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Contrôle Option maths Expertes
02/02/2021 EXERCICE 1
Cet exercice est un QCM avec plusieurs réponses possibles. Toute réponse doit être justifiée.
EXERCICE 2
1) Pour tout nombre complexe 𝑧, on pose :
𝑃(𝑧) = 𝑧3− 3𝑧2+ 3𝑧 + 7.
a) Calculer 𝑃(−1).
b) Factoriser 𝑃(𝑧).
c) Résoudre dans ℂ l’équation 𝑃(𝑧) = 0.
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂 ; 𝑢⃗ , 𝑣 ), d’unité graphique 2 cm.
On désigne par 𝐴, 𝐵 et 𝐶 les points d’affixes respectives :
• 𝑧𝐴 = −1 • 𝑧𝐵 = 2 + 𝑖 √3 • 𝑧𝐶 = 2 − 𝑖 √3 a) Réaliser une figure et placer les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶.
b) Calculer les distances 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐴. En déduire la nature du triangle 𝐴𝐵𝐶.
5 pts
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2 EXERCICE 3
Dans la division euclidienne de 2 512 par un entier naturel 𝑏, le quotient est 54. Le reste peut-il valoir 7 ? Justifier la réponse.
EXERCICE 4
Déterminer les diviseurs entiers naturels de 24.
Quels sont les entiers naturels 𝑛 tels que 𝑛2− 24 soit le carré d’un entier naturel ? Justifier la réponse.
EXERCICE 5
1) Déterminer les entiers relatifs 𝑛 tels que 2𝑛 + 1 divise 𝑛 + 13.
2) Montrer que, quel que soit l’entier relatif 𝑛, 2𝑛 + 5 n’est jamais divisible par 2.
EXERCICE 6
Donner l’écriture de la division euclidienne de 1 000 par 111.
Démontrer que 𝐴 = 109𝑛+2+ 106𝑛+1+ 1 est divisible par 111.
Deux petites blagues du jour :
Qu'est-ce qu'un 𝑖 qui court ? Un complexe sportif.
Quel est le nombre le plus laid ? −1 car −1 = 𝑖² (hideux)
Bon courage à vous et amusez-vous bien…^^
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