Congruences – durée 1h
Contrôle Maths Expertes
16/03/2021
EXERCICE 1 3 pts
Déterminer les entiers naturels 𝑎 et 𝑏 tels que (𝑎 + 2)(𝑏 − 3) = 15.
EXERCICE 2 2 pts
Déterminer les entiers naturels 𝑎 et 𝑏 dont la somme vaut 86 et tels que le reste de la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏 est 9.
EXERCICE 3 2 pts
Déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne de −10 000 par 33.
Comment en déduire le quotient et le reste dans la division euclidienne de 10 000 par 33 ?
(évidemment sans utiliser la calculatrice, mais la première question…)
EXERCICE 4 3 pts
Donner l’écriture de la division euclidienne de 1 000 par 111.
Démontrer que 𝐴 = 109𝑛+2+ 106𝑛+1+ 1 est divisible par 111.
EXERCICE 5 1 pt
Soit 𝑛 un entier naturel quelconque. En utilisant les congruences, déterminer le reste la division euclidienne de 5𝑛+ 19 par 4. Que peut-on en conclure ?
EXERCICE 6 3 pts
Compléter le tableau de congruences ci-dessous :
Si 𝑥 ≡ … … (5) Alors 𝑥
2≡ … … (5) Et 𝑥
2− 3 ≡ … … (5)
En déduire que l’équation 𝑥2 − 5𝑦2 = 3 avec 𝑥 et 𝑦 entiers, n’a pas de solution.
EXERCICE 7 3 pts
Quel est le reste de la division euclidienne de 22009+ 2009 par 11 ?
EXERCICE 8 3 pts
Quel est le reste de la division euclidienne de 𝑛2+ 2 par 𝑛 + 1 ? Aide : On pourra prouver que 𝑛2+ 2 = (𝑛 − 1)(𝑛 + 1) + 3…
Allez, bon courage à vous et amusez-
vous bien !!!
