Terminales option maths expertes − 2020 / 21 3

Terminales option maths expertes − 2020 / 21 G 3 - exe

Ex. 33p53 Ex. 33p53 Ex. 33p53 Ex. 33p53

OM Ä a pour affixe z M − z O = z M = 3 − i . ON Ä a pour affixe z N − z O = z N = x ⁺ 2 i .

S'il existe un nombre λ tel que ON Ä = λ Ä OM ^, Alors en passant aux affixes z N = λ z M et donc : λ = z N

z M = x ⁺ 2 i 3 − i ⁼

( x ⁺ 2 i )(3 + i )

(3 − i )(3 + i ) = (3 x ⁻ 2) + i (6 + x )

10 .

Donc λ ☻ R ñ 6 + x = 0 ñ x = - 6.

Ainsi pour x = - 6, z N = 6 + 2 i et λ = 3 × ( - 6) − 2

10 = - 2 et donc ON Ä = - 2 OM Ä . Les points O , M et N sont donc alignés.

Ex. 34p54

Ex. 34p54

Ex. 34p54

Ex. 34p54

a)

b) A ' est le milieu de [ BC ] donc z A ' = z B + z C

2 = - 5 2 − 1

2 i . B ' est le milieu de [ AC ] donc z B ' = z A + z C

2 = 3 2 − 1

2 i .

c) 2 GA Ä ' + Ä GA = Å 0 ñ 2( z A ' − z G ) + z A − z G = 0 ñ z G = 2 z A ' + z A

3 = - 2 3 + 1

3 i .

d) BG Ä a pour affixe z G − z B = 13 3 − 5

3 i . BB Ä ' a pour affixe z B ' − z B = 13

2 − 5 2 i . Donc on constate que BG Ä = 2

3 BB Ä '.

Ainsi BG Ä et BB Ä ' sont colinéaires et les points B , G et B ' sont alignés.

Ex. 35p54 Ex. 35p54 Ex. 35p54 Ex. 35p54

2) a) ABCM est un parallélogramme ñ AB Ä = MC Ä

ñ z B − z A = z C − z M

ñ z M = z C − z B + z A = 1 + 4 i . 3) a) ABNC est un parallélogramme

ñ AB Ä = CN Ä

ñ MC Ä = CN Ä puisque AB Ä = MC Ä ñ z C − z M = z N − z C

ñ z N = 2 z C − z M = 7 − 2 i .

Ex. 36p54 Ex. 36p54 Ex. 36p54 Ex. 36p54

1) On convient de noter z = x ⁺ iy d'affixe d'un point M ( x ^; y ) du plan.

a) Dans ces conditions, Re ( z ) = 2 ñ x = 2.

Donc D 1 est la droite d'équation x = 2.

b) De même,

Im ( z ) = - 1 ñ y = - 1.

Donc D 2 est la droite d'équation y = - 1.

c) D 1 ∩ D 2 est le point M (2 ;- 1) d'affixe 2 − i .

Ex. 39p54 Ex. 39p54 Ex. 39p54 Ex. 39p54

| | ^{z 1 = 1 2 + 1 2 = 2}

| | ^{z 2 = 3 2 + ( - 4) 2 = 9 + 16 = 25 = 5}

| | ^{z 3 = 7}

| | ^{z 4 = 5}

| | ^{z 5 = 8}

| | ^{z 6 = 3 2 + ( - 1) 2 = 9 + 1 = 10}

Ex. 40p54 Ex. 40p54 Ex. 40p54 Ex. 40p54

| | ^{z A = OA = 3}

| | ^{z B = OB = 2}

| | ^{z C = OC = 1}

| | ^{z D} = OD = 1 car D est sur un cercle de centre O et de rayon OU = 1

| | ^{z E} = OE = 2 2 car OE est la diagonale d'un carré de côté 2 Ex. 42p54

Ex. 42p54 Ex. 42p54 Ex. 42p54

| | ^{z 1 =} | ^{3 + 3 i} | ^{= 3 2 + 3 2 = 9 + 9 = 18 = 3 2}

| | ^{z 2 =} | ^{- 3 + i} | ⁼ ( ) ^{- 3 2 + 1 2 = 3 + 1 = 4 = 2}

| | ^{z 3 =} _ ^{  - 2} ₅ ⁱ _ ^{  = 2} ₅

| | ^{z 4 =} | ^{- 6 + 6 i 3} | ^{= ( - 6) 2 +} ( ^{6 3} ) ^{2 = 36 + 108 = 144 = 12}

Ex. 50p55

Ex. 50p55

Ex. 50p55

Ex. 50p55

a) L'affixe a du vecteur BC Ä est z C − z B = 1 − 5 i L'affixe b du vecteur AC Ä est z C − z A = 3 − 2 i L'affixe c du vecteur AB Ä est z B − z A = 2 + 3 i

b) | | ^{a =} | ^{1 − 5 i} | ^{= 1 2 + ( - 5) 2 = 1 + 25 = 26}

| | ^{b =} | ^{3 − 2 i} | ^{= 3 2 + ( - 2) 2 = 9 + 4 = 13}

| | ^{c =} | ^{2 + 3 i} | ^{= 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13}

c) AB = | ^{z B − z A} | ⁼ | | ^{c = 13}

AC = | ^{z C − z A} | ⁼ | | ^{b = 13}

BC = | ^{z C − z B} | ⁼ | | ^{a = 26}

Donc AB = AC et ABC est isocèle en A . D'une part BC ² = 26 ² = 26

D'autre part AC ^{2 +} AB ² = 13 ² + 13 ² = 13 + 13 = 26

Donc AC ^{2 +} AB ² = BC ² et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A .

Ex. 43p54 Ex. 43p54 Ex. 43p54 Ex. 43p54

1) | ^{3 − i} | ^{= 3 2 + ( - 1) 2 = 3 + 1 = 2 = 2 et} | ^{1 + 5 i} | ^{= 1 2 + 5 2 = 1 + 25 = 26 .}

2)   

 

( ^{3 − i} ) ^{(1 + 5 i ) =}  | ^{3 − i} | ^{× | 1 + 5 i | = 2 26 .}

| ^{(1 + 5 i ) 4} | ⁼ | ^{1 + 5 i} | ^{4 = 26 4 = 26 2 = 676.}

 



  1 

1 + 5 i = 1

| ^{1 + 5 i} | ⁼

1

26 = 26 26 .

 



  3 − i 

1 + 5 i = | ^{3 + i} |

| ^{1 + 5 i} | ⁼

2

26 = 2 26

26 = 26

13 .

Ex. 44p54 Ex. 44p54 Ex. 44p54 Ex. 44p54

| | ^{z 1 =} _ ^{ } ₂ − ¹ 3 i _ ^{ } = 1

| ^{2 − 3 i} | ⁼

1

2 ² + ( - 3) ² = 1

13 = 13 13 .

| | ^{z 2 =} _ ^{  1 −} ₅ ⁱ _i ³ _ ^{  =} | ^{1 − i 3} |

| | ^{5 i =}

1 ² + ( ) ^{- 3 2}

5 = 2

5

Ex. 45p54 Ex. 45p54 Ex. 45p54 Ex. 45p54

| | ^{z 1 =}   

 

( ^{3 + i} ) ¹⁰  ⁼ | ^{3 + i} | ^{10 =   3 2 + 1 2   10 = 2 10 = 1024}

| | ^{z 2 =} | ^{(2 − i ) 5} | ⁼ | | ^{2 − i 5 =} ( ^{2 2 + ( - 1) 2} ) ^{5 = 5 5 = 25 5}

Ex. 46p54 Ex. 46p54 Ex. 46p54 Ex. 46p54

| | ^{z 1 =} _ ^{  -} - ⁴ 1 ⁺ − ⁵ i ⁱ _ ^{ } = | ^{- 4 + 5 i} |

| ^{- 1 − i} | ⁼

41

2 = 82 2

| | ^{z 2 =} _ ^{  66} ₆₆ ⁺ − 77 ^{77 i} i _ ^{ } = | ^{66 + 77 i} |

| ^{66 − 77 i} | ⁼

| ^{66 + 77 i} |

 

  66 + 77 i ⁼

| ^{66 + 77 i} |

| ^{66 + 77 i} | ^{= 1}

Ex. 47p54 Ex. 47p54 Ex. 47p54 Ex. 47p54

| | ^{z 1 =}   

 

(5 + 2 i ) ( ^{3 + i 6} )  ⁼ | ^{5 + 2 i} | ^× | ^{3 + i 6} | ^{= 29 × 9 = 3 29}

| | ^{z 2 =} _ ^{  3} ₄ ⁻ _i ⁱ _ ^{  3 ) =} _ ^{ } ₄ ³ _i ^{− i} _ ^{  3 =}

 

 

 

 

| ^{3 − i} |

| | ^{4 i}

3

=   

  2  4

3

= 1

8

Ex. 48p54 Ex. 48p54 Ex. 48p54 Ex. 48p54

a) | | ^{z =} | | ^{1 + i = 2 donc}

• | | ^{Ò z =} | | ^{z = 2}

• | | ^{- z =} | | ^{z = 2}

• | | ^{iz =} | | ^{i ×} | | ^{z = 1 × 2 = 2}

• | | ^{4 z =} | | ^{4 ×} | | ^{z = 4 2}

b) | | ^{z =} | ^{1 − i 3} | ^{= 4 = 2 donc}

• | | ^{Ò z =} | | ^{z = 2}

• | | ^{- z =} | | ^{z = 2}

• | | ^{iz =} | | ^{i ×} | | ^{z = 1 × 2 = 2}

• | | ^{4 z =} | | ^{4 ×} | | ^{z = 8}

Ex. 51p54 Ex. 51p54 Ex. 51p54 Ex. 51p54 a) z

MA = z A − z M = - 4 − 8 i

z MB

= z B − z M = 8 + 4 i ^b) MA = | ^{z A − z M} | ⁼ | ^{- 4 − 8 i} | ^{= 80}

et MB = | ^{z M − z B} | ⁼ | ^{8 + 4 i} | ^{= 80}

Puisque MA = MB on en déduit que M est équidistant de A et de B .

Donc M est sur la médiatrice du segment

[ AB ].

Ex. 52 Ex. 52 Ex. 52

Ex. 52p54 p54 p54 p54 a) z

IA = z A − z I = - 3,6 + 4,8 i

b) Le cercle B de centre I passant par A a pour rayon IA = | ^{z A − z I} | ⁼ | ^{- 3,6 + 4,8 i} | ^{= 6.}

c) IM = | ^{z M − z I} | ⁼ | ^{3,6 + 4,8 i} | ^{= 6 donc IM = IA et M} est situé sur le cercle B .

Ex. 53p54 Ex. 53p54 Ex. 53p54 Ex. 53p54 a) z

AB = z B − z A = 3 − 3 i

z AC

= z C − z A = - 3 − 3 i

z BC

= z C − z B = - 2 3

b)

AB = | ^{z B − z A} | ⁼ | ^{3 − 3 i} | ^{= 12 = 2 3}

AC = | ^{z C − z A} | ⁼ | ^{- 3 − 3 i} | ^{= 12 = 2 3}

BC = | ^{z C − z B} | ⁼ | ^{- 2 3} | ^{= 2 3}

Donc ABC est équilatéral.

Exercice 5 Exercice 5 Exercice 5 Exercice 5

4) z ′ − 1 z ⁻ 1 =

1 − z Ò z ⁻ 1 − 1

z ⁻ 1 = 1 − z Ò z ⁻ 1 − Ò z ⁻ 1

Ò z ⁻ 1

z ⁻ 1 = 2 − z ^{− Ò} z Ò z ⁻ 1 × 1

z ⁻ 1 = 2 − z ^{− Ò} z

( ^{Ò z − 1 (} ) ^{z − 1) =}

2 − z ^−Ò z

 

 

z ⁻ 1 × ( z ⁻ 1) . Posons z = x ⁺ iy .

2 − z ^−Ò z = 2 − ( x ⁺ iy ) − ( x ⁻ iy ) = 2 − 2 x = 2 − 2 Re ( z ) ☻ R .

 

 

z ⁻ 1 ( z ⁻ 1) = | | ^{z − 1}

^{☻ R .}

Donc z ′ − 1

z ⁻ 1 = 2 − 2 Re ( z )

| ^{z − 1} |

^{☻ R .}

Posons z ′ − 1

z ⁻ 1 = k (avec k ^{☻ R} ) donc z ′ − 1 = k ( z ⁻ 1).

Mais z ′ − 1 = z

− z

est l’affixe du vecteur AM Ä ′, alors que z ⁻ 1 = z

− z

est l’affix edu vecteur AM Ä . Donc ona prouvé que AM Ä ′ = k AM ^Ä , donc que les vecteurs AM Ä ′ et AM Ä sont colinéaires et donc que les points A , M et M ′ sont alignés.

5) D’après ce qui precede, D ′ est situé sur le cercle B , et puisque A , D et D ′ sont alignés, D ′ est sur la droite

( AD ). Donc D ′ est le point d’intersection du cercle B et de la droite (AD) (autre que le point A ).

Exercice 6 Exercice 6 Exercice 6 Exercice 6

1) (1 − 2 i ) z ⁺ 3 i = 8(1 − i ) ñ (1 − 2 i ) z = 8 − 8 i ⁻ 3 i ñ (1 − 2 i ) z = 8 − 11 i ñ z = 8 − 11 i

1 − 2 i ⁼

(8 − 11 i )(1 + 2 i )

(1 − 2 i )(1 + 2 i ) = 8 + 16 i ⁻ 11 i ⁻ 22 i

1

− (2 i )

= 30 + 5 i

5 = 6 + i . 2) a) AB = | ^z

^{− z}

| ⁼ | ^{2 + 4 i} | ^{= 2}

^{+ 4}

^{= 20 .}

AC = | ^z

^{− z}

| ⁼ | | ^{8 + i = 8}

^{+ 1}

^{= 65 .}

BC = | ^z

^{− z}

| ⁼ | ^{6 − 3 i} | ^{= 6}

^{+ ( - 3)}

^{= 45 .}

AC

= 65 et AB

⁺ BC

= 20 + 45 = 65 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B .

b) z

BA

= z

− z

= - 2 − 4 i et z

BC

= z

− z

= 6 − 3 i donc BA Ä   

 

- 2 

- 4 · BC Ä   

 



6

- 3 = ( - 2) × 6 + ( - 4) × ( - 3) = 0 et ( BA ) ┴ ( BC ) donc ABC est rectangle en B .

c) Le quadrilatère ABCD aura quoi qu’il arrive un angle droit en B . Pour qu’il soit un rectangle, il suffit donc qu’il soit un parallléogramme.

Ainsi, ABCD est un rectangle ñ ABCD est un parallélogramme ñ BA Ä = CD Ä

ñ - 2 − 4 i = z

− 6 − i ^ñ z

= 4 − 3 i .

3) a) ∆ = -16 < 0 donc il y a deux raciness conjuguées : z

= 4 − i 16

2 = 2 − 2 i et z

= z

= 2 + 2 i . b) AE = | ^z

^{− z}

| ⁼ | ^{4 − 2 i} | ^{= 20 et AF =} | ^z

^{− z}

| ⁼ | ^{4 + 2 i} | ^{= 20 .}

Donc AE = AF = AB = 20 et ainsi B , E et F sont sur le cercle de centre A et de rayon 20 .

4) a) | | ^{z ′ = 1 ñ} _ ^{  z} _z ⁻ + ⁴ 2 ⁱ _ ^{ } = 1 ñ | ^{z − 4 i} |

| ^{z + 2} | ^{= 1 ñ} | ^{z − 4 i} | ⁼ | | ^{z + 2 ñ} | ^{z − 4 i} | ⁼ | ^{z − ( - 2)} |

ñ | ^z

^{− z}

| ⁼ | ^z

^{− z}

| ^{ñ BM = AM et donc ε}

est la médiatrice du segment [ AB ].

b) z ' = x ⁺ iy ⁻ 4 i

x ⁺ iy ⁺ 2 = x ⁺ i ( y ⁻ 4) ( x ⁺ 2) + iy ⁼

[ x ⁺ i ( y ⁻ 4)][( x ⁺ 2) − iy ]

[( x ⁺ 2) + iy ][( x ⁺ 2) − iy ] = x ( x ⁺ 2) − ixy ⁺ i ( y ⁻ 4)( x ⁺ 2) − i

y ( y ⁻ 4) ( x ⁺ 2)

− i

y

= x

⁺ 2 x ⁺ ixy ⁻ ixy ⁺ 2 iy ⁻ 4 ix ⁻ 8 i ⁺ y

⁻ 4 y

( x ⁺ 2)

+ y

⁼

x

⁺ 2 x ⁺ y

⁻ 4 y ( x ⁺ 2)

+ y

⁺

2 y ⁻ 4 x ⁻ 8 ( x ⁺ 2)

+ y

Donc Re ( z ') = x

⁺ 2 x ⁺ y

⁻ 4 y

( x ⁺ 2)

+ y

^et Im ( z ') = 2 y ⁻ 4 x ⁻ 8 ( x ⁺ 2)

+ y

c) M ^{☻ ε}

ñ z ' ☻ R

ñ Im ( z ') = 0 ñ 2 y ⁻ 4 x ⁻ 8

( x ⁺ 2)

+ y

^{= 0} ñ 2 y ⁻ 4 x ⁻ 8 = 0 ñ y = 2 x ⁺ 4

Donc ε

est la droite d'équation y = 2 x ⁺ 4 privée du point A d'affixe - 2.

d) M ^{☻ ε}

ñ z ' est imaginaire pur ñ Re ( z ') = 0

ñ x

⁺ 2 x ⁺ y

⁻ 4 y ( x ⁺ 2)

+ y

^{= 0} ñ x

⁺ 2 x ⁺ y

⁻ 4 y = 0 ñ ( x ⁺ 1)

− 1

+ ( y ⁻ 2)

− 2

= 0 ñ ( x ⁺ 1)

+ ( y ⁻ 2)

= 5

Donc ε

est le cercle de centre K d'affixe z

= - 1 + 2 i et de rayon 5 .

Exercice 7 Exercice 7 Exercice 7 Exercice 7

1) a) ( z ⁻ 1)( az

⁺ bz ⁺ c ) = az

⁺ bz

⁺ cz ⁻ az

⁻ bz ⁻ c = az

⁺ ( b ⁻ a ) z

⁺ ( c ⁻ b ) z ⁻ c .

Donc P ( z ) = ( z ⁻ 1)( az

⁺ bz ⁺ c ) ñ



  ^a _b ⁼ _{− a} ¹ _{= 1}

c ⁻ b ⁼ 0 - c ^=- 2

ñ



  ^a _b ⁼ ₌ ¹ _{a + 1 = 2}

c ⁼ b ⁼ 2 ok

et ainsi P ( z ) = ( z ⁻ 1)( z

⁺ 2 z ⁺ 2).

b) ∆ = 2

− 4 × 1 × 2 = - 4 < 0 donc il y a deux solutions complexes z

= - 2 − i 4

2 = - 1 − i et z

= z

= - 1 + i . c) P ( z ) = 0 ñ z ⁻ 1 = 0 ou z

⁺ 2 z ⁺ 2 = 0 ñ z = 1 ou z = - 1 − i ou - 1 + i . Donc S = {1 ; - 1 − i ; - 1 + i }.

2) b) z

AC

= z

− z

= 1 + i et z

AD

= z

− z

= 3 − 3 i donc AC Ä ^· AD ^Ä = 1 × 3 + 1 × ( - 3)= 0 et ainsi ( AC ) $ ( AD ) et le triangle ACD est rectangle en A .

c) z

OA

= z

− z

= - 1 + i et z

OD

= z

− z

= 2 − 2 i donc OD Ä = - 2 OA Ä donc les vecteurs OD Ä et OA Ä sont colinéaires et les points O , A et D sont alignés.

d) ACD est rectangles en A donc inscrit dans le cercle B de diamètre [ CD ] qui a pour centre le milieu K de [ CD ] (car z

+ z

2 = 2

2 = 1 = z

) et de rayon CD

2 = 20

2 = 5 . Mais KB = | ^z

^{− z}

| ⁼ | ^{- 1 − i − 1 =} | | ^{- 2 − i} | ^{= 5 donc B ☻ B .}

e) ACED est un parallélogramme ñ AC Ä = DE Ä ^ñ z

− z

= z

− z

ñ z

= z

− z

+ z

= 3 − i .

f) ACED est un parallélogramme ayant un angle droit ( ACD rectangle en A ), c’est donc un rectangle.

g) F est le symétrique de B par rapport à K ^ñ BK ^Ä = KF Ä ^ñ z

− z

= z

− z

ñ z

= 2 z

− z

= 3 + i . h) K est à la fois le milieu de [ BF ] (car F est le symétrique de B par rapport à K ) et celui de [ CD ].

Donc le quadrilatère CFDB a ses diagonales qui se coupent en leur milieu : c’est un parallélogramme.

De plus z

= z

− z

= 2 − 4 i et z

= z

− z

= - 4 − 2 i et donc CD Ä   

 



2

- 4 · FB Ä   

 

- 4 

- 2 = 2 × ( - 4) + ( - 4) × ( - 2) = 0.

Ainsi les diagonales du parallélogramme CFDB sont perpendiculaires : c'est un losange.

Et BCD étant rectangle en B (car inscrit dans le cercle de diamètre [ CD ]), le parallélogramme CFDB a un angle droit : c’est un rectangle.

Ainsi CFDB est un carré.

3) a) | ^{z −2 i} | ^{= 2 ñ} | ^z

^{− z}

| ^{= 2 ñ CM = 2 donc E} est le cercle de centre C et de rayon 2.

b) | ^{z −2 i} | ⁼ | ^{z +1− i} | ^ñ | ^{z − 2 i} | ⁼ | ^{z − ( - 1 + i )} | ^ñ | ^z

^{− z}

| ⁼ | ^z

^{− z}

| ^{ñ CM = AM donc}

F est la médiatrice du segment [ AC ].

c) z Ò z −2 z −2 Ò z −4 = 0 ñ ( x ⁺ iy )( x ⁻ iy ) − 2( x ⁺ iy ) − 2( x ⁻ iy ) − 4 = 0 ñ x

⁺ y

⁻ 4 x ⁻ 4 = 0

ñ ( x ⁻ 2)

− 4 + y

⁻ 4 = 0 ñ ( x ⁻ 2)

+ y

= 8 donc G est le cercle de centre Ω (2 ; 0) et de rayon 8 . On observe que C ^{☻ G} . En effet Ω C = | ^z

^{− z}

| ⁼ | ^{2 i − 2 =} | | ^{- 2 + 2 i} | ^{= ( - 2)}

^{+ 2}

^{= 8 .}

Donc G est le cercle de centre Ω passant par C , d’où sa construction.