Terminales option maths expertes − 2020 / 21 3

Terminales option maths expertes − 2020 / 21 G3 - exe

Ex. 33p53 Ex. 33p53 Ex. 33p53 Ex. 33p53

OMÄ a pour affixe zM−zO = zM = 3−i. ONÄ a pour affixe zN−zO = zN = x⁺2i.

S'il existe un nombre λ tel que ONÄ = λ ÄOM^, Alors en passant aux affixes zN = λzM et donc : λ = zN

zM = x⁺2i 3−i ⁼

(x⁺2i)(3+i)

(3−i)(3+i) = (3x⁻2)+i(6+x)

10 .

Donc λ☻Rñ 6+x = 0 ñx = -6.

Ainsi pour x = -6, zN = 6+2i et λ = 3×(-6)−2

10 = -2 et donc ONÄ = -2OMÄ. Les points O, M et N sont donc alignés.

Ex. 34p54 Ex. 34p54 Ex. 34p54 Ex. 34p54 a)

b) A' est le milieu de [BC] donc zA' = zB+zC

2 = -5 2−1

2i. B' est le milieu de [AC] donc zB' = zA+zC

2 = 3 2−1

2i.

c) 2GAÄ'+ ÄGA = Å0 ñ 2(zA'−zG) +zA−zG = 0 ñzG = 2zA'+zA

3 = -2 3+1

3i.

d) BGÄ a pour affixe zG−zB = 13 3 −5

3i . BBÄ' a pour affixe zB'−zB = 13

2 −5 2i. Donc on constate que BGÄ = 2

3BBÄ'.

Ainsi BGÄ et BBÄ' sont colinéaires et les points B, G et B' sont alignés.

Ex. 35p54 Ex. 35p54Ex. 35p54 Ex. 35p54

2) a) ABCM est un parallélogramme ñABÄ = MCÄ

ñzB−zA = zC−zM

ñzM = zC−zB+zA = 1+4i. 3) a) ABNC est un parallélogramme

ñABÄ = CNÄ

ñMCÄ = CNÄ puisque ABÄ = MCÄ ñzC−zM = zN−zC

ñzN = 2zC−zM = 7−2i.

Ex. 36p54 Ex. 36p54Ex. 36p54 Ex. 36p54

1)On convient de noter z = x⁺iy d'affixe d'un point M(x^;y) du plan.

a) Dans ces conditions, Re(z) = 2 ñx = 2.

Donc D1 est la droite d'équation x = 2.

b) De même,

Im(z) = -1 ñy = -1.

Donc D2 est la droite d'équation y = -1.

c) D1∩D2 est le point M(2;-1) d'affixe 2−i.

Ex. 39p54 Ex. 39p54 Ex. 39p54 Ex. 39p54

| |^{z1 = 12+12 = 2}

| |^{z2 = 32+(-4)2 = 9+16 = 25 = 5}

| |^{z3 = 7}

| |^{z4 = 5}

| |^{z5 = 8}

| |^{z6 = 32+(-1)2 = 9+1 = 10}

Ex. Ex.

Ex. Ex. 40p5440p5440p5440p54

| |^{zA = OA = 3}

| |^{zB = OB = 2}

| |^{zC = OC = 1}

| |^zD = OD = 1 car D est sur un cercle de centre O et de rayon OU = 1

| |^zE = OE = 2 2 car OE est la diagonale d'un carré de côté 2 Ex. 42p54

Ex. 42p54 Ex. 42p54 Ex. 42p54

| |^{z1 =} |³⁺³ⁱ| ^{= 32+32 = 9+9 = 18 = 3 2}

| |^{z2 =} |^{- 3+i}| ⁼ ( )^{- 3 2+12 = 3+1 = 4 = 2}

| |^{z3 =} _^-2₅ⁱ_^{ = 2}₅

| |^{z4 =} |^{-6+6i 3}| ^{= (-6)2+}(^{6 3})^{2 = 36+108 = 144 = 12}

Ex. 50p55 Ex. 50p55 Ex. 50p55 Ex. 50p55

a) L'affixe a du vecteur BCÄ est zC−zB = 1−5i L'affixe b du vecteur ACÄ est zC−zA = 3−2i L'affixe c du vecteur ABÄ est zB−zA = 2+3i

b)| |^{a =} |¹⁻⁵ⁱ| ^{= 12+(-5)2 = 1+25 = 26}

| |^{b =} |³⁻²ⁱ| ^{= 32+(-2)2 = 9+4 = 13}

| |^{c =} |²⁺³ⁱ| ^{= 22+32 = 4+9 = 13}

c)AB = |^zB−zA| ⁼ | |^{c = 13}

AC = |^zC−zA| ⁼ | |^{b = 13}

BC = |^zC−zB| ⁼ | |^{a = 26}

Donc AB = AC et ABC est isocèle en A. D'une part BC² = 26² = 26

D'autre part AC²⁺AB² = 13²+ 13² = 13+13 = 26

Donc AC²⁺AB² = BC² et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.

Ex. 43p54 Ex. 43p54Ex. 43p54 Ex. 43p54

1) | ³⁻ⁱ|^{= 32+(-1)2 = 3+1 = 2 = 2 et} |¹⁺⁵ⁱ| ^{= 12+52 = 1+25 = 26.}

2) 



( ³⁻ⁱ)^{(1+5i) =}  | ³⁻ⁱ|^{×|1+5i| = 2 26.}

|^(1+5i)4| ⁼ |¹⁺⁵ⁱ|^{4 = 264 = 262 = 676.}





 1 

1+5i = 1

|¹⁺⁵ⁱ| ⁼

1

26 = 26 26 .





 3−i

1+5i = | ³⁺ⁱ|

|¹⁺⁵ⁱ| ⁼

2

26 = 2 26

26 = 26 13 .

Ex. 44p54 Ex. 44p54Ex. 44p54 Ex. 44p54

| |^{z1 =} _^₂−¹3i_^ = 1

|²⁻³ⁱ| ⁼

1

2²+(-3)² = 1

13 = 13 13 .

| |^{z2 =} _^1−₅ⁱ_i ³_^{ =} |^{1−i 3}|

| |^{5i =}

1²+( )^{- 3 2}

5 = 2

5

Ex. 45p54 Ex. 45p54Ex. 45p54 Ex. 45p54

| |^{z1 =} 



( ³⁺ⁱ)¹⁰ ⁼ | ³⁺ⁱ|^{10 =  32+1210 = 210 = 1024}

| |^{z2 =} |⁽²⁻ⁱ⁾⁵| ⁼ | |^{2−i 5 =} ( ^22+(-1)2)^{5 = 55 = 25 5}

Ex. 46p54 Ex. 46p54Ex. 46p54 Ex. 46p54

| |^{z1 =} _^--⁴1⁺−⁵iⁱ_^ = |^-4+5i|

|^-1−i| ⁼

41

2 = 82 2

| |^{z2 =} _^66₆₆⁺−77⁷⁷ⁱi_^ = |⁶⁶⁺⁷⁷ⁱ|

|⁶⁶⁻⁷⁷ⁱ| ⁼

|⁶⁶⁺⁷⁷ⁱ|



 66+77i ⁼

|⁶⁶⁺⁷⁷ⁱ|

|⁶⁶⁺⁷⁷ⁱ| ^{= 1}

Ex. 47p54 Ex. 47p54Ex. 47p54 Ex. 47p54

| |^{z1 =} 



(5+2i)( ^{3+i 6}) ⁼ |⁵⁺²ⁱ|^×| ^{3+i 6}| ^{= 29× 9 = 3 29}

| |^{z2 =} _^{ 3}₄⁻_i ⁱ_^{3) =} _^ ₄³_i⁻ⁱ_^{3 =}









| ³⁻ⁱ|

| |⁴ⁱ

3

= 

 2 4

3

= 1 8

Ex. 48p54 Ex. 48p54 Ex. 48p54 Ex. 48p54

a) | |^{z =} | |^{1+i = 2 donc}

• | |^{Òz =} | |^{z = 2}

• | |^{-z =} | |^{z = 2}

• | |^{iz =} | |^{i ×}| |^{z = 1× 2 = 2}

• | |^{4z =} | |^{4 ×}| |^{z = 4 2}

b)| |^{z =} |^{1−i 3}| ^{= 4 = 2 donc}

• | |^{Òz =} | |^{z = 2}

• | |^{-z =} | |^{z = 2}

• | |^{iz =} | |^{i ×}| |^{z = 1×2 = 2}

• | |^{4z =} | |^{4 ×}| |^{z = 8}

Ex. 51p54 Ex. 51p54 Ex. 51p54 Ex. 51p54 a) z_Ä

MA = zA−zM = -4−8i

zMB^Ä = zB−zM = 8+4i ^b)MA = |^zA−zM| ⁼ |^-4−8i| ^{= 80}

et MB = |^zM−zB| ⁼ |⁸⁺⁴ⁱ| ^{= 80}

Puisque MA = MB on en déduit que M est équidistant de A et de B.

Donc M est sur la médiatrice du segment [AB].

Ex. 52 Ex. 52 Ex. 52

Ex. 52p54p54p54 p54 a)z_Ä

IA = zA−zI = -3,6+4,8i

b)Le cercle B de centre I passant par A a pour rayon IA = |^zA−zI| ⁼ |^-3,6+4,8i| ^{= 6.}

c) IM = |^zM−zI| ⁼ |^3,6+4,8i| ^{= 6 donc IM = IA et M} est situé sur le cercle B.

Ex. 53p54 Ex. 53p54 Ex. 53p54 Ex. 53p54 a)z_Ä

AB = zB−zA = 3−3i zAC^Ä = zC−zA = - 3−3i zBC^Ä = zC−zB = -2 3

b)

AB = |^zB−zA| ⁼ | ³⁻³ⁱ| ^{= 12 = 2 3}

AC = |^zC−zA| ⁼ |^{- 3−3i}| ^{= 12 = 2 3}

BC = |^zC−zB| ⁼ |^{-2 3}| ^{= 2 3}

Donc ABC est équilatéral.