D1834. La saga des dichotomies (6ième épisode)
Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que PQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales. Quand P parcourt les trois côtés du triangle, déterminer le lieu du milieu M du segment PQ.
Solution de Gaston Parrour
Notations Les côtés du triangle sont AB = c BC = a CA = b
P et Q en caractère gras sont les positions courantes des points P et Q de l'énoncé
Sur la figure ci-dessus on a ainsi PB + BQ = p en désignant par p le demi-périmètre (2p = a+b+c) On suppose dans la suite (sans réduire la généralité) que P parcourt le périmètre du triangle dans le sens direct
Avec cela :
lorsque P est en A , Q est en Qa défini par AB + BQa = p soit BQa = p – c
Qa est nécessairement entre B et C puisque dans tout triangle b < a+c soit b/2 < (a+c)/2 donc p < a+c et p-c < a
→ ma est le milieu de AQa
lorsque P commence à se déplacer vers B sur le long de AB, Q se déplace vers C
lorsque Q arrive en C , P est en Pc défini par PcB + BC = p soit PcB = p-a Avec le même raisonnement que pour Qa ci-dessus, Pc est nécessairement entre A et B → mc est le milieu de CPc
lorsque P se déplace depuis Pc en direction de B Q se déplace sur CA en direction de A lorsque P arrive en B Q est en Qb défini par BC + CQb = p
Qb est entre C et A et on définit → mb milieu de BQb
A
B Qa C
Pc ma
mc Qb
mb P
Q c
b
a
Ensuite Q va de Qb jusqu'à A pendant que P se déplace sur BC à partir de B
Lorsque Q est en A, P est en Qa (car cette situation est celle du départ : un point en A et donc l'autre en Qa )
→ le milieu de ce segment AQa est donc à nouveau le point noté ma sur la figure.
A partir de là , on peut dire que P et Q ''échangent leur rôle'' . Et donc lorsque Q et P continuent leur déplacement jusqu'à ce que P rejoigne le point A (son point de départ initial),
→ la courbe décrite par le milieu M de PQ passe à nouveau successivement par ma, mc et mb ==> La courbe (ma mb mc) est décrite DEUX fois par M lorsque P parcourt le périmètre du triangle ABC Précisons la courbe passant par ma , mc , mb
Montrons que la courbe joignant ma à mc est la droite passant par ces points (en rouge sur la figure) J'utilise les coordonnées trilinéaires
Note : Les coordonnées trilinéaires d'un point M interne à un triangle ABC sont homogènes aux distances ha, hb, hc de ce point aux côtés a b et c du triangle.
Si le point considéré est intérieur au triangle, ses coordonnées trilinéaires sont, à une constante arbitraire près, les trois distances considérées (si le point est extérieur au triangle, la distance à un coté considéré est
comptée négativement si le triangle et le point sont de part et d'autre de ce côté).
Pour tenir compte du fait que ces coordonnées sont définies à une constante près on les notera (x:y:z) avec x = k.ha, etc … k constante arbitraire commune aux trois coordonnées.
→ On s'intéresse au premier parcours [ ma mc ] du point M milieu de PQ :
P part de A et se déplace sur AB , Q de Qa (et se déplace sur BC) → le milieu M se déplace de ma vers mc → Tant que P n'a pas atteint Pc (donc Q n'a pas atteint C) on a :
PB = x la distance de P à B , BQ= y distance de Q à B sur BC avec x+ y = p Les coordonnées trilinéaires de P , homogènes à ses distances aux côtés a b c , sont :
P → (x sinB : (c-x) sinA : 0) De même celles de Q sont :
Q → (0 : (a-y) sinC : y sinB)
N.B les ''A'' ''B'' et ''C'' dont on prend le sinus, désignent ici les angles du triangle, en A , B et C Les coordonnées trilinéaires du milieu M de PQ sont homogènes à la demi-somme des coordonnées trilinéaires correspondantes de P et de Q Le facteur 1/2 , présent dans ces trois termes, peut être omis les coordonnées trilinéaires de M sont homogènes à :
M → (x sinB : (c-x) sinA + (a-y) sinC : y sinB) (1) Avec la relation (1) : coordonnées trilinéaires de ma et de mc
si P en A (et Q en Qa) x = c y = p – c
ma → ( c sinB : (a+c-p) sinC : (p-c) sinB) (2) si P en Pc (et Q en C) y = a x = p-a
mc → ( (p-a) sinB : (a+c-p) sinA : a sinB) (3)
→ les trois points ma, mc et le point courant M sont alignés si et seulement si le déterminant D de leurs coordonnées trilinéaires est nul
| c sinB (a+c-p) sinC (p-c) sinB | | | D = | (p-a) sinB (a+c-p) sinA a sinB | | | | x sinB (c-x) sinA + (a-y) sinC y sinB |
En multipliant la première ligne de D par (a-y), on fait apparaître en terme médian (a-y) sinC ( comme dans le terme médian de la troisième ligne de D) et D est alors multiplié par (a-y) D → D' = (a-y) D En multipliant la seconde ligne de D par (c-x), on fait apparaître en terme médian (c-x) sinA (comme dans le terme médian de la troisième ligne de D) D ' est alors multiplié par (c-x) D' → D'' = (c-x) D' N.B. La troisième ligne de D'' n'a pas changé, elle est identique à la troisième ligne de D
La combinaison linéaire suivante entre les deux premières lignes de D''
''Comb'' → ligne 1 + ligne 2 , peut remplacer l'une des lignes de D'' En explicitant ''Comb'' ci-dessus on obtient la nouvelle ligne suivante
[ c(a-y) + (p-a)(c-x) ] sinB (a+c-p) [(c-x) sinA + (a-y) sinC] [(p-c)(a-y) + a (c-x)] sinB Les crochets des deux termes extrêmes s'explicitent (avec x+ y = p) en
c(a-y) + (p-a)(c-x) = (a+c-p)(x sinB) (p-c)(a-y) + a (c-x) = (a+c-p)(y sinB)
En remplaçant comme il a été dit une des deux premières lignes de D'' par celle-ci qui s'écrit
(a+c-p)(x sinB) (a+c-p) [(c-x) sinA + (a-y) sinC] (a+c-p)(y sinB) , → on obtient un déterminant D'' avec deux lignes proportionnelles donc
→ D'' est nul et donc D est nul
==> le point milieu courant M considéré ici entre ma et mc , est aligné avec ma et mc
Ce qui est dit pour M lorsque P est entre A et Pc se reconduit à l'identique lorsque P se déplace entre Pc et B (et Q entre C et Qb) (voir figure et notations ci-dessus) ; M est alors entre mc et mb :
→ le milieu M de PQ est sur le segment de droite [mc mb]
De même, lorsque Q se déplace entre Qb et A et donc P entre B et Qa, → le milieu M de PQ parcourt le segment de droite [mb ma ]
==> La courbe parcourue par le milieu M de PQ est donc le triangle ma mc mb (dans ce sens avec P qui se déplace ici dans le sens direct sur le périmètre de ABC)
N.B. Quand à partir de P en Qa (et Q en A), P poursuit son parcours vers C pour finalement revenir en A dans la direction de AB après un parcours complet du périmètre de ABC, on a vu ci-dessus que la courbe
passant par les trois points ma mc mb est parcourue une seconde fois.
==> le triangle ma mc mb est parcouru deux fois quand P parcourt le périmètre de ABC Cela permet de préciser ce triangle ma mb mc
Partant de A pour P et de Qa pour Q ,
→ Le déplacement de M milieu de PQ cesse selon [ma mc] lorsque Q cesse de se déplacer selon BC : La trajectoire de Q subit alors une rotation R1 égale à pi – ang C (Q parcourt alors CA)
Cela se traduit pour le milieu M par une rotation de la trajectoire initiale [ma mc] en [mc mb] d'un angle qui est nécessairement lié à R1
→ ang (ma mc mb) = K R1
→ Le déplacement de M selon [mc mb] cesse lorsque P arrive en B (Q est alors en Qb) La trajectoire de P subit alors une rotation R2 = pi – ang B (puis P parcourt BC)
Cela se traduit par une rotation de [mc mb] en [mb ma] liée de la même façon à R2 → ang (mc mb ma) = K R2
→ Puis le déplacement de M selon [mb ma] cesse pour repasser en [ma mc] lorsque Q qui se déplace selon CA arrive en A La trajectoire de Q subit alors une rotation R3 = pi – ang A (puis Q parcourt AB) , et donc ici encore
→ ang (mb ma mc) = K R3 Au bilan on a
somme des trois angles du triangle ma mb mc = pi = K (R1+R2+R3) = K (3pi – ang A -ang B -ang C) ==> K = 1/2
Les angles du triangle ma mb mc , sont donc ang (ma mc mb) = (pi – ang C) /2 ang (mc mb ma) = (pi – ang B) /2 ang (mb ma mc) = (pi – ang A) /2 Conclusion :
Le lieu du milieu M du segment PQ lorsque P parcourt le périmètre du triangle ABC est un triangle ma mb mc interne à ABC. Ce triangle est parcouru 2 fois.
Ses sommets sont les milieux des 3 segments ''PQ'' particuliers : issus respectivement de A , de B et de C Ses angles sont moitiés des suppléments des angles en A , B et C du triangle ABC.
