Corrigé du DM6

(1)

Mathématiques Devoir maison n°6 Seconde 2 N°85 p 286: Alignements dans un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme. I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AD].

K est le point d'intersection des droites (ID) et (BJ). On veut montrer que les points A, K et C sont alignés.

Méthode 1: Utilisation d'une configuration a)

Dans le triangle ABD, on a:

J milieu de [AD] et I milieu de [AB]

(BJ) et (DI) sont sécantes en K Or:

Si une droite passe par le sommet d'un côté d'un triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet, alors cette droite est une médiane du triangle. (1)

Donc:

(DI)et (BJ) sont deux médianes du triangle ABD, issues respectivement de D et de B.

De plus, les médianes d'un triangle sont sécantes en un seul point appelé le centre de gravité du triangle (2) ; Ici, les médianes (DI) et (BJ) sont sécantes en K, c'est donc le centre de gravité du triangle ABD.

b)

Dans le triangle ABD, on a:

I milieu de [AB]

J milieu de [AD]

O milieu de [BD] (car c'est le point d'intersection des diagonales du parallélogramme ABCD) Les médianes (DI) et (BJ) sont sécantes en K, centre de gravité du triangle ABD.

Or:

Si on trace (OA), elle sera nécessairement la médiane issue de A dans le triangle ABD par la propriété (1); et les 3 médianes d'un triangle se coupent en 1 point, le centre de gravité d'après (2).

Donc:

La 3ème médiane (OA) va se couper avec (DI) et (BJ) en K; k appartient à (AO).

D'où l'alignement des points A, K et O. CDQF Méthode 2: Utilisation du calcul vectoriel

a)

On sait que, comme K est le centre de gravité du triangle ABD, qu'on a les égalités vectorielles suivantes:

BK=2

3BJ et BJ=1 3BK

Appliquons maintenant la relation de Chalses pour trouver l'expression vectorielle du vecteur AK .

AK=ABBK or BK=2 3BJ Donc AK=AB2

3BJ b)

T.Pautrel - devoir maison 6 - niveau seconde

A

D C

I B

J O

K

(2)

AK=AB2

3BJ et BJ=BAAJ 2

3BJ=2

3BAAJ <=> 2 3BJ=2

3BA2 3AJ D'où:

AK=AB2 3BA2

3AJ

AK=AB−2 3BA2

3AJ

AK=AB1−2 32

3AJ

AK=1

3AB2 3AJ

AJ=1

2AD car J milieu de[AD]

2 3AJ=2

3×1

2AD <=> 2 3AJ=2

6AD <=> 2 3AJ=1

3AD Donc:

AK=1

3AB1 3AD

AK=1

3ABAD

c)

AK=1

3ABAD

D'après la règle du parallélogramme, ABAD=AC D'où AK=1

3AC

AK etAC sont colinéaires car AK=AC , où=1 3 .

Donc les points A, K et C sont alignés. CQFD Méthode 3:

a)

Dans le repère A ;AB ;AD , que l'on suppose orthonormé du plan; on choisi une unité arbitraire AB = AD = 1.

On a donc les coordonnées des points suivants:

J(0; 1

2 ) et C(1;1) b)

BK=2

3BJ (3), quelles sont les coordonnées de K ?

BKx_K−x_B; y_K−y_B et B(1;0)

BKx_K−1; y_K et BJx_J−x_B; y_J−y_B

BJ−1;1

2 donc 2

3BJ−2 3 ;1

3 . De (3); x_K−1=−2

3 <=> x_K=−2 3 3

3=1 3 et y_K=1

3

(3)

Donc: K1 3;1

3 .

Pour prouver que les points A, K et C sont alignés, il suffit de démontrer que les vecteurs AK etAC sont colinéaires.

AKx_K−x_A; y_K−y_A

AK1 3−0;1

3−0

AK1 3;1

3

et ^ACx_C−x_A; y_C−y_A

AC1;1

On remarque que AK=AC ;où=1 3

Donc les vecteurs AK etAC sont colinéaires; les points A, K et C sont donc alignés.

N°32 p 121:

La fonction f représentée sur [-2;1] est de la forme f(x) = ax² + c.

Lectures graphiques:

a) f(0) semble valoir 4 et f(1) semble valoir 3 par lecture du graphique.

b) On admet que f(0) = 4 et que f(1) = 3 pour cette consigne.

D'où:

f(0) = 4 signifie que a X 0² + c = 4 donc c = 4.

f(1) = 3 signifie que a X 1² + c = 3 <=> a + c = 3.

Or c = 4, donc a + 4 = 3 <=> a = 3 – 4 <=> a = -1.

Donc f(x) = -x² + 4

c) Tableau de variations de f:

x -2 0 1 Variations de

f(x) 4

0 3

d) Déterminer par lecture graphique le nombre de solution de l'équation f x=11

4 .

On trace la droite d'équation y=11

4 et on regarde quand elle coupe la courbe de f. On lit les points d'abscisse correspondants pour trouver les solutions.

Il semble y avoir qu'une seule solution sur l'intervalle [-2;1]; environ -1,1.

-1 -2

2 3 4 5

-1

0 1

1

x y

-1 -2

2 3 4 5

-1

0 1

1

x y