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o06
Déc. 2020 . . ./. . .
DS 03
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.
Attention ! Le sujet est recto-verso.
Exercice 1
Soit les matricesA=
5 2 1
0 3 4
1 −1 2
etB=
−1 0 2 −3
4 2
1 Justifier que le produitABest possible.
2 Calculer ce produit en détaillant les calculs.
Exercice 2
On souhaite montrer que la matriceA= 2 1 3 0
!
est inversible et calculer son inverse de deux manières différentes :
Première méthode :
1 Calculer det(A) et en déduire queAest inversible.
2 CalculerA−1en détaillant les étapes.
Deuxième méthode :
1 Montrer qu’il existe deux entiersαetβ, tels queA2=αA+βI2oùI2est la matrice identité 2 En déduire queAest inversible et déterminerA−1.
Exercice 3
On considère le système (S) suivant :
5x−y=−17
−2x+ 3y= 102
1 En posantA= 5 −1
−2 3
! ,X= x
y
!
etBune matrice 2×1 à déterminer, montrer soigneusement que le système (S) est équivalent à l’égalitéAX=B.
2 CalculerA−1à l’aide de la calculatrice.
3 Montrer queX=A−1B.
4 En déduire la résolution de (S).
1
Exercice 4
On donne les matricesA= 3 2 2 3
!
, I= 1 0 0 1
!
etJ= 1 1 1 1
!
1 CalculerJ2etJ3. En déduire une relation simple entreJnetJ, pour toutn, entier naturel.
2 ExprimerA, A2etA3en fonction deI etJ.
3 Montrer par récurrence que pour toutnentier naturel queAn=I+5n2−1J
Exercice 5 Bonus
On donne la matriceA=
−5 2 8 4 −3 −8
−4 2 7
1 CalculerA2. Que peut-on dire de la matriceA?
2 En déduire la matriceXtelle queAX=
−1 1
3 2
4 5
2
