D1870. Bon ménage
Calcul mental et géométrie peuvent faire bon ménage. Ainsi dans ces sept exercices tout simples, la clé géométrique permet de poursuivre les calculs de tête. Relevez le défi et justifiez chacune de vos réponses en trois ou quatre lignes, pas plus.
E1 Soit un triangle ABC dont I est centre du cercle inscrit. Le cercle de centre I et de rayon AI coupe le côté BC en deux points D et E . On connaît les longueurs AB = 987, AC = 1234 et DE = 202. Que vaut BC ?
E2 Soit un rectangle ABCD tel que AB = 2BC. On trace le point M du côté AB tel que MD est la bissectrice de l’angle AMC. Que vaut l’angle AMD ?
E3 Soit un rectangle ABCD. On trace deux droites perpendiculaires passant par B. L’une coupe le côté AD au point K et l’autre coupe la droite DC au point L. Soit F l’intersection des droites AC et KL. On suppose que BK = 13 et FK = 12.
Que vaut BF ?
E4 Soit le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs AB = 15, BC = 14 et CA = 13. On trace le point P de BC tel que la somme des aires des cercles circonscrits aux triangles ABP et ACP est minimale. Que vaut BP ?
E5 Soit un triangle ABC dont l’angle en A est aigu. Le cercle de diamètre BC coupe AC en D et AB en E. On suppose que BC = 10, AE = BE et 7AD = 18CD. Que vaut l’aire du triangle ABC ?
E6 On trace un point P sur le petit arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. La droite AP coupe BC au point Q. On suppose que PQ = 673 et PC = 4038. Que vaut PB ?
E7 Soit ABC un triangle rectangle en A. Les bissectrices issues de B et de C coupent AC en D et AB en E. Les points M et N sont les projections de D et de E sur BC. Que vaut l’angle MAN ?
Solutions proposées par Gaston Parrour
E1 Soit un triangle ABC dont I est centre du cercle inscrit. Le cercle de centre I et de rayon AI coupe le côté BC en deux points D et E . On connaît les longueurs AB = 987, AC = 1234 et DE = 202. Que vaut BC ?
En mesures algébriques : BC = BE + ED + DC (1) En longueurs : par symétrie par rapport à BI → BD = BD' = x par symétrie par rapport à CI → CE = CE' = y Puissances par rapport au cercle de rayon AI BD.BE = BD'.BA → BE = BA (longueurs)
et CE.CD = CE'.CA → CD = CA (longueurs) Donc en mesures algébriques (signes cohérents) BC = 987 – 202 + 1234 = 2019
E2 Soit un rectangle ABCD tel que AB = 2BC. On trace le point M du côté AB tel que MD est la bissectrice de l’angle AMC. Que vaut l’angle AMD ?
∠ AMD = ∠ DMC et ∠ AMD = ∠ MDC → triangle DCM isocèle sin (∠ BMC) = BC/CM = 1/2 → ∠ BMC = 30°
d'où ∠ AMD = 75°
E3 Soit un rectangle ABCD. On trace deux droites perpendiculaires passant par B. L’une coupe le côté AD au point K et l’autre coupe la droite DC au point L. Soit F l’intersection des droites AC et KL. On suppose que BK = 13 et FK = 12.
Que vaut BF ?
quadrilatère KBLD inscriptible ∠ BDL = ∠ BKL
dans le rectangle : ∠ BDL = ∠ BAC et ainsi ∠ BKF = ∠ BAF
→ A et K sont sur l'arc capable de BF
K A B F cocycliques → BF perpendiculaire à KF alors BF² = KB² – KF² → BF = 5
A
B C
D E
I E'
D'
A B
D C
M
A B
D C K
L
F
E4 Soit le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs AB = 15, BC = 14 et CA = 13. On trace le point P de BC tel que la somme des aires des cercles circonscrits aux triangles ABP et ACP est minimale. Que vaut BP ?
Avec R1 rayon du cercle circonscrit à ABP
et alpha = ∠ APB → AB / sin(alpha) = 2R1 De même avec le triangle ACP et R2 le rayon de son cercle circonscrit
→ AC / sin (PI – alpha) = 2R2 La somme des aires des 2 cercles est minimale lorsque
(AB² + AC²) / sin² (alpha) est minimale donc → sin² (alpha) = 1 d'où | AB² – AC² | = |BP² – (BC – PC)²| = BC x |2BP – BC| A.N. BP = 9
E5 Soit un triangle ABC dont l’angle en A est aigu. Le cercle de diamètre BC coupe AC en D et AB en E. On suppose que BC = 10, AE = BE et 7AD = 18CD. Que vaut l’aire du triangle ABC ?
M centre du cercle → EM est une droite des milieux : avec EM = 5 → AC = 10 Avec AC = AD + DC et 7AD = 18DC → DC = 14 / 5 triangle BDC rectangle en D → BD² = BC² – DC² BD = 48 /5
aire ABC = AC x BD / 2 = 48
E6 On trace un point P sur le petit arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. La droite AP coupe BC au point Q. On suppose que PQ = 673 et PC = 4038. Que vaut PB ?
AB = AC = BC = a PB = x PQ = d1 PC = d2
Angles inscrits ∠ BPA = ∠ APC = 60°
→ PA bissectrice de ∠ BPC dans le triangle BPC , divise le côté BC dans le rapport des côtés adjacents
QB / x = QC / d2 = (a – QB) /d2 (1) Les triangles BQA et PQC avec 2 angles égaux sont semblables : PQ / QC = BQ / AB soit d1 / d2 = QB / a (2) Par élimination de QB entre (1) et (2) on a
1/x + 1/d2 = 1/d1 → 1/x = 1/d1 – 1/d2 A.N. x = PB = 807.6
E7 Soit ABC un triangle rectangle en A. Les bissectrices issues de B et de C coupent AC en D et AB en E. Les points M et N sont les projections de D et de E sur BC. Que vaut l’angle MAN ?
Les angles droits en A et M → quadrilatère A D M B inscriptible d'où ∠ MAD = ∠ MBD = ∠ ABC / 2 Les angles droits en A et N → quadrilatère A C N E inscriptible d'où ∠ NAE = ∠ NCE = ∠ ACB / 2
∠ MAN = 90° - ( ∠ ABC + ∠ ACB) / 2 = 45°
