Terminales option maths expertes − 2020 / 21 3

(1)

Terminales option maths expertes − 2020 / 21

G

3 - exe

Ex. 33p53 Ex. 33p53 Ex. 33p53 Ex. 33p53

OM

Ä a pour affixe

z

M−

z

O =

z

M = 3−

i

.

ON

Ä a pour affixe

z

N−

z

O =

z

N =

x

⁺2

i

.

S'il existe un nombre λ tel que

ON

Ä = λ Ä

OM

^, Alors en passant aux affixes

z

N = λ

z

M et donc : λ =

z

N

z

M =

x

⁺2

i

3−

i

⁼

(

x

⁺2

i

)(3+

i

)

(3−

i

)(3+

i

) = (3

x

⁻2)+

i

(6+

x

)

10 .

Donc λ☻ R ñ 6+

x

= 0 ñ

x

= -6.

Ainsi pour

x

= -6,

z

N = 6+2

i

et λ = 3×(-6)−2

10 = -2 et donc

ON

Ä = -2

OM

Ä. Les points

O

,

M

et

N

sont donc alignés.

Ex. 34p54

a)

(2)

b)

A

' est le milieu de [

BC

] donc

z

A' =

z

B+

z

C

2 = -5 2−1

2

i

.

B

' est le milieu de [

AC

] donc

z

B' =

z

A+

z

C

2 = 3 2−1

2

i

.

c) 2

GA

Ä'+ Ä

GA

= Å0 ñ 2(

z

A'−

z

G) +

z

A−

z

G = 0 ñ

z

G = 2

z

A'+

z

A

3 = -2 3+1

3

i

.

d)

BG

Ä a pour affixe

z

G−

z

B = 13 3 −5

3

i

.

BB

Ä' a pour affixe

z

B'−

z

B = 13

2 −5 2

i

. Donc on constate que

BG

Ä = 2

3

BB

Ä'.

Ainsi

BG

Ä et

BB

Ä' sont colinéaires et les points

B

,

G

et

B

' sont alignés.

Ex. 35p54 Ex. 35p54 Ex. 35p54 Ex. 35p54

2) a)

ABCM

est un parallélogramme ñ

AB

Ä =

MC

Ä

ñ

z

B−

z

A =

z

C−

z

M

ñ

z

M =

z

C−

z

B+

z

A = 1+4

i

. 3) a)

ABNC

est un parallélogramme

ñ

AB

Ä =

CN

Ä

ñ

MC

Ä =

CN

Ä puisque

AB

Ä =

MC

Ä ñ

z

C−

z

M =

z

N−

z

C

ñ

z

N = 2

z

C−

z

M = 7−2

i

.

Ex. 36p54 Ex. 36p54 Ex. 36p54 Ex. 36p54

1)On convient de noter

z

=

x

⁺

iy

d'affixe d'un point

M

(

x

^;

y

) du plan.

a) Dans ces conditions,

Re

(

z

) = 2 ñ

x

= 2.

Donc

D

1 est la droite d'équation

x

= 2.

(3)

b) De même,

Im

(

z

) = -1 ñ

y

= -1.

Donc

D

2 est la droite d'équation

y

= -1.

c)

D

1∩

D

2 est le point

M

(2;-1) d'affixe 2−

i

.

Ex. 39p54 Ex. 39p54 Ex. 39p54 Ex. 39p54

| | ^z

¹ ^{= 1}²⁺¹²^{= 2}

| | ^z

² ^{= 3}²⁺⁽^-⁴⁾²^{= 9}⁺¹⁶^{= 25}^{= 5}

| | ^z

³ ^{= 7}

| | ^z

⁴ ^{= 5}

| | ^z

⁵ ^{= 8}

| | ^z

⁶ ^{= 3}²⁺⁽^-¹⁾²^{= 9}⁺¹^{= 10}

(4)

Ex. Ex.

Ex. Ex. 40p54 40p54 40p54 40p54

| | ^z

^A ^{= OA = 3}

| | ^z

^B ^{= OB = 2}

| | ^z

^C ^{= OC = 1}

| | ^z

^D = OD = 1 car D est sur un cercle de centre O et de rayon OU = 1

| | ^z

^E = OE = 2 2 car OE est la diagonale d'un carré de côté 2

Ex. 42p54

Ex. 42p54 Ex. 42p54 Ex. 42p54

| | ^z

¹ ⁼

|

³⁺³

ⁱ |

^{= 3}²⁺³²^{= 9}⁺⁹^{= 18}^{= 3 2}

| | ^z

² ⁼

|

^- ³⁺

ⁱ |

⁼

( )

^- ³ ²⁺¹²^{= 3}⁺¹^{= 4}^{= 2}

| | ^z

³ ⁼_^^^-²₅

ⁱ

_^^⁼²₅

| | ^z

⁴ ⁼

|

^-⁶⁺⁶

ⁱ

³

|

⁼ ⁽^-⁶⁾²⁺

(

^{6 3}

)

²^{= 36}⁺¹⁰⁸^{= 144}^{= 12}

Ex. 50p55

(5)

a) L'affixe

a

du vecteur

BC

Ä est

z

C−

z

B = 1−5

i

L'affixe

b

du vecteur

AC

Ä est

z

C−

z

A = 3−2

i

L'affixe

c

du vecteur

AB

Ä est

z

B−

z

A = 2+3

i

b)

| | ^a

⁼

|

¹⁻⁵

ⁱ |

^{= 1}²⁺⁽^-⁵⁾²^{= 1}⁺²⁵^{= 26}

| | ^b

⁼

|

³⁻²

ⁱ |

^{= 3}²⁺⁽^-²⁾²^{= 9}⁺⁴^{= 13}

| | ^c

⁼

|

²⁺³

ⁱ |

^{= 2}²⁺³²^{= 4}⁺⁹^{= 13}

c)

AB

=

| ^z

^B⁻

^z

^A

|

⁼

| | ^c

^{= 13}

AC

=

| ^z

^C⁻

^z

^A

|

⁼

| | ^b

^{= 13}

BC

=

| ^z

^C⁻

^z

^B

|

⁼

| | ^a

^{= 26}

Donc

AB

=

AC

et

ABC

est isocèle en

A

. D'une part

BC

² = 26² = 26

D'autre part

AC

²⁺

AB

² = 13²+ 13² = 13+13 = 26

Donc

AC

²⁺

AB

² =

BC

² et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en

A

.

Ex. 43p54 Ex. 43p54 Ex. 43p54 Ex. 43p54

1)

|

³⁻

ⁱ |

⁼ ³²⁺⁽^-¹⁾²^{= 3}⁺¹^{= 2}^{= 2 et}

|

¹⁺⁵

ⁱ |

^{= 1}²⁺⁵²^{= 1}⁺²⁵^{= 26}^.

2) 



(

³⁻

ⁱ )

⁽¹⁺⁵

ⁱ

^{) =}

|

³⁻

ⁱ |

^×

^|

¹⁺⁵

ⁱ ^|

^{= 2 26}^.

|

⁽¹⁺⁵

ⁱ

⁾⁴

|

⁼

|

¹⁺⁵

ⁱ |

⁴^{= 26}⁴^{= 26}²^{= 676.}





 1 

1+5i = 1

|

¹⁺⁵

ⁱ |

⁼

1

26 = 26 26 .





 3−i

1+5i =

|

³⁺

ⁱ |

|

¹⁺⁵

ⁱ |

⁼

2

26 = 2 26

26 = 26 13 .