Terminales option maths expertes − 2020 / 21 3

Terminales option maths expertes − 2020 / 21

G

3 - exe

Ex. 33p53 Ex. 33p53 Ex. 33p53 Ex. 33p53

OM

Ä a pour affixe

z

M−

z

O =

z

M = 3−

i

.

ON

Ä a pour affixe

z

N−

z

O =

z

N =

x

⁺2

i

.

S'il existe un nombre λ tel que

ON

Ä = λ Ä

OM

^, Alors en passant aux affixes

z

N = λ

z

M et donc : λ =

z

N

z

M =

x

⁺2

i

3−

i

⁼

(

x

⁺2

i

)(3+

i

)

(3−

i

)(3+

i

) = (3

x

⁻2)+

i

(6+

x

)

10 .

Donc λ☻ R ñ 6+

x

= 0 ñ

x

= -6.

Ainsi pour

x

= -6,

z

N = 6+2

i

et λ = 3×(-6)−2

10 = -2 et donc

ON

Ä = -2

OM

Ä. Les points

O

,

M

et

N

sont donc alignés.

Ex. 34p54

Ex. 34p54

Ex. 34p54

Ex. 34p54

a)

b)

A

' est le milieu de [

BC

] donc

z

A' =

z

B+

z

C

2 = -5 2−1

2

i

.

B

' est le milieu de [

AC

] donc

z

B' =

z

A+

z

C

2 = 3 2−1

2

i

.

c) 2

GA

Ä'+ Ä

GA

= Å0 ñ 2(

z

A'−

z

G) +

z

A−

z

G = 0 ñ

z

G = 2

z

A'+

z

A

3 = -2 3+1

3

i

.

d)

BG

Ä a pour affixe

z

G−

z

B = 13 3 −5

3

i

.

BB

Ä' a pour affixe

z

B'−

z

B = 13

2 −5 2

i

. Donc on constate que

BG

Ä = 2

3

BB

Ä'.

Ainsi

BG

Ä et

BB

Ä' sont colinéaires et les points

B

,

G

et

B

' sont alignés.

Ex. 35p54 Ex. 35p54 Ex. 35p54 Ex. 35p54

2) a)

ABCM

est un parallélogramme ñ

AB

Ä =

MC

Ä

ñ

z

B−

z

A =

z

C−

z

M

ñ

z

M =

z

C−

z

B+

z

A = 1+4

i

.

3) a)

ABNC

est un parallélogramme ñ

AB

Ä =

CN

Ä

ñ

MC

Ä =

CN

Ä puisque

AB

Ä =

MC

Ä ñ

z

C−

z

M =

z

N−

z

C

ñ

z

N = 2

z

C−

z

M = 7−2

i

.

Ex. 36p54 Ex. 36p54 Ex. 36p54 Ex. 36p54

1)On convient de noter

z

=

x

⁺

iy

d'affixe d'un point

M

(

x

^;

y

) du plan.

a) Dans ces conditions,

Re

(

z

) = 2 ñ

x

= 2.

Donc

D

1 est la droite d'équation

x

= 2.

b) De même,

Im

(

z

) = -1 ñ

y

= -1.

Donc

D

2 est la droite d'équation

y

= -1.

c)

D

1∩

D

2 est le point

M

(2;-1) d'affixe 2−

i

.

Ex. 39 Ex. 39 Ex. 39

Ex. 39p54 p54 p54 p54

| | ^z

^{1 = 12+12 = 2}

| | ^z

^{2 = 32+(-4)2 = 9+16 = 25 = 5}

| | ^z

^{3 = 7}

| | ^z

^{4 = 5}

| | ^z

^{5 = 8}

| | ^z

^{6 = 32+(-1)2 = 9+1 = 10}

Ex. 40 Ex. 40 Ex. 40

Ex. 40p54 p54 p54 p54

| | ^z

^{A = OA = 3}

| | ^z

^{B = OB = 2}

| | ^z

^{C = OC = 1}

| | ^z

^D = OD = 1 car D est sur un cercle de centre O et de rayon OU = 1

| | ^z

^E = OE = 2 2 car OE est la diagonale d'un carré de côté 2