Physique g´en´erale IV Prof. Tran, CRPP
S´erie 10
Martin Jucker
11 mai 2009
Physique quantique formelle
On veut chercher un syst`eme form´e de deux particules identiques, i.e. indiscernables. Vous ne pouvez alors pas distinguer (en th´eorie classique) les particules dans les deux situations suivantes :
– Particule 1 en r=r1 et particule 2 en r=r2. – Particule 1 en r=r2 et particule 2 en r=r1. A Soit Ψ la fonction d’onde des deux particules.
a De quelles variables d´epend Ψ ?
b Comment transcrivez-vous math´ematiquement la condition d’indiscernabilit´e des particules 1 et 2 dans Ψ ?
Indication : Ce qui est important est Ψ∗Ψ, pas Ψ.
B Appliquez deux fois la permutation des particules, c`ad.
( part. 1 r=r1 part. 2 r=r2
)
→
( part. 1 r=r2 part. 2 r=r1
)
→
( part. 1 r=r1 part. 2 r=r2
)
Trouvez alors la condition que doit satisfaire Ψ lors d’une permutation ( part. 1 r=r1
part. 2 r=r2
)
→
( part. 1 r=r2 part. 2 r=r1
)
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Terminologie : Vous allez trouver la condition Ψ(r1,r2) = ±Ψ(r2,r1). Si l’on choisit le signe +, il s’agit d’une fonction d’ondesym´etrique, le signe−d´ecrit une fonction d’ondeanti- sym´etrique.
C Soit maintenant un syst`eme de deux particules ind´ependantes dont les fonctions d’onde sont Ψ1(r=r1) et Ψ2(r=r2). Quelle est la fonction d’onde du syst`eme form´e par les deux particules ind´ependantes ?
D Soit maintenant un syst`eme de deux particules ind´ependantes et indiscernables. Quelle est la propri´et´e de la fonction d’onde d´ecrivant le syst`eme par rapport `a une permutation ?
E En supposant que la fonction d’onde totale d’un syst`eme de deux particules ind´ependantes et indiscernables soit antisym´etrique quand on ajoute le spin dans les fonctions d’onde Ψ1 et Ψ2 , essayez de justifier le principe d’exclusion de Pauli.
F G´en´eralisez le r´esultat deA etB `a un syst`eme de trois particules indiscernables.
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