {η1, η<sub>2</sub>} et σ borde un demi-plan plat. En ef- fet, sit<sub>1</sub>6=t<sub>2</sub>, le triangle (`a bords g´eod´esiques) (η, σ(t₁), σ₍t₂)) ayant deux angles droit est n´ecessairement plat.

Par cons´equent, deux points de ]η₁, η₂[ ne peuvent pas ˆetre joints par une g´eod´esique.

iv) Cela r´esulte imm´ediatement du fait que, pour toute horoboule H_η centr´ee en η, l’en- sembleHη∩X(∞) = [η1, η2] ne d´epend deHη que par son centre.

Corollaire I.8 -Soient ξ1, ξ2 deux points distincts deX(∞); les conditions suivantes sont

´equivalentes :

i) il existe au moins une g´eod´esique joignantξ1 `aξ2.

ii) il existe une horosph`ere ∂H1 centr´ee enξ1et une horosph`ere∂H2centr´ee enξ2 v´erifiant ]∂H1∩∂H2≥2,

En outre,

iii) Siξ1 etξ2 ne peuvent pas ˆetre joints par une g´eod´esique, alorsHξ1(∞)∩ Hξ2(∞)6=∅, iv) Siξ₁ etξ₂ peuvent ˆetre joints par une g´eod´esique etHξ1(∞)∩ Hξ2(∞)6=∅, alors toute g´eod´esique joignantξ₁ etξ₂ borde un demi-plan plat.

D´emonstration - L’implication ii) ⇒ i) est prouv´ee par P. Eberlein dans [9] et est ob- tenue en cherchant un point critique sur ]t, t⁰[ de l’application s 7→ B_ξ1(α₂(s);α₁(t)), o`u s 7→ αi(s) (i = 1,2) est la param´etrisation par longueur d’arc de l’horosph`ere ∂Hi et α1(t), α1(t⁰)∈∂H1∩∂H2.

i)⇒ii) : supposons que toute horosph`ere centr´ee en ξ1 rencontre toute horosph`ere centr´ee enξ2 en au plus un point et qu’il existe une g´eod´esiqueσ reliant ξ1 `a ξ2, orient´ee de ξ1 `a ξ2. Soitp=σ(t0) ; les horosph`eres∂H1 et ∂H2 passant parpcentr´ees en ξ1 etξ2 respecti- vement admettent le mˆeme vecteur tangent unitaire v en p; par convexit´e des horoboules, la g´eod´esiqueσv v´erifiantσv(0) =pet ˙σv(0) = v s´epareX en deux composantes connexes ouvertes, l’une contenant∂H1\ {p}, l’autre∂H2\ {p}. On a par cons´equent







Hξ1(∞)∩ Hξ2(∞) =σ_v(+∞) (1) ou

H_ξ1(∞)∩ H_ξ2(∞) =∅ (2)

Le cas (1) entraˆıne par convexit´e des horoboules que σ_v(R+) =∂H₁∩∂H₂; il est donc `a exclure. Remarquons toutefois que, dans ce cas, tout triangle de sommets (σ_v(t), p, ξ_i) est plat etσborde un demi-plan plat.

Si (2) est r´ealis´ee, et si t1> t0, toute horosph`ere centr´ee enξ1 passant parσ(t1) rencontre n´ecessairement∂H2 en au moins deux points. En effet, siβ est une param´etrisation d’une telle horosph`ere et siHξ₁(∞) = [η1, η₁⁰], alorsβ(t)→η16∈ Hξ₂(∞) etβ(−t)→η⁰₁6∈ Hξ₂(∞) lorsquet→+∞; on a donc montr´ei)⇒ii).

iii) r´esulte directement de la discussion du cas (2) pr´ec´edent et iv) de la discussion du cas

(1).

Remarque : Deux points distincts du bord non joignables peuvent admettre des ho- rosph`eres qui ne se rencontrent pas dans X, mais dont l’adh´erence des horoboules est constitu´ee d’un point sur le bord exactement (voir la section II).

I.2.b Le cas des surfaces quotient

On suppose maintenant qu’il existe Γ⊂Is(X) un sous-groupe d’isom´etries deXagissant proprement discontinment et sans point fixe sur X et on suppose que la surface quotient S=X/Γ est compl`ete, orientable, non-compacte, de type fini et n’est pas un cylindre topo- logique (autrement dit Γ est finiment engendr´e et Γ6'Z). On note :

-π : T1S→S le fibr´e unitaire deS,

- ΛΓ= Γ.p\Γ.p⊂X(∞) l’ensemble limite de Γ (qui ne d´epend pas dep∈X),

-O(Γ) le compl´ementaire de l’ensemble limite dansX(∞), constitu´e d’une r´eunion d´enombrable

d’intervalles ouverts (´eventuellement vides), plus pr´ecis´ement l’orbite sous Γ d’un nombre fini d’intervalles, puisqueS admet un nombre fini de bouts.

Le lemme suivant interdit les ph´enom`enes de p´eriodicit´e de la m´etrique dans le secteur D(p;ξ, η) :

Lemme I.9 ([9] Prop. 2.2) -S’il existe un point ξ⁰ ∈ΛΓ entre ξ et η, les points ξ et η peuvent ˆetre joints par une g´eod´esique.

D´emonstration -Raisonnons par l’absurde : siξ⁰:= limnγn.p, on peut choisirp∈X et >0 tels que la courbure soit strictement n´egative surB(p, ) etB(γn.p, )∩B(γm.p, ) =∅pour γn 6=γm. Pour n assez grand, on aB(γn.p, )⊂D(p, ξ, η) et cela contredit le point i) du

Lemme I.6.

Par cons´equent, seuls les couples de points dans l’adh´erence d’une mˆeme composante connexe deO(Γ) peuvent ne pas ˆetre joints par une g´eod´esique.

Remarque I.10 -Il r´esulte directement du lemme pr´ec´edent que tout pointη∈Λ_Γposs`ede une base de voisinages bord´es par des g´eod´esiques.

Soient ϕ∈ Γ\ {Id} et p∈ X; P. Eberlein et B. O’Neill ont montr´e que chaque point d’accumulation dans ¯X de la suite bilat`ere (ϕⁿ.p)_n∈Z est un ´el´ement de X(∞) fixe par ϕ.

L’hypoth`ese de la dimension deux permet une analyse plus pr´ecise de ces points fixes.

Lemme I.11 -La suite bilat`ere(ϕ<sup>n</sup>.p)<sub>n∈Z</sub> poss`ede au plus deux points d’accumulation. Elle en poss`ede deux distincts qui peuvent ˆetre joints par une g´eod´esique si et seulement siϕest axiale. En particulier, si elle ne poss`ede qu’un point d’accumulation,ϕ est parabolique.

D´emonstration - Supposons que la suite (ϕⁿ.p)n∈Zadmette deux points d’accumulationη1

etη2, joignables par une g´eod´esiqueσ. Soitqun point deσet δune g´eod´esique transverse

`

aσenq. Pour toutn∈Z, la g´eod´esiqueϕⁿ◦σa pour extr´emit´esη₁etη₂ et rencontre donc δen un pointq_n (avecq₀=q). On distingue trois cas :

1) La suite (q_n) admet un point d’accumulationq_∞qui appartient `aX. Le segment g´eod´esique [q<sub>∞</sub>, ϕ.q<sub>∞</sub>] se compl`ete en une g´eod´esique d’extr´emit´esη₁, η₂qui est stable parϕ; l’isom´etrie est donc axiale.

2) La suite (qn) s’accumule sur les deux points distincts δ(−∞) et δ(+∞). Puisque deux g´eod´esiques distinctes joignantη1etη2bordent n´ecessairement une bande plate, la m´etrique surX est plate, ce qui n’est pas.

3) La suite (qn) converge versδ(+∞) ; par l’argument pr´ec´edent,σborde un demi-plan plat.

Supposons alorsϕ.q6∈σ(R) et notonsrla projection deϕ.qsurσ(R) ; le triangle de sommets q, ret ϕ.qest envoy´e par ϕ sur un triangle semblable ce qui entraˆıne que q, ϕ.q, ϕ².q sont sur une mˆeme g´eod´esique et que ϕⁿ.q converge vers un point distinct de η1 et η2 ce qui n’est pas. L’isom´etrieϕtranslate par cons´equent la g´eod´esiqueσet toutes celles qui lui sont parall`eles.

De ce raisonnement, on d´eduit aussi que la suite (ϕⁿ.p)n∈Zne peut pas poss´eder plus de deux points d’accumulation ; en effet, s’il en existait trois, deux d’entre eux seraient joignables mais la discussion ci-dessus prouve que ces deux points sont les seuls points d’accumulation

possibles !

Dans la suite de ce paragraphe, nous nous concentrons sur le cas o`u ϕ est un ´el´ement parabolique de Γ. Le relˆachement de l’hypoth`eseK≤ −a² (a >0) enK≤0 peut entraˆıner l’existence de deux points d’accumulation distinctsη1, η2∈X(∞) de la suite (ϕⁿ.p)_n∈Z. Le pointi) du r´esultat qui suit a ´et´e ´etabli par P. Eberlein dans [9]. L’existence dans le point iii) est un r´esultat classique, valable en toutes dimensions. Nous en donnons une preuve ind´ependante qui s’appuie sur le lemme pr´ec´edent et la remarque I.4.

Proposition I.12 -Soitϕ∈Γ un ´el´ement parabolique v´erifiant

n→+∞lim ϕ⁻ⁿ.p=η₁ et lim

n→+∞ϕⁿ.p=η₂6=η₁. Alors,

i) tout ´el´ement entreη1etη2est fix´e parϕ; on noteraI= [η1, η2]l’ensemble de ces ´el´ements, ii)Bη1(ϕp, p) =mϕ=−Bη2(ϕp, p),

iii) Il existe un unique pointη ∈I tel que ϕfixe η et toutes les horosph`eres centr´ees enη.

De plus,Hη(∞) =I.

Remarquons que :

1) Les points η1, η2 ∈ ΛΓ sont joignables `a tout point de I^c puisque ΛΓ n’admet pas de points isol´es. En outre, Iet I^c sont stables parϕ.

2) L’´el´ement ϕ ne fixe aucun point de I^c. En effet, supposons le contraire ; pour i = 1,2, consid´erons une g´eod´esiqueσi joignantηi et ξet choisissons un point pi surσi. La conver- gence deϕ⁻ⁿ.p2 versη1et deϕⁿ.p1 versη2entrane l’existence de deux entiers positifsmet ntels que les g´eod´esiques ϕ⁻ⁿ.σ2 et ϕ^m.σ1 se rencontrent dans X en un pointq. Il existe alors deux rayons g´eod´esiques joignant q `a ξ, et ceci est absurde. Ainsi, le point η1 (resp.

η2) est un point fixe attractif pour l’action deϕ(resp.ϕ⁻¹) non seulement surX mais aussi surI^c.

D´emonstration de I.12 -i) Soit p∈X et supposons qu’il existeξ∈]η1, η₂[ tel que ϕξ 6=ξ.

Puisqueη₁etη₂sont fix´es parϕ, le pointϕξ est entreξetη₂ et le rayonσ_pξ se prolonge en une g´eod´esiqueσd’extr´emit´esξet ξ⁰; d’apr`es le lemme I.7 iii), on aξ<sup>0</sup>∈/I puisqueξet ξ<sup>0</sup> sont joints parσ, etϕ(σ) ne rencontre pasσdans ¯X d’apr`es le lemme pr´ec´edent. La bande ferm´ee d´elimit´ee par σ et σ⁰ est un domaine fondamental D pour l’action de ϕ. Comme la fonction t7→ d(σ(t), σ⁰(t)) est convexe et tend vers +∞ lorsque t→ ±∞, l’infimum de la fonction distance de translation en restriction `a σ(R) est r´ealis´e de mˆeme que l’infimum de la fonction distance de translation de ϕsur D, donc surX puisque D est un domaine fondamental. Ceci est absurde puisqueϕest parabolique.

ii) Pourp∈X et n∈Z, posonsun=d(p, ϕⁿp) ; on a Bη1(ϕp, p) = lim

n {d(ϕ⁻ⁿp, ϕp)−d(ϕ⁻ⁿp, p)}

= lim

n {d(ϕⁿ⁺¹p, p)−d(ϕⁿ⁺¹p, ϕ.p)}

= lim

n {un+1−un}

= lim

n (un/n)

= Bη₂(p, ϕp) =−Bη₂(ϕp, p).

La suite (un+1−un)nconverge donc versBη₁(ϕp, p) qui est aussi la limite de ses moyennes de C´esaro : limnun

n, c’est-`a-dire mϕ d’apr`es la Proposition I.3.

iii) Par continuit´e deξ7→Bξ(ϕ.p, p), il existe η∈I tel que (∗) Bη(ϕp, p) = 0.

Montrons queη v´erifiant (∗) est unique et ne d´epend pas du pointpfix´e. Fixonspdans un premier temps ; s’il existait deux points η et η⁰ v´erifiant (∗), l’ensemble ∂H_η(p)∩∂H_η⁰(p) contiendrait toute l’orbite depsous l’action du groupe cyclique< ϕ >, et puisqueϕp6=p, les pointsη et η⁰ seraient joignables, ce qui n’est pas. L’ind´ependance deη par rapport `ap r´esulte de l’unicit´e pr´ec´edente et du fait queBξ(ϕp, p) ne d´epend pas dep, constat´e dans la remarque I.4. L’´egalit´eHη(∞) =I r´esulte de ce que {η1, η2}= (ϕⁿp)_n∈Z\(ϕⁿp)_n∈Z et du

fait queϕpr´eserve les horosph`eres centr´ees enη.

Lemme I.13 -η∈ Hη₁(∞)∩ Hη₂(∞).

D´emonstration de I.13 - Pour p ∈ X fix´e, et i = 1,2, soit J_i ⊂ X(∞) la composante connexe deX(∞)\ {η, σpη(−∞)}qui contientη_i. Pourt≥0, notonsσ_tl’unique g´eod´esique perpendiculaire `aσ_pη enσ_pη(t), v´erifiantσ_t(0) =σ_pη(t) etσ_t(∞)∈J₂. Montrons alors, par l’absurde, queσ_t(−∞)→η₁ etσ_t(∞)→η₂lorsquet→+∞.

La g´eod´esique σ_t(R) ´etant tangente `a l’horosph`ere ∂H_η(σ_pη(t)) en σ_pη(t), on a σ_t(±∞)∈ I^c par convexit´e des horoboules. D’autre part, si t⁰ > t, on a σ_t⁰(−∞) ∈ [σ_t(−∞), η₁[ (et de mani`ere analogue, σt⁰(∞) ∈ [σt(∞), η2[) ; dans le cas contraire, σt(R⁻∗) et σt⁰(R⁻∗) se rencontreraient en x et la somme des angles du triangle de sommets (x, σt(0), σt⁰(0)) exc´ederait π. Par cons´equent, σt(−∞) converge lorsquet →+∞. Notons η_∞ sa limite et supposonsη_∞6=η1. Les pointsη etη_∞sont alors joignables et on a

t→+∞lim ∠σpη(t)(p, η_∞) = 0.

Il existe donct0tel que∠σpη(t0)(p, η_∞)< ^π₂; ceci contredit le fait que∠σpη(t0)(p, σt₀(−∞)) =

π

2 etη_∞∈[σt₀(−∞), η1]. On montre de la mˆeme fa¸con queσt(+∞) converge versη2. Remarque I.14 -Une question naturelle est de savoir si

sup

p∈X∠^x(η1, η2) =π.

Cette ´egalit´e est r´ealis´ee dans le cas des bouts exceptionnels de r´evolution et elle entraˆıne Hη₁(∞)∩ Hη₂(∞) ={η}.(voir la discussion `a la suite de I.17).

I.3 Bouts deS et isom´etries

Si ϕ est une isom´etrie parabolique v´erifiant les hypoth`eses de la Proposition I.12, l’en- semble I<sup>◦</sup> correspondant forme une composante connexe de O(Γ). D’apr`es [9], chacune de ces composantes connexes correspond `a un relev´e d’un bout de S; par ailleurs, la surface S peut poss´eder aussi des bouts ne correspondant `a aucune composante connexe de O(Γ).

Pour plus de clart´e, nous rappelons bri`evement la d´efinition et la classification des bouts de S donn´ee par P. Eberlein (voir [9]) :

D´efinitions I.15 - Un bout de S est la donn´ee d’une fonction Ω qui `a chaque compact K⊂S associe une composante connexe deS\K v´erifiant Ω(K₁)⊆Ω(K₂) siK₁⊇K₂. Un voisinage ouvertU d’un bout Ω est un ouvert de S qui contient Ω(K) pour un certain compactK.

Une suite de points(p_n)_n deS (resp. de courbes ferm´ees(C_n)_n) converge vers un boutΩsi pour tout voisinageU deΩ, tout point p_n (resp. toute courbeC_n) appartient `aU (resp. est contenue dansU) pour nassez grand.

Un bout est dit tubulaire s’il admet un voisinage hom´eomorphe `a R<sup>∗</sup>+×S<sup>1</sup>. Dans ce cas, on appelle param´etrisation tubulaire riemannienne de U un syst`eme de coordonn´ees x : R^∗+×S¹={(r, θ)} →U dans lequel la m´etrique surU s’´ecritdg²=dr²+G²(r, θ)dθ²o`uG est une fonction continue des deux variables et telle que pour toutθ, la fonctionr7→G(r, θ) est deux fois d´erivable et convexe (K=−^G_G^00r ≤0).

Lorsque la fonctionGne d´epend que der, on dira queΩest un bout de r´evolution.

La surface S ´etant suppos´ee de type fini, les bouts de S sont en nombre fini et sont tous tubulaires. P. Eberlein montre qu’un bout Ω poss`ede toujours une param´etrisation rie- mannienne, et que chaque bout est en correspondance biunivoque avec une suite de courbes ferm´ees (Cn)nconvergeant vers ce bout et appartenant `a une mˆeme classe d’homotopie libre.

Associons `a un bout Ω :

1)les classes de conjugaison ΓΩd’´el´ements de Γ, qui sont en correspondance avec les classes d’homotopie libre de courbes ferm´ees dont une suite converge vers Ω. On peut d´emontrer que ΓΩ ={γ.ϕⁿ.γ⁻¹ / γ ∈Γ, n ∈ Z} pour un ´el´ement ϕ ∈ Γ unique `a conjugaison et `a passage `a l’inverse pr`es ([9], prop. 4.4),

2)l’ensembleV(Ω) des pointsv deT₁Stels que, pour tout voisinageU de Ω, il existet₀≥0 avecσ_v([t₀,+∞[)⊂U.

P. Eberlein propose dans un premier temps la classification suivante des bouts deS (voir [9]).

Classification topologique des bouts - SoitΩun bout deSet(C_n)une suite de courbes C^∞ par morceau, homotopiquement non triviales, qui convergent vers Ω. On a les 4 possi- bilit´es suivantes qui s’excluent mutuellement :

(a) l’ensemble V(Ω) est ouvert et il existe une suite de courbes (C_n)_n de longueur uni- form´ement born´ee,

(b)la suite des longueurs n’est major´ee pour aucune suite de courbes (Cn)n,

(c)l’ensemble V(Ω)est d’int´erieur vide et il existe une suite de courbes(Cn)n dont la lon- gueur est uniform´ement born´ee,

(d)l’ensembleV(Ω) n’est pas d’int´erieur vide mais n’est pas ouvert et il existe une suite de courbes(Cn)n de longueur uniform´ement born´ee.

Remarque : Dans le cas (b), l’ensembleV(Ω) est n´ecessairement ouvert (voir [9]).

Si la m´etrique dans le bout est de la formedg²=dr²+G²(r, θ)dθ², lafonction longueur L d´efinie par

L(r) = Z 2π

0

G(r, θ)dθ (r≥0)

est convexe et admet par cons´equent une limite dans R∪ {+∞}. On peut alors classer les bouts deS selon la nature de la fonction longueur :

Classification param´etrique des bouts - SoitΩun bout deS etLla fonction longueur associ´ee naturellement `a la param´etrisation tubulaire deΩ. On a les 4 possibilit´es suivantes qui s’excluent mutuellement :

(a’) la fonctionLest constante pourr assez grand , (b’)la fonctionLtend vers +∞

(c’)la fonctionL est strictement d´ecroissante et tend versl= 0 (d’)la fonctionLest strictement d´ecroissante et tend versl >0 .

P. Eberlein a montr´e que (a)⇒(a⁰) et (b)⇒(b⁰). Il r´esulte aussi de sa discussion que dans les cas (c) et (d), la fonction longueur est strictement d´ecroissante. Dans le cas des bouts de r´evolution, la relation de Clairaut permet aussi de pr´eciser que ces deux cas se distinguent parl= 0 etl >0 respectivement ; autrement dit (c)⇒(c⁰) et (d)⇒(d⁰). Ainsi, les deux classifications pr´ec´edentes sont ´equivalentes dans le cas des bouts de r´evolution et P. Eberlein conjecture que cette propri´et´e reste vraie dans le cas g´en´eral. La proposition C apporte une r´eponse positive `a cette question.

D´emonstration de la Proposition C -. Compte tenu de la proposition 4.5 de [9], il suffit d’´etablir le

Lemme I.16 - Soit Ω un bout de S appartenant aux cas (c) ou (d). Alors V(Ω) est d’int´erieur vide (cas(c)) si et seulement si

l:= lim

r→+∞

Z 2π 0

G(r, θ)dθ= 0.

D´emonstration -SoitI^◦=]η₁, η₂[ une composante connexe deO(Γ) associ´ee `a Ω etϕ∈Γ_Ωune isom´etrie parabolique laissant fixe point par point chaque ´el´ement deI= [η1, η2] et v´erifiant η1 = lim

n→−∞ϕⁿp et η2 = lim

n→+∞ϕⁿp (si ϕ est primitive, elle est unique `a une puissance positive pr`es) . Notonsηl’unique point deItel queϕfixe toutes les horosph`eres centr´ees en

η(lorsqueI est r´eduit `a un point, on aη=η₁=η₂). Avec ces notations, dire queV(Ω) est d’int´erieur non vide, c’est dire queI est d’int´erieur non vide. La d´emonstration du lemme repose essentiellement sur le fait que

l=m_ϕ.

Montrons cette ´egalit´e. Notons C_r (pour r ≥0), la courbe ferm´ee θ 7→(r, θ) (dans la pa- ram´etrisation tubulaire de Ω). Cette courbe se rel`eve en une horosph`ere centr´ee en η que nous noterons ∂Hr. Fixons alors un r´eel t ≥ 0 et un point p de ∂Ht; pour tout n ≥ 1, le segment g´eod´esique σn joignant p `a ϕ<sup>n</sup>p a pour longueur d(p, ϕ<sup>n</sup>p) et on note rn(p) la plus grande valeur du param`etre r telle que σn ∩∂Hr 6= ∅. La fonction r 7→ G(r, θ) est d´ecroissante puisqu’elle est positive, convexe et que r 7→ L(r) est born´ee ; on a alors L(r_n(p)) ≤ d(p, ϕⁿp)

n ≤ L(t). Puisque r_n(p) → +∞ lorsque n tend vers +∞, il vient l≤m_ϕ≤L(t) ; la valeur de t´etant arbitraire on a bien l’´egalit´e annonc´ee.

Utilisons maintenant la Proposition I.12 ii) et la remarque I.4. Pour tout n ∈ Z, on a nl=B_η1(ϕⁿp, p) =−B_η2(ϕⁿp, p) ; lorsquel >0, la fonction q7→B_η1(q, p)−B_η2(q, p) n’est pas born´ee doncη₁6=η₂; en revanche, lorsque l= 0, l’isom´etrieϕpr´eserve les horosph`eres centr´ees enη1 etη2et l’on aη1=η2=η d’apr`es la Proposition I.12iii).

Nous pouvons adopter la

D´efinition I.17 - Un bout ΩdeS est dit : cylindrique dans les cas(a) ou(a⁰), expansif dans les cas(b) ou(b⁰),parabolique simple dans les cas(c)ou (c⁰) etparabolique excep- tionnel dans les cas(d)ou(d⁰)

Pour terminer ce paragraphe, rappelons qu’`a chaque composante connexe C de O(Γ), on associe naturellement un bout de S. En effet, siσ est un rayon g´eod´esique de X v´erifiant σ(+∞) ∈ C, il existe un bout Ω de S tel que la projection de σ sur S converge vers Ω.

Dans le cas contraire, il existerait un compactK⊂X, une suitetn →+∞et une suite (γn) d’´el´ements distincts de Γ tels que γ_n.σ(t_n) ∈ K ou encore σ(t_n) ∈ γ_n⁻¹.K. D’autre part, quitte `a extraire une sous-suite, on aγ<sub>n</sub><sup>−1</sup>.K→ξ∈Λ<sub>Γ</sub>, ce qui contredit le fait queσ(+∞) appartient `a C.

Dans [9], P. Eberlein a donn´e une description pr´ecise de cette correspondance entre compo- santes connexes deO(Γ) et bouts deS, reli´ee `a la nature des ´el´ements de Γ. En particulier, si ϕest une isom´etrie parabolique exceptionnelle, les horosph`eres centr´ees au point privil´egi´eη se projettent sur les courbesCr:θ7→G(r, θ) introduites dans la d´emonstration pr´ec´edente, et ces courbes bordent un voisinage du bout, tandis que les courbesr 7→G(r, θ), `a θ fix´e, admettent un relev´e qui est un rayon g´eod´esique repr´esentant ce mˆeme point privil´egi´e. De plus, lorsque le bout est de r´evolution, les horosph`eres centr´ees enη (le point fixe privil´egi´e) se projettent sur les parall`eles et la relation de Clairaut s’´ecritf(v) cosθv=lpour un rayon g´eod´esique qui se rel`eve en un rayon repr´esentant la direction limite. Lorsque v → +∞, f(v)→l doncθv →0 et∠π⁻¹(x(v,u)(η1, η2) =π−2θv→πlorsquev→+∞ce qui entraˆıne Hη1(∞)∩ Hη2(∞) ={η}dans ce cas. Il semble que cette derni`ere ´egalit´e reste vraie dans le cas g´en´eral mais ceci n’est pas d´emontr´e (voir remarque I.14).

En revanche, on peut associer une isom´etrie axiale `a un bout si et seulement si cette isom´etrie fixeglobalementl’adh´erence d’une composante connexe deO(Γ) et elle la fixe point par point si et seulement si le bout est cylindrique. Enfin, une isom´etrie parabolique simple n’est reli´ee

`

a aucune composante connexe.

Ainsi, les couples de points qui ne peuvent pas ˆetre joints par une g´eod´esique sont dans l’adh´erence d’une mˆeme composante connexe de O(Γ) correspondant `a un parabolique ex- ceptionnel, ou, ´eventuellement, dans une mˆeme composante connexe deO(Γ) correspondant

`

a un bout expansif ou cylindrique.

I.4 Action deΓ sur ΛΓ

Notons ΛΓ

×∆ ΛΓ le produit cart´esien de l’ensemble limite, priv´e de la diagonale. Nous pr´ecisons dans un premier temps la dynamique topologique de l’action de Γ sur son ensemble limite :

Lemme I.18 -Soitη∈ΛΓ; il existe une suite (γn)n∈N et au plus deux pointsη0, η1∈ΛΓ

tels que pour tout pointξ∈ΛΓ\ {η0, η1}, on a

n→+∞lim γ_n.ξ=η.

En particulier, l’action deΓ sur son ensemble limite est minimale.

D´emonstration -Soit (¯γk)k une suite d’´el´ements de Γ telle que ¯γk.p→η lorsque k→+∞.

Supposons qu’il existeη0 ∈ΛΓ tel que ¯γk.η0 6→η. Il existe alors une sous-suiteγn := ¯γk_n

telle que γn.η0 → η⁰ 6= η. Le point η0 est joignable `a tout point de ΛΓ sauf peut-ˆetre un pointη1 et dans ce cas η0, η1 bordent tous deux une mˆeme composante connexe associ´ee `a un bout parabolique exceptionnel. Soitσune g´eod´esique joignantη0`a ξ∈ΛΓ\ {η0, η1} et V(η) un voisinage ferm´e deη dans ¯X bord´e par une g´eod´esique. Supposons que γ<sub>n</sub>ξ 6→η; quitte `a extraire une sous-suite, on peut supposer queγ_nξ→η⁰⁰6=η. La suite de g´eod´esiques σ_n(R) :=γ_n(σ(R)) rencontre n´ecessairement l’int´erieur deV(η) pournassez grand puisque γ_n.σ(0)→η et ses extr´emit´es sont en dehors de V(η) puisqueη⁰ et η⁰⁰ sont distincts deη.

Donc, pour n assez grand, les points d’entr´ee et de sortie de σ_n dans V sont conjugu´es ; ceci est absurde. Conservons les notations pr´ec´edentes ; pour montrer la minimalit´e, il suffit de montrer que la trajectoire de tout point ξ ∈ ΛΓ sous l’action de Γ rencontre V(η)∩X(∞) pour tout pointη ∈ΛΓ. Fixons ce dernier point ainsi queV(η) et soientη0, η1

les deux points ´eventuellement d´efinis par la discussion pr´ec´edente. Si ξ ∈ ΛΓ\ {η0, η1}, on a {γn.ξ ; n ∈ N} ∩V(η) 6= ∅. Si les deux points η0 et η1 existent effectivement et si ϕ est une isom´etrie axiale quelconque, ϕ({η0, η1})∩ {η0, η1} = ∅, donc, pour i = 0,1, on a {(γnϕ).ηi ; n ∈ N} ∩V(η) 6= ∅. S’il n’existe qu’un seul point η0 tel queγn.η0 6→ η, le raisonnement pr´ec´edent vaut encore en choisissant une isom´etrieϕqui ne fixe pasη0. Remarque I.19 -On d´eduit sans difficult´e de la minimalit´e de l’action que toute paire de points (ξ, η)∈Λ²_Γ est Γ-duale, c’est-`a-dire qu’il existe une suite (γ_n) d’´el´ements de Γ telle que pour tout pointp∈X, on aγ_n.p→ξetγ_n⁻¹.p→η. C’est en g´en´eral cette propri´et´e de Γ-dualit´e qui permet d’obtenir la minimalit´e de l’action de Γ sur son ensemble limite (voir [10] Prop. 1.9.13 et [12]).

Soit γ une isom´etrie axiale et σ un axe orient´e de γ. Les points deX(∞) :σ(±∞) = lim_n→±∞γⁿ.p ne d´ependent pas de l’axe choisi et on les note γ^±. On d´eduit du r´esultat pr´ec´edent le

Corollaire I.20A={(γ⁺, γ⁻) ; γ isom´etrie axiale} est dense dansΛΓ×ΛΓ. D´emonstration [1] -Il suffit de montrer la densit´e dans ΛΓ

∆×ΛΓ. SoitU et V deux ouverts non vides de ΛΓ, d’intersection vide. Soit γ₀⁺ le point fixe attractif d’une isom´etrie axiale.

D’apr`es le lemme pr´ec´edent, l’orbite sous Γ deγ<sup>+</sup><sub>0</sub> rencontreU. Elle est constitu´ee de points fixes attractifs donc il existeγ isom´etrie axiale telle que γ<sup>+</sup>∈U. Soit g ∈Γ une isom´etrie dont les points fixes ne sont pas ceux deγ. Pour n∈N assez grand, les deux points fixes attractif et r´epulsif de l’isom´etrie axialea:=γ<sup>n</sup>gγ<sup>−n</sup> sont dansU. On construit de la mˆeme mani`ere une isom´etrie axialeb dont les deux points fixes sont dansV. Pour massez grand, on a a^m(V) ⊂ a^m(U^c) ⊂U et b^m(U) ⊂ b^m(V^c)⊂ V. Par cons´equent, a^mb^m(U) ⊂ U et a^mb^m(V)⊂V donc, par le th´eor`eme du point fixe, l’isom´etrie axialea^mb^m admet un point

fixe dansU et un point fixe dansV.

Remarque I.21 - Une isom´etrie est dite axiale hyperbolique si elle admet un axe qui ne borde pas de demi-plan plat. Les seules isom´etries axiales qui ne sont pas hyperboliques

sont les relev´es des rotations d’angle 2kπ(k ∈Z) dans les bouts cylindriques (pour la pa- ram´etrisation tubulaire riemannienne). Ainsi, dans l’´enonc´e du corollaire I.20, on peut se restreindre aux isom´etries axiales hyperboliques. De ce corollaire, on d´eduit alors, comme dans [10], Prop. 4.5.15, lelemme de fermeture: si >0 est assez petit, s’il existeU⊂T₁S voisinage dev de diam`etre inf´erieur ou ´egal `aett∈Rtel que g_t(v)∈U, on peut trouver v⁰ ∈ U et t⁰ ∈ [t−, t+] tel que g_t⁰(v⁰) = v⁰. Ce lemme de fermeture est utile pour d´emontrer le Th´eor`eme A.

II - Produit de Gromov et birapport

II.1 - Une pseudo-distance sur l’ensemble limite

Le produit de Gromov de deux pointsqetrdeXvus d’un pointpest la quantit´e positive (q|r)p= 1

2

d(p, q) +d(p, r)−d(q, r)

L’interpr´etation g´eom´etrique est la suivante : si Sp(q) et Sp(r) sont respectivement les sph`eres de centre q et r passant par p, le segment g´eod´esique σqr rencontreSp(q)∪Sp(r) en deux points x, y et l’on a (q|r)p = d(x, y)/2. Il r´esulte de l’in´egalit´e triangulaire que 0≤(q|r)p≤d(p, σ_qr) ; d’autre part, pour toutγ∈Is(X), on a (γq|γr)γp= (q|r)p.

Lorsque la courbure de X est major´ee par −a² avec a > 0, on peut prolonger de fa¸con continue le produit de Gromov sur X(∞)×X(∞)\Diagonale, prolongement dont l’in- terpr´etation g´eom´etrique est la suivante : siξet ξ⁰ sont deux points quelconques deX(∞), la demi-longueur du segment g´eod´esique (ξξ⁰)∩ H_ξ(p)∩ H_ξ⁰(p) vaut (ξ|ξ⁰)_p. D’autre part, l’application

Dp : X(∞)×X(∞) → R⁺

(ξ, η) 7→

e^−a(ξ|η)p si ξ6=η

0 si ξ=η

est une distance (voir [5]). L’int´ert majeur de cette famille de distances (index´ee parp∈X) est qu’elle permet de d´efinir une structure conforme surX(∞). En effet, les isom´etries de X agissent comme des transformations conformes sur (X(∞), Dp), comme il r´esulte de la formule des accroissements finis :

D_p(γ.ξ, γ.ξ⁰) =|γ⁰(ξ)|^1/2_p |γ⁰(ξ⁰)|^1/2_p D_p(ξ, ξ⁰), (AF) le facteur conforme enξ∈X(∞) pour l’action deγ∈Is(X) sur le bord ´etant

|γ⁰(ξ)|p:= lim

ξ⁰→ξ

Dp(γ.ξ, γ.ξ⁰)

D_p(ξ, ξ⁰) =e^{−aBξ(γ−1p,p)}

comme il r´esulte de la formule de cocycle v´erifi´ee par les fonctions de Busemann (voir encore [5] pour l’int´ert de consid´erer une structure conforme sur le bord).

Dans notre contexte, la pr´esence de bouts cylindriques ou paraboliques exceptionnels produit des ph´enom`enes singuliers que nous allons pr´eciser. Toutefois, il est possible de construire par un proc´ed´e analogue une famille d’applications (Dp)<sub>p∈X</sub>continues sur ΛΓ×ΛΓ, en d´efinissant un produit de Gromov `a valeurs dansR⁺∪ {+∞}. Pourpfix´e, l’application Dp n’est pas une distance sur l’ensemble limite mais satisfait encore une in´egalit´e des ac- croissements finis, puisque cette derni`ere se d´eduit m´ecaniquement des propri´et´es de cocycle et d’invariance des fonctions de Busemann, valables sans restriction sur la courbure.

D´emonstration du Th´eor`eme B - Dans le courant de la d´emonstration,ξ, ξ<sup>0</sup> d´esignent deux points distincts de ΛΓ, et (qn)n, (rn)n deux suites de points deX convergeant respec- tivement versξet ξ<sup>0</sup>; on notera alorsσn l’unique g´eod´esique joignantqn `arn. Lorsqueξ et ξ⁰ bordent une composante connexe deO(Γ) associ´ee `a un bout cylindrique ou parabolique