Produit vectoriel
Produit vectoriel
1 Rappels
1. On a vu que→− V×−→
V0, leproduit vectorielde deux vecteurs→− Vet−→
V0deR3est donn´e par les formules :
−
→V =a→− ı +b→−
+c→−
k −→
V0 =a0→− ı +b0→−
+c0→− k
−
→V×
−→
V0 =(bc0−cb0)→−
ı +(ca0−ac0)→−
+(ab0−ba0)→− k
et qu’on le calcule de la fac¸on suivante :
a a0 b c0−c b0
b b0 c a0−a c0
c c0 a b0−b a0
2. Que se passe-t-il si l’on change de rep`ere ? Les composantes des vecteurs ne sont plus les mˆemes, est-ce qu’on trouve un autre r´esultat ?
•le produit vectoriel est orthogonal `a→− V×−→
V0,
•sa norme est l’aire du parall`elogramme construit `a partir de→− V×−→
V0,
•il est orient´e selon la r`egle des 3 doigts :
Conclusion : →− V ×−→
V0 ne d´epend pas du rep`ere choisi pour le calculer.
3. Pour calculer le produit vectoriel, il suffit de se rappeller que :
−
→ı ×→−
=→−
k →−
×→− ı =−→−
k →−
ı ×→− ı =→−
O
−
→ ×→− k =→−
ı →−
k ×→−
=−→−
ı →−
×→−
=→− O
−
→ k ×→−
ı =→−
→−
ı ×→− k =−→−
→−
k ×→− k =→−
O
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1et que le produit vectoriel est doublement distributif : (a→−
ı +b→−
+c→−
k)×(a0→− ı +b0→−
+c0→−
k)=a a0−→ ı ×→−
ı
+a b0−→ ı ×→−
+· · ·+c b0−→ k ×→−
+c c0−→ k ×→−
k
2 Quelques utilisations du produit vectoriel
1. Pour lesvecteurs, le produit vectoriel est un d´etecteur decolin´earit´e: u→−
V =u0−→
V0 ⇐⇒ →− V×−→
V0 =→− O
2. Pour lespoints, le produit vectoriel est un d´etecteur de d’alignement:
A B C
A,B,C align´es ⇐⇒ −→AB×−AC−→=→−OOn peut faire jouer le mˆeme r ˆole aux 3 points :
−→
AB×−−→ AC=(−−→
OB−−−→
OA)×(−−→ OC−−−→
OA)
=−−→ OB×−−→
OC−−−→ OB×−−→
OA−−−→ OA×−−→
OC+−−→ OA×−−→
OA
A,B,C align´es ⇐⇒ −−→ OA×−−→
OB+−−→ OB×−−→
OC+−−→ OC×−−→
OA=→− O
3. Eng´eom´etrie, le produit vectoriel est li´e `a la notion derotation.
4. Le produit vectoriel permet de calculer l’aire d’un triangle: aire(ABC)= 1
2
−→
AB×−−→ AC
5. Enphysique(m´ecanique, ´electricit´e, . . . ), on rencontre tr`es souvent des produits vectoriels.
Exemple:Th´eor`eme du moment cin´etique
Le pointOest fixe. Lemoment cin´etiquepar rapport `aOdu point mobileM,de massemet de vitesse
−
→V est−−→
OM×m→−
V. SiFest la r´esultante des forces qui s’appliquent `aM, on a : d
dt(−−→
OM×m→−
V)=−−→
OM×→− F
En effet, si→−
Aest l’acc´el´eration deM: d
dt(−−→
OM×m→−
V)=→− V×m→−
V+−−→
OM×m→− A =−−→
OM×→− F
Dans le cas o `uM est soumis `a une force centraledirig´ee vers O, le deuxi`eme membre est nul et
−−→
OM×m→−
V est un vecteur constant, donc lemouvement est plan.
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23 Applications `a la g´eom´etrie plane
1. Dans le cas o `u →−
Vest dans le plan(→− ı ,→−
), on a→− V =a→−
ı +b→−
et le calcul de→− V ×→−
k donne :
a 0 b
b 0 −a
0 1 0
⇒ →− V×→−
k =b→− ı −a→−
est le vecteur qui se d´eduit de→−
V par une rotation de+π 2.
Cet exemple assez simple laisse deviner qu’il existe une relation entre lesproduits vectorielset les rotations.
2. On consid`ere deux vecteurs→− Vet−→
V0dans le planR2muni d’un rep`ere orthonorm´e(O,→− ı ,→−
):
−
→V =a→− ı +b→−
−→
V0 =a0→− ı +b0→−
Pour pouvoir calculer leur produit vectoriel, il faut introduire une troisi`eme dimension.
On ajoute un vecteur→−
k, pour compl´eter le rep`ere orthonorm´e(O,→− ı ,→−
,→−
k)deR3.
a a0 0
b b0 0
0 0 a b0−b a0
⇒
−
→ V×
−→
V0=(ab0−ba0)→− k
Le produit vectoriel est remplac´e par le nombre∆ =ab0−ba0. On le note :
∆ =ab0−ba0=
a a0 b b0
=det(→− V,−→
V0)
On l’appelle led´eterminantdes vecteurs→− Vet−→
V0car il d´etermine s’ils sont colin´eaires ou pas.
Sa valeur absolue est l’aire du parall´elogramme :
V'
V
3. Dans le plan rapport´e au rep`ere(O,→− ı ,→−
), une droite(D) est l’ensemble des pointsM = (x,y) qui v´erifient une ´equation du type :
αx+βy=γ
dans laquelleαetβne sont pas nuls tous les deux.
Avec→− N =α→−
ı +β→−
et−−→
OM=x→− ı +y→−
, cette ´equation devient :
−
→N·−−→
OM=γ
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3On en tire plusieurs cons´equences :
.La droite(D)passe parOsi et seulement siγ=0.
.SiM0est un autre point de(D):
−
→ N·−−−→
OM0=γ
−
→ N·−−→
OM=γ ⇒ →−
N·(−−−→
OM0−−−−→ OM0)=→−
N·−−−→
MM0 =0
N
O
M M'
(D)
Le vecteur→−
Nest orthogonal `a(D)
Pour obtenir→−
D, un vecteur directeur de(D), il suffit de calculer le produit vectoriel de→−
Net de→− k :
α 0 β
β 0 −α
0 1 0
⇒
−
→D=β→− ı −α→−
4. Soient deux droites(D)et(D0)d’´equations :
(D) αx+βy=γ (D0) α0x+β0y=γ0
det(→− D,−→
D0)=
β β0
−α −α0
=α β0−α0β=
α α0 β β0
=det(→− N,−→
N0)
−
→ D·
−→
D0 =α α0+β β0=→− N·
−→ N0
(D)//(D0) ⇐⇒ det(→− D,−→
D0)=α β0−α0β=0
(D)⊥(D0) ⇐⇒ →−
D·−→
D0 =α α0+β β0 =0
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45. Chercher les pointsM=(x,y)communs `a→− Det−→
D0revient `a r´esoudre un syst`eme de 2 ´equations
`a 2 inconnues :
(S)
αx+βy=γ α0x+β0y=γ0 C’est pour cela qu’un tel syst`eme est qualifi´e delin´eaire.
Il y a 3 possibilit´es : Cas (I) :
(D)
(D' ) •les deux droites sontconfondues,
•leurs ´equations sont les mˆemes `a un facteur pr`es,
•le syst`eme estind´etermin´e.
Cas (II) :
(D)
(D' ) •les deux droites sontparall`eles,
• les premiers membres de leurs ´equations sont les mˆemes `a un facteur pr`es,
•le syst`eme estimpossible.
Cas (III) :
M (D)
(D' ) •les deux droites sontconcourantes,
•le syst`eme admetune et une seule solution.
On va le r´esoudre en utilisant le produit vectoriel.
(S)
αx+βy=γ α0x+β0y=γ0 On introduit les 3 vecteurs :
−
→ A =α→−
ı +α0→−
→−
B =β→− ı +β0→−
→−
C =γ→− ı +γ0→−
Sixetysont des nombres quelconques :
x→− A+y→−
B =(xα+yβ)→−
ı +(xα0+yβ0)→−
et le syst`eme(S)est ´equivalent `a l’´equation vectorielle : x→−
A+y→− B =→−
C
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5•En multipliant `a droite par→− B :
x→− A×→−
B +y
−
→B ×→− B
=→− C ×→−
B
xdet(→− A,→−
B)=det(→− C,→−
B) ⇒ x= γ β0−γ0β α β0−α0β0
•En multipliant `a gauche par→− A:
x
−
→ A×→−
A
+y →− A×→−
B
=→− A×→−
C
y det(→− A,→−
B)=det(→− A,→−
C) ⇒ y= α γ0−α0γ α β0−α0β0
4 Application `a la g´eom´etrie dans l’espace
1. On a choisi un rep`ere orthonorm´edirect(O,→− ı ,→−
,→− k):
Un plan(P)est l’ensemble des pointsM=(x,y,z)qui v´erifient une ´equation du type : αx+βy+γz=δ
dans laquelleα,βetγne sont pas nuls tous les trois. Avec→− N =α→−
ı +β→−
+γ→−
k, cette ´equation devient :
−
→N·−−→
OM=δ
2. On en tire plusieurs cons´equences :
.Le plan(P)passe parOsi et seulement siδ=0.
.SiM0est un autre point de(P):
−
→N·−−−→ OM0=δ
−
→N·−−→
OM=δ ⇒ →− N·(−−−→
OM0−−−−→ OM0)=→−
N·−−−→
MM0=0
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6N
O
M M'
( P )
Le vecteur→−
Nest orthogonal `a tous les vecteurs de(P).
R´eciproquement, siMest un point du plan(P), et si−−−→
MM0 ⊥→− N, on a :
−
→ N·−−→
OM=δ
−
→N·−−−→
MM0 =0
⇒ →− N·(−−→
OM+−−−→
MM0)=→− N·−−−→
MM0 =δ
etM0est dans le plan(P).
ConclusionUn plan(P)s’obtient `a partir d’une droite (N) et d’un point M de (N), en prenant toutes les
droites(D)passant parMet orthogonales `a(N).
( P )
( N )
M ( D )
3. Soient deux plans(P)et(P0)d’´equations :
(P) αx+βy+γz=δ (P0) α0x+β0y+γ0z=δ0
Il y a 3 possibilit´es :
(P) (P' )
(P) (P' )
(P) (P' ) (D)
(I) (II) (III)
Cas (I) et (II) : →− N×
−→ N0 =→−
O les plans sontparall`elesouconfondus.
Cas (III) : →− N×−→
N0 ,
−
→O les plans se coupent selon une droite(D).
4. Le syst`eme : (S)
αx+βy+γz=δ α0x+β0y+γ0z=δ0
est unsyst`eme d’´equations de la droite(D) . Parce qu’un vecteur directeur→−
D de (D) est contenu dans les plans(P)et(P0), il est orthogonal `a→−
Net−→ N0.
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7R´eciproquement, un vecteur non nul, orthogonal `a→− N et−→
N0, est contenu dans(P)et(P0), et c’est un vecteur directeur de(D).
On prendra donc : →− D =→−
N×−→ N0
SiM0=(x0,y0,z0)est un point de(D), celle-ci admet la repr´esentation param´etrique :
x(t)=x0+t(β γ0−β0γ) y(t)=y0+t(γ α0−γ0α) z(t)=z0+t(α β0−β α0) 5. Quelques rappels.
•On ´ecrit(D) ⊥ (D0)et on dit que les droites(D) et(D0)sontorthogonalesquand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
•On ´ecrit(D)⊥ (P)et on dit que la droite(D)estorthogonaleau plan(P)quand→−
D×→− N =→−
O.
Dans ce cas,(D)est orthogonale `a toutes les droites de(P).
( P )
( D )
• On ´ecrit (P) ⊥ (P0) et on dit que les plans (P) et (P0) sont orthogonaux quand→−
N·−→ N0 =0.
Pour que (P) soit orthogonal `a (P0) il faut et il suffit que (P0)
contienne une droite orthogonale `a(P).
( P )
( D ) ( P ')
6. Soit(D)la droite intersection de deux plans(P)et(P0), d´efinie par le syst`eme d’´equations : (S)
αx+βy+γz=δ α0x+β0y+γ0z=δ0
Siuetu0sont des nombres qui ne sont pas tous les deux nuls, les pointsM(x,y,z)de(D)v´erifient aussi l’´equation :
(uα+u0α0)x+(uβ+u0β0)y+(uγ+u0γ0)z=uδ+u0δ0 On ne peut pas avoir `a la fois :
(uα+u0α0)=0 (uβ+u0β0)=0 (uγ+u0γ0)=0 car cela signifierait queu→−
N+u0−→ N0=→−
O, mais les vecteurs→− Net−→
N0ne sont pas colin´eaires.
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8Si l’on noteu(P)+u0(P0)le plan d´efini par l’´equation :
(uα+u0α0)x+(uβ+u0β0)y+(uγ+u0γ0)z=uδ+u0δ0 la droite(D)est aussi contenue dans ce plan.
Il n’est pas difficile de d´emontrer que r´eciproquement, tout plan (P00)contenant(D)est de la formeu(P)+u0(P0).
( P )
( P ' ) ( D )
( P '')
Produit mixte
1 D´efinition
1. On cherche le volume d’unparall´el´epip`edepos´e sur le plan (x,y) :
x y
z
O h
V=
$
S
dV= Z h
0
"
B
dω
! dz
V =h×aire(B)
2. On va donner une interpr´etation g´eom´etrique deaire(B)et deh.
aire(B)=
−
→ V ×
−→ V0
z
O h
V V'
xV' V
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9hs’obtient en projetant−→
V00sur→− V×−→
V0:
h V V' x V''
V
V'
⇒ V=(→−V×−V→0)·−→V003. Le nombre :
∆ =(→− V ×
−→ V0)·
−→
V00=det(→− V,−→
V0,−→
V00)=<→− V,−→
V0,−→
V00>
s’appelle led´eterminant, ou leproduit mixte de→− V,−→
V0,−→
V00.
2 Premi`eres propri´et´es du produit mixte
1. Son signe :
• ∆>0quand−→
V00et→− V×−→
V0sont du mˆeme c ˆot´e du plan(→− V,−→
V0).
• ∆ =0quand−→
V00est dans le plan(→− V,−→
V0).
• ∆<0quand−→
V00et→− V×−→
V0sont de part et d’autre du plan(→− V,−→
V0).
Conclusion
V
V'' V'
∆>0 ∆ =0 ∆<0
2. Calcul du produit mixte
−
→ V =a→−
ı +b→−
+c→− k
−→ V0 =a0→−
ı +b0→−
+c0→− k
−→
V00=a00→−
ı +b00→−
+c00→− k
−
→V −→
V0 →− V ×−→
V0 −→
V00 a a0 b c0−c b0 a00
b b0 c a0−a c0 b00
c c0 a b0−b a0 c00
∆ =a b0c00+a0b00c+a00b c0−a b00c0−a0b c00−a00b0c
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10On note aussi :
∆ =
a a0 a00
b b0 b00
c c0 c00
R`egle de Sarrus
+ + +
−
−
−
a a' a''
b b' b''
c c' c''
a a'
b b'
c c'
∆ =a b0c00+a0b00c+a00b c0−a b00c0−a0b c00−a00b0c
