Casse-tête de janvier 2016
Ce mois-ci, nous vous invitons à préparer douze allumettes dont cinq d'entre elles ont 5 cm de longueur et les sept autres 2 cm de longueur afin de résoudre le casse-tête suivant:
Construire un polyèdre pas nécessairement convexe qui a huit sommets A, B, C, D, E, F, G, et H et dont les douze arêtes: AB, AC, AH, BC, BD, CD, DE ,EF, EG, FG, FH et GH sont constituées par ces douze
allumettes ?
Le polyèdre est limité par 4 faces triangulaires : (ABCA), (BCDB), (EFGE), et (FGHF) et 2 faces hexagonales : (AHGEDBA) et (AHFEDCA).
Soient deux triangles équilatéraux égaux (BCA) et (BCD) dont les côtés ont pour longueur 5cm.
Supposons que l'angle du dièdre (A, BC, D) soit tel que longueur AD = X cm.
Soient (HFG) et (GFE) les images des triangles équilatéraux (ACB) et (BCD) par l'homothétie de rapport 2/5 dont le centre est le milieu de AD. Les côtés de ces deux triangles mesurent 2cm.
G est dans le plan (ABD) et F est dans le plan (ACD).
AH et ED mesurent 3/10.X cm.
En choisissant X = 20/3 cm, on obtient AH = ED = 2cm.
Le tétraèdre (ABCD) échancré par son petit frère (HGFE) donne un polyèdre vérifiant les conditions requises :
5 arêtes mesurent 5cm : AB=AC=CD=DB=BC= 5cm
7 arêtes mesurent 2cm : AH=HG=HF=FG=GE=FE=ED = 2 cm
On peut préciser la mesure de l'angle dièdre (A, BC, D) : Si M désigne le milieu de BC, on trouve l'angle AMD par sin((AMD)/2) = (AD/2) / AM,
AD/2 = 10/3, AM = (5√3)/2, sin((AMD)/2) = 20/(15√3) = 4√3/9, AMD/2 ≈ 50,336°
AMD ≈ 100,671°.
