Contrôle Maths Expertes 16/03/2021E

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Contrôle Maths Expertes

16/03/2021

EXERCICE 1 3 pts

Déterminer les entiers naturels a et b tels que (a+2) (b−3)=15 .

Déterminer les entiers naturels a et b dont la somme vaut 86 et tels que le reste de la division

euclidienne de a par b est 9 .

EXERCICE 3 ^{2 pts}

Déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne de −10 000 par 33 .

Comment en déduire le quotient et le reste dans la division euclidienne de 10 000 par 33 ? (évidemment sans utiliser la calculatrice, mais la première question…)

Donner l’écriture de la division euclidienne de 1 000 par 111 . Démontrer que A=10⁹ⁿ⁺²+10⁶ⁿ⁺¹+1 est divisible par 111 .

EXERCICE 5 ^{1 pt}

Soit n un entier naturel quelconque. En utilisant les congruences, déterminer le reste la division euclidienne de 5ⁿ+19 par 4 . Que peut-on en conclure ?

Compléter le tableau de congruences ci-dessous :

Si

^{x ≡ … …(5)}

Alors

^x²^{≡ … …(5)}

Et

^x²⁻³^{≡… …}⁽⁵⁾

En déduire que l’équation x²−5y²=3 avec x et y entiers, n’a pas de solution.

Quel est le reste de la division euclidienne de ₂²⁰⁰⁹₊₂₀₀₉ par 11 ?

Quel est le reste de la division euclidienne de n²+2 par n+1 ? Aide : On pourra prouver que n²+2=(n−1) (n+1)+3 …

Congruences – durée 1h

Allez, bon courage à vous et amusez-

vous bien !!!