Première S Exemple de corrigé du DM6. Page n ° 1 2007 2008
E1
ABC est un triangle.
I est le milieu du segment [ AB ].
K et L sont les points tels que ÄBK = 3
5 ÄBC et ÄAL = 3 ÄAC .
1. a ) Démontrons que ÄIK = - 1
10 ÄAB + 3 5 ÄAC ÄIK = ÄIB + ÄBK = 1
2 ÄAB + 3
5 ÄBC = 1
2 ÄAB + 3
5 ÄBA + 3
5 ÄAC = - 1
10 ÄAB + 3 5 ÄAC b ) De la même manière, exprimons ÄIL en fonction des vecteurs ÄAB et ÄAC .
ÄIL = ÄIA + ÄAL = - 1
2 ÄAB + 3 ÄAC
c ) Déduisons en que les points I, J et K sont alignés.
10 ÄIK = - ÄAB + 6 ÄAC et 2 ÄIL = - ÄAB + 6 ÄAC donc 10 ÄIK = 2 ÄIL . Donc les vecteurs ÄIK et ÄIL sont colinéaires.
Donc les points I, K et L sont alignés.
Première S Exemple de corrigé du DM6. Page n ° 2 2007 2008
2. a ) I est le milieu du segment [ AB ] donc ÄBI = 1
2 ÄBA ⇔ 2 ÄBI − ÄBA = Å0 ⇔ 4 ÄBI − 2 ÄBA = Å0.
donc B est le barycentre de ( I ; 4 ) ; ( A ; − 2 ).
Et ÄAL = 3 ÄAC ⇔ ÄAC + ÄCL − 3 ÄAC = Å0 ⇔ − 2 ÄAC + ÄCL = Å0 ⇔ 2 ÄCA + ÄCL = Å0 Donc C est le barycentre de ( A ; 2 ) ; ( L ; 1 ).
ÄBK = 3
5 ÄBC ⇔ 5 ÄBK = 3 ÄBC ⇔ 5 ÄBK − 3 ÄBK − 3 ÄKC = Å0 ⇔ 2 ÄBK + 3 ÄCK = Å0 Donc K est le barycentre de ( B ; 2 ) ; ( C ; 3 ).
b ) En utilisant l'associativité du barycentre, le barycentre de ( I ; 4 ) ; ( A ; − 2 ) ( A ; 2 ) ; ( L ; 1 ) Est le barycentre de ( B ; 4 − 2 ) ; ( C ; 2 + 1 ) autrement dit ( B ; 2 ) ; ( C ; 3 ).
Donc K est le barycentre de ( I ; 4 ) ; ( A ; − 2 ) ( A ; 2 ) ; ( L ; 1 ) . c ) K est le barycentre de ( I ; 4 ) ; ( A ; − 2 ) ( A ; 2 ) ; ( L ; 1 )
donc 4ÄKI − 2 ÄKA + 2 ÄKA + 1 ÄKL = Å0 ⇔ 4 ÄKI = − ÄKL .
Donc les vecteurs ÄKI et ÄKL sont colinéaires. Autrement dit les points I, K et L sont alignés.
3. ( A ; ÄAB , ÄAC ) est un repère du plan.
I est le milieu de [ AB ] donc I a pour coordonnées ( 0,5 ; 0 ) dans le repère ( A ; ÄAB , ÄAC ) Or K est le barycentre du système ( B ; 2 ) ; ( C ; 3 ).
Donc les coordonnées de K sont xK = 1
5 ( 2 × 1 + 3 × 0 ) = 2
5 et yK = 1
5 × ( 2 × 0 + 3 × 1 ) = 3 5 . K a pour coordonnées ( 2
5 ; 3
5 ) dans le repère ( A ; ÄAB , ÄAC )
ÄAL = 3 ÄAC donc L a pour coordonnées ( 0 ; 3 ) dans le repère ( A ; ÄAB , ÄAC ) ÄIK a pour coordonnées ( 2
5 − 1 2 ; 3
5 ) cad ( - 1 10 ; 3
5 ) ÄIL a pour coordonnées ( 0 − 0,5 ; 3 − 0 ) cad ( - 1
2 ; 3 ).
xy' − yx' = - 1
10 × 3 − 3
5 × ( - 0,5 ) = 0.
Donc les vecteurs ÄIK et ÄIL sont colinéaires.
Donc les points I, K et L sont alignés.
Première S Exemple de corrigé du DM6. Page n ° 3 2007 2008
E2 ABC est un triangle tel que AC = 12 ; AB = 10 et BC = 8.
I est le milieu du segment [ AC ].
1. 1 + 2 + 1 ≠ 0 donc le barycentre G de ( A ; 1 ) ; ( B ; 2 ) ; ( C ; 1 ) existe.
D'après l'associativité, G est le barycentre de ( I ; 2 ) ; ( B ; 2 ).
Autrement dit G est le milieu du segment [ IB ].
2. a ) D'après la propriété fondamentale, ÄMA + 2 ÄMB + ÄMC = 4 ÄMG.
Donc l'ensemble des points M tels que
→
→ +
→ +
MC MB 2
MA
=→
AC
est l'ensemble des points M tels que 4 GM = AC = 12 ⇔ GM = 3.Autrement dit cet ensemble est le cercle de centre G et de rayon 3.
b ) D'après la propriété fondamentale, ÄMA + ÄMC = 2 ÄMI . Donc l'ensemble des points M tels que
→
→ +
→ +
MC MB 2
MA
=→ →
+2MC MA
2 est l'ensemble des
points M tels que 4 GM = 2 × 2 IM ⇔ GM = IM.
Autrement dit cet ensemble est la médiatrice du segment [ GI ].
3. a ) 1 + m + 1 = 0 ⇔ m = - 2.
Gm est le barycentre lorsqu'il existe de ( A ; 1 ) ; ( B ; m ) ; ( C ; 1 ).
Donc l'ensemble E des valeurs de m pour lesquels Gm existe est − { − 2 }.
b ) D'après l'associativité, Gm est le barycentre de ( I ; 2 ) ; ( B ; m ).
Donc Gm se situe sur la droite ( IB ).
Lorsque m = 0 alors G0 est le point tel que 2 ÄIG0 = Å0 alors G0 est confondu avec le point I.
Supposons que G soit confondu avec le point B, alors on aurait
2 ÄIG + m ÄBG = Å0 ⇔ 2 ÄIB = Å0 ⇔ I = B ce qui est impossible car ABC est un triangle.
Donc l'ensemble des points Gm est la droite ( IB ) privée du point B lorsque m ∈ E.
