E663- (Hen)icosagonalement vôtre [**** à la main]
Q1 - Parmi les sommets de l’icosagone, polygone régulier de 20 côtés, trouver le plus grand nombre possible de points de telle sorte que pris trois par trois, ils ne forment jamais un triangle isocèle.
Q2 - Parmi les sommets de l’henicosagone, polygone régulier de 21 côtés, trouver le plus grand nombre possible de points de telle sorte que les distances qui séparent ces points pris deux à deux sont toutes différentes.
Dans chacun des deux cas, donner un exemple de la configuration correspondante.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
On peut placer 8 points tels que pris trois par trois ils ne forment jamais un triangle isocèle.
La figure montre que les distances d'un point aux autres sont toutes différentes.
Le point n'est donc pas le sommet d'un triangle isocèle complété par deux autres points.
Et par le jeu des symétries, c'est vrai pour tous les points.
Q2
Il existe 10 distances différentes entre sommets dans l'hénicosagone.
N points représentent un jeu de N(N-1)/2 segments.
Pour qu'ils soient tous de longueurs distinctes, il faut que N(N-1)/2 ≤ 10 soit N ≤ 5.
La figure ci-dessous montre que c'est réalisable avec 5 points .
Les valeurs indiquées sont les longueurs des segments pour un côté d'hénicosagone de 1.
