Solutions proposées par Gaston Parrour

A567. Une avalanche de carrés

Q : On considère les 2₁ ²⁰¹³ expressions de la forme obtenues en additionnant les racines carrées des entiers naturels de 1 à 2013 précédées des signes plus (+ ) ou moins (–) . On les multiplie toutes entres elles. Démontrez que le résultat est un carré parfait.

Q : 2013 nombres réels a,b,c,d,....z₂ sont tels que a² ≤ 1, a² + b² ≤ 5, a² + b² + c² ≤ 14, a² + b² + c^² + d² ≤ 30, a² + b² + c² + d² +...+ z² ≤ 2 721 031 819. ( Voir la suite des nombres pyramidaux carrés

http://oeis.org/A000330). Quelle est la valeur maximale de la somme de ces 2013 nombres ? Justifiez votre réponse.

Solutions proposées par Gaston Parrour

Q : On considère les 2₁ ²⁰¹³ expressions de la forme obtenues en additionnant les racines carrées des entiers naturels de 1 à 2013 précédées des signes plus (+ ) ou moins (–) . On les multiplie toutes entres elles. Démontrez que le résultat est un carré parfait.

Le produit des expressions considérées est un carré Avec un ensemble {a

i} , i=1 → 2013 où chaque a

i peut prendre indépendamment la valeur +1 ou -1 , on construit l'ensemble des 2²⁰¹³ expressions x

c = S/i a

isqrt(i) où S/i désigne une somme sur i de 1 à 2013

et l'indice c désigne une configuration bien définie des ai parmi les 2²⁰¹³configurations possibles.

Il est clair qu'à une configuration c quelconque de 2013 « a

i », on peut associer la « configuration opposée » c' dans laquelle le signe de chaque « a

i '» est l'opposé de celui du « a

i » de même rang i dans c.

=> Les 2²⁰¹³ expressions x

c peuvent ainsi se grouper en paires de signe opposé (x

c,x'

c' ) où x'

c' = - x

c

Il y a donc N = 2^(2013-1) paires p

c distinctes. Pour chacune d'entre-elles x

cx'

c' = - x

c 2

Donc P/c x

c = (-1)^N P/p

c x

c

2 = +A² , puisque N est pair.

P/c est le produit (défini dans l'énoncé) des expressions x

c définies par chacune des configurations c P/p

c est le produit sur les N paires définies ci-dessus ===> Le produit P/c des expressions x

c est donc égal à un certain carré A².

Il suffit alors de montrer d'autre part que ce produit est un entier, pour établir qu'il est un carré parfait.

Le produit des expressions x

c est un entier

Sans faire appel à des résultats généraux concernant les équations algébriques, montrons directement cela.

Un nombre quadratique tel que x = +/- sqrt(a) est racine de l'équation à coefficient entier x2 - a = 0 Les 2 racines de cette équation sont les 2 expressions possibles de x ; leur produit est effectivement a.

A partir de cela, un nombre tel que y = +/-sqrt(a) + sqrt (b) = x + sqrt(b), satisfait à l'équation (y - sqrt(b))² - a = 0

Soit, après avoir isolé 2y sqrt(b) dans un membre et avoir effectué une élévation au carré : (y² + b – a)² = 4y²b

==> le nombre considéré y est racine de l'équation y⁴ - 2y²(b+a) + (a-b)² = 0

On observe que l'élévation au carré a introduit aussi l'autre jeu de combinaisons y = x - sqrt(b)

==> L'équation en y ci-dessus de degré 4, à coefficients entiers et où n'interviennent que des puissance paires de y, admet pour racines les 4 expressions possibles y = +/- sqrt(a) +/- sqrt(b) construites sur 2 radicaux.

On note aussi qu'avec 1 radical en jeu, le degré de l'équation entière est 2¹, avec 2 radicaux il est 2² . Et le coefficient du terme de plus haut degré est 1 dans ces équations.

==> La récurrence est immédiate :

Soit une équation en x entière (E) de degré 2ⁿ et dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1 (où n'interviennent que des puissances paires de x) et qui admet pour racines les 2ⁿ expressions

x= +/- sqrt(a1) +/- sqrt(a2) … +/- sqrt(an) construites sur n radicaux.

On en déduit une équation entière en y de même structure que (E) et de degré 2⁽ⁿ⁺¹⁾ qui admet pour racines les 2⁽ⁿ⁺¹⁾ expressions y = x +/- sqrt(n+1) (*).

Pour cela, on remplace x par x=(y – sqrt(n+1)) dans (E) . On développe tous les binômes et on isole dans un membre toutes les puissances impaires de sqrt(n+1) . On élève alors au carré l'égalité obtenue.

La nouvelle équation en y, (E'), est entière de degré 2⁽ⁿ⁺¹⁾ et le coefficient du terme de plus haut degré est 1 En fait, par cette élévation au carré, (E') a aussi pour racines les combinaisons y = x – sqrt(n+1)

==> Les 2⁽ⁿ⁺¹⁾ expressions y (*) sont les racines de cette équation entière de degré 2⁽ⁿ⁺¹⁾ ; leur produit est donc représenté ici par le terme entier indépendant de y dans (E').

N.B. Ce qui importe dans cette seconde partie, est le fait que, quel que soit le nombre n de radicaux considérés pour créer l'ensemble 2ⁿ des expressions y, on peut définir une équation à coefficients entiers de degré 2ⁿ ,dont le coefficient de terme de plus haut degré est 1 et dont ces y constituent les racines.

En conclusion : le produit des 2²⁰¹³ expressions définies dans l'énoncé est un carré parfait.

Q : 2013 nombres réels a,b,c,d,....z₂ sont tels que a² ≤ 1, a² + b² ≤ 5, a² + b² + c² ≤ 14, a² + b² + c^² + d² ≤ 30, a² + b² + c² + d² +...+ z² ≤ 2 721 031 819 . Quelle est la valeur maximale de la somme de ces 2013 nombres ? Justifiez votre réponse.

Les nombres triangulaires T

n sont la somme des carrés des entiers naturels : T

n = 1² +2² +3²+ … +n² = n(n+1)(2n+1)/6 (1) Notons les nombres successifs (a,b,c,d, …, z) comme (a

1,a

2,a

3, … , a

2013) par commodité d'écriture.

Soit S

n = a

1+a

2+ … +a

n la somme des n premiers nombres rangés selon les contraintes indiquées par l'énoncé.

Le carré de cette somme peut s'exprimer de la façon suivante – en ordonnant les doubles produits à partir du terme de rang le plus élevé a

n, puis en suivant avec a

n-1, …, ainsi jusqu'à a

2a

1 : (Sn)² = (a

1 2+a

2 2+a

3

2+ … +a

n

2) + 2x[(a

na

n-11+a

na

n-2+...+a

na

1)+(a

n-1a

n-2+a

n-1a

n-3+...a

n-1a

1) +...+a

2a

1] (S

n)² = (a

1 2+a

2 2+a

3

2+ … +a

n

2) + 2x[a

n x S

n-1 + a

n-1 x S

n-2 + a

n-2 x S

n-3 + … + a

2a

1 ] (2) Compte tenu de la suite des contraintes successives sur les a

i, il est clair que

la valeur maximum de la somme des carrés, premier terme du membre de droite, est le nombre triangulaire correspondant T

n donné par (1) ci-dessus ; valeur maximum atteinte lorsque chaque nombre est égal à son rang : a n = n d'une façon générale.

A partir de cela il apparaît que si le terme entre crochets est lui aussi maximum lorsque la suite des n nombres a1, a

2, …, a

n est la suite des entiers naturels, alors on pourra affirmer que ==> la somme S

n est maximale lorsque les nombres considérés constituent la suite des entiers naturels 1,2, ...

==> Montrons que le crochet à droite de (2) est maximum pour la suite des entiers naturels.

A partir de la suite des n entiers naturels 1, 2, 3, …, n , le plus petit « écart » acceptable compte tenu des contraintes exprimées concerne les derniers termes.

Si n est remplacé par (n+1) cela exige qu'au moins un terme de rang inférieur à n soit changé pour tenter de satisfaire la dernière contrainte : la somme des n nombres carrés doit est inférieure ou égale à T

n

Donc 1,2,3, … , n-3, n-2, n-1, n (a) sera « au moins » remplacée par 1,2,3, … , n-3, n-3, n-1, n+1 (b)

Il est aisé de vérifier que ce changement est le plus « petit » que l'on puisse faire en respectant les contraintes jusqu'à T

n-1; et en ne contredisant pas de façon manifeste la contrainte relative à T

n (**) ! Exprimons le crochet de droite de l'égalité (2), dans le cas (a) puis dans le cas (b) : cas (a) n(S

n-3+(n-2) + (n-1)) + (n-1)(S

n-3+(n-2)) + (n-2)S

n-3 + A [termes avec des S

m où m < (n-3) ] cas (b) (n+1)(S

n-3+(n-3)+(n-1)) + (n-1)(S

n-3+(n-3)) + (n-3)S

n-3 + A (comme cas (a) ) Formons cas(b) – cas (a) = S

n-3 + (n+1)(n-3) +n²-1 - n(n-2) – n(n-1) + (n-1)(n-3) – (n-1)(n-2) - S

n-3

= -3

==> Tout écart à la suite des entiers naturels se solde par un bilan négatif pour la somme des doubles produits.

(**) En fait il est aisé de vérifier que la suite (b) ne satisfait pas la dernière contrainte relative à T

n ; la suite ( c ) 1,2,3, …, n-3 , n-2 , n-2, n+1 ne la satisfait pas non plus.

La suite (d) 1,2,3, … , n-3 , n-3, n-2, n+1 est la première à la satisfaire et le déficit résultant en est bien plus grand que celui calculé ci-dessus.

==> Ainsi dans les conditions données, le maximum Sn de la somme de n nombres est obtenu quand ces n nombres constituent la suite des n premiers entiers naturels.

Dans le cas de n = 2013, on obtient :

Somme maximale = 2013x2014/2 = 2027091