Terminales option maths expertes − 2020 / 21 2

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Terminales option maths expertes − 2020 / 21 A

- exe

Ex. Ex.

Ex. Ex. 113 113 113 113pppp184 184 184 184

a) On note y ) ax ⁺ b [25] le cryptage affine.

E de rang 4 est codé en W de rang 22 donc :

4 a ⁺ b ) 22 [26]

P de rang 15 est codé en D de rang 3 donc :

15 a ⁺ b ) 3 [26]

En faisant la soustraction :

(15 a ⁺ b ) − (4 a ⁺ b ) ) 3 − 22 [26]

ñ 11 a ^{) -} 19 [26]

ñ 11 a ) 7 [26]

En tâtonnant on trouve que 11 × 3 = 33 ) 7 [26] donc on peut prendre a = 3.

Sinon on cherche une relation de Bézout avec Euclide : 26 = 11 × 2+4

11 = 4 × 2+3 4 = 3+1

Donc inversement :

1 = 4 − 3 = 4 − (11 − 4 × 2) = 3 × 4 − 11 = 3(26 − 11 × 2) − 11 = 3 × 26 − 11 × 7.

Donc modulo 26 on obtient : 11 × ( - 7) ) 1 [26]

En multipliant par 7 : 11 × ( - 49) ) 7 [26]

Ainsi a = - 49 convient et en réduisant modulo 26 on trouve a = 3.

Ainsi 4 a ⁺ b ) 22 [26] devient 4 × 3 + b ) 22 [26] et donc b ) 10 [26].

On prend b = 10.

Finalement :

y ⁾ 3 x ⁺ 10 [26]

b) On cherche un inverse de 3 modulo 26.

On prend p = 9 puisque 3 × 9 = 27 ) 1 [26].

On multiplie la relation de cryptage par 9 :

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y ) 3 x ⁺ 10 [26]

9 y ⁾ 27 x ⁺ 90 ) x ⁺ 90 [26]

x ) 9 y ⁻ 90 ) 9 y ⁺ 14 [26]

c) N a pour rang 13 est crypté en 9 × 13 + 14 = 131 ) 1 {26] qui correspond à B

J a pour rang 9 est crypté en 9 × 9 + 14 = 95 ⁾ 17 {26] qui correspond à R

K a pour rang 10 est crypté en 9 × 10 + 14 = 104 ) 0 {26] qui correspond à A

V a pour rang 21 est crypté en 9 × 21 + 14 = 203 ⁾ 21 {26] qui correspond à V

A a pour rang 0 est crypté en 9 × 0 + 14 = 14 ⁾ 14 {26] qui correspond à O