Nom : . . . .
Prénom : . . . . Devoir n
o07
Fév. 2021 . . ./. . .
DS 04
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.
Attention ! Le sujet est recto-verso.
Exercice 1 : Une équation...
1 Déterminer les diviseurs de 33 dansN.
2 Trouver tous les couples d’entiers naturels (x;y) tels que :x2+xy= 33.
Exercice 2
Soitnun entier relatif.
1 Quels sont les restes possibles de la division euclidienne denpar 5.
2 Démontrer que (n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2) est divisible par 5.
3 En déduire quen5−nest divisible par 5 (on pourra développer (n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2) .
Exercice 3
On considère les suites (un) et (vn) définies paru0= 1, v0= 0 et, pour toutn∈N: ( un+1= 2un+vn
vn+1= 3un+ 4vn
On admet que, pour toutn∈N,unetvnsont des entiers.
Le but de l’exercice est d’obtenir une expression deunetvnen fonction dengrâce au calcul matriciel, et de mettre en évidence quelques propriétés de ces deux suites.
On désigne parUnla matrice un vn
! .
1 Soitnun entier naturel.
a. Justifier queU1= 2 3
! .
b. Montrer queUn+1=AUnoùAest une matrice que l’on précisera.
On admet sans démonstration que pour tout entier naturelnon a : Un=AnU0.
c. Recopier l’algorithme suivant afin qu’il affiche en sortie les valeurs deuN etvN pour un entier naturelN saisi en entrée.
N etKsont des entiers naturels,U , V etWsont des entiers.
N est saisi par l’utilisateur.
1
1 Saisir la valeur deN
2 U←1
3 V←0
4 pourK allant de 1 àN faire
5 W← · · ·
6 U←2W+V
7 V← · · ·
8 fin
9 AfficherU etV
2 a. Montrer par récurrence que pour tout entier natureln, 3un−vn= 3.
b. Soitdun diviseur positif commun deunetvn. Que peut-on affirmer surd? 3 Soit les matricesP =
3
4 1
4
−3
4 3
4
!
etQ= 3 −1
3 3
!
a. CalculerP Q. En déduire queP est inversible etP−1=1 3Q.
b. Vérifier queP−1AP est une matrice diagonaleD= α 0 0 β
!
que l’on précisera.
c. Démontrer que pour tout entier natureln,An=P DnP−1.
2
